第四节 多元函数极值

              [概念 公式 重难点 例题]

1．二元函数极值定义

设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，若满足不等式，则称函在点有极大值；若满足不等式，则称函在点有极小值。极大值、极小值统为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

2．驻点

将使同时成立的点称为二元函数的驻点。

3．无条件与条件极值

对于二元函数，将不受其它条件约束所求得的极值称为无条件极值，简称为极值；如果自变量与之间另有附加条件约束其变化，使与不是完全相互独立的，这种带有附加条件的极值称为条件极值。

4．二元函数的最大、最小值定义

设二元函数在区域D上有定义，，若对所有都有，则称是函数在D上的最大值；若对所有都有，则称是函数在D上的最小值。

同一元函数类似，二元函数有极值是局部概念，若是函数的一个极大值或极小值，只是就点附近的一个局部范围来说的；而最大值和最小值则是全局概念。

              [概念 公式 重难点 例题]

1．二元函数极值存在的条件

⑴  必要条件

设函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必为零：，即偏导存在的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。

⑵  充分条件

设函数在点的某个邻域内有连续的二阶偏导数，且（为驻点），令，，，则函数在点处是否取极值的条件如下：

 当时，是极大值；

时，有极值，

当时，是极小值；

时，没有极值；

时，不能确定，需另作讨论。

2．条件极值的必要条件

设函数，在点的某个邻域内有一阶连续偏导数，若是在条件下的极值点，则在该点存在常数，使得

 

且                   

3．最值定理的必要条件

设函数在区域D上连续，是D的内点，若是的最大（或最小）值，而在该点有偏导数，则，即函数在可导的条件下，在D上的最大（或最小）值点，必在内部驻点或D的边界上取得。

              [概念 公式 重难点 例题]

1．无条件极值的求法 

设函数具有连续的二阶偏导数

⑴  求函数的一阶、二阶偏导数；

⑵  解方程组，求得一切实数解，即可求得驻点。

⑶  对每一个驻点，求出相应的A、B、C的值，并用极值存在的充分必要条件，即的符号，判定各驻点是否为极值点；

⑷  求出极值点的函数值，即得所求极值。

2．条件极值的求法

用拉格朗日乘法，求函数在条件下的条件极值，求的方法是：

⑴  构造一个辅助函数，其中是待定常数，称为拉格朗日乘数；

⑵  求出的一阶偏导数；

⑶  解方程组，且，

求得解，其中称为条件驻点，可能为函数在附加条件下的极值点；

⑷  根据问题性质判别是否为条件极值点，若是求出该点的函数值，即得所求极值。

3．最大（小）值的求法

当函数在有界闭区域D上连续，在D内可微，且只有有限个驻点时，求最值的一般方法为：

⑴  求出函数在区域D内的所有驻点及相应点的函数值；

⑵  求出函数在区域D边界上的最大（小）值；

⑶  将上面所求的值进行比较，最大（小）者即为数在区域D上的最大（小）值。

在实际问题中，如果根据问题的实际意义，知道函数一定在区域D的内部取得最大值（或最小值），而在D内只有一个驻点，则可以肯定该点的函数值就是所求的最大值（或最小值）。

以上方法可推广到多于两个自变量的情形。

              [概念 公式 重难点 例题]

例1  求函数的极值

解       

          

解方程组      得驻点（-1，-1），（0，0），（1，1）

在(-1,-1)处，，，

，且，所以点（-1，-1）是极小值点；

在（0，0）点处，，，

，故无法确定，只能用别的方法判别。

因。在点（0，0）的任意邻域内，取点（其中），有，而取点时，有

即在点（0，0）的附近既不是最大的，也不是最小的，所以点不是极值；

在（1，1）点处，，，

，且，所以点（1，1）也是函数的极小值点；于是

函数的极小值为。

例2  求函数在区域上的最大值和最小值。

解  先求区域D内的驻点，

解方程组       得驻点（0，0），（2，0）

再求区域D的边界上的可能最大（小）值点，将D的边界方程代入函数，得，

由得一元函数在内部的驻点。当时，；当时，；

函数在D的边界线上可能最大（小）值点为，，，。

求出以上各点的函数值，，，，，。

由此可见，函数在处取得最大值16；在点处取得最小值-112。

例3  在曲线上求一点，使其到直线的距离最短，并求最短距离。

解  设是椭圆上任意一点，则P到直线的距离为

                         

求的最小值点，即相当于求的最小值点，同时注意到本题的限制条件是点必须在已给的椭圆上，所以问题的实质是求函数，在约束条件下的条件极值，为此作辅助函数

解方程组:

      

得条件驻点为，。又， 

由问题的实际意义知最短距离存在，因此即为椭圆上到直线的距离最近点，最短距离为。