从零开始学数据分析之——《微积分》第六章多元函数微积分

孙年飞 2023-04-18 发布于湖南

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6.1 空间解析几何简介

6.1.1 空间直角坐标系

6.1.2 空间两点间的距离

6.1.3 曲面方程

定义6.1.1 若曲面S上任意一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0，而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0，则方程F(x,y,z)=0称为曲面S的方程，而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形。

6.2 多元函数的基本概念

6.2.1 领域与平面区域

1.领域

设 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是xOy平面上的一个点， $\delta$ 是一正数，与点 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的距离小于 $\delta$ 的点 $P\left ( x,y \right )$ 的全体，称为点 $P_{0}$ 的 $\delta$ 邻域，记为 $U\left ( P_{0},\delta \right )$ ,即

$U\left ( P_{0},\delta \right )=\left \{ \left ( x,y \right )|\sqrt{\left ( x-x_{0} \right )^{2}+\left ( y-y_{0} \right )^{2}} \right < \delta \}$

2.平面区域

6.2.2 二元函数的概念

1.二元函数的定义

定义6.2.1 设D是一个非空的二元有序数组的集合，f为一对应法则。如果对于每一有序数组 $\left ( x,y \right )\in D$ ，都有唯一确定变量z的值与之对应，则称这个对应法则f是定义在D上的函数，或称变量z是变量x,y的二元函数，记作

$z=f\left ( x,y \right ) \left ( x,y \right )\in D$

其中x,y称为自变量，z称为因变量。集合D称为函数的定义域。

2.二元函数的几何意义

6.2.3 二元函数的极限

定义6.2.2 设函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 某邻域内有定义（点 $P_{0}$ 可除外），a为常数，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在一个数 $\delta$ ，使当 $0< \rho =\sqrt{\left ( x-x_{0}\right )^{2} +\left ( y-y_{0} \right )^{2}}< \delta$ 时，恒有

$\left | f\left ( x,y \right )-a \right |< \varepsilon$

成立，则称当 $\left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x_{0},y_{0} \right )$ 时，函数 $f\left ( x,y \right )$ 以a为极限，记作

$\lim_{\left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x_{0},y_{0} \right )}f\left ( x,y \right )=a$

为了区别于一元函数的极限，把二元函数的极限叫做二重极限。

6.2.4 二元函数的连续性

定义6.2.3 设函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的某邻域内有定义，若

$\lim_{\left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x_{0},y_{0} \right )}f\left ( x,y \right )=f\left ( x_{0},y_{0} \right )$

则称函数 f(x,y) 在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 连续，点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 叫做函数 f(x,y) 的连续点。否则，称函数 f(x,y)

在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 处间断，点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 叫做函数 f(x,y) 的间断点。

函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 处连续，需满足以下三个条件：

（1）函数 f(x,y) 在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 有定义

（2） $\lim_{\left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x_{0},y_{0} \right )}f\left ( x,y \right )$ 存在

（3） $\lim_{\left ( x,y \right )\rightarrow \left ( x_{0},y_{0} \right )}f\left ( x,y \right )=f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ .

二元函数的性质：

（1）有界性若函数 f(x,y) 在有界闭区域D上连续，则 f(x,y) 在D上有界

（2）最值性若函数 f(x,y) 在有界闭区域上连续，则 f(x,y) 在D上取得最大值和最小值

（3）界值性若函数 f(x,y) 在有界闭区域上连续，m和M分别为函数 f(x,y) 在D上的最小值和最大值，则对介于m和M之间的任一实数c，至少存在一点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )\in D$ ,使 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )=c.$

6.3 偏导数

6.3.1 偏导数

1.偏导数的定义

设函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的某邻域内有定义，当x从 $x_{0}$ 取得改变量 $\Delta x\left ( \Delta x\neq 0 \right ),$ 而 $y=y_{0}$ 保持不变时，函数z的改变量

$\Delta _{x}z=f\left ( x_{0}+\Delta x,y_{0} \right )-f\left ( x_{0},y_{0} \right )$

称为函数 f(x,y) 在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 对于x的偏改变量或偏增量。

定义6.3.1 设函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的某邻域内有定义，如果极限

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta _{x}z}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( x_{0}+\Delta x,y_{0} \right )-f\left ( x_{0},y_{0} \right )}{\Delta x}$

存在，则称此极限值为函数 f(x,y) 在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 处对于x的偏导数，记作

2.偏导数的几何意义

设 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )$ 为曲面 $z=f\left ( x,y \right )$ 上一点，过 $P_{0}$ 作平面 $y=y_{0}$ ，它与曲面的交线是 $y=y_{0}$

平面上的曲线 $z=f\left ( x,y_{0} \right )$ ,则偏导数就是一元函数 $f\left ( x,y_{0} \right )$ 在 $x=x_{0}$ 处的导数，因而，就表示曲线 $z=f\left ( x,y_{0} \right )$ 在点 $P_{0}$ 处的切线 $T_{x}$ 对x轴的斜率。同样，偏导数表示曲面被平面 $x=x_{0}$ 所截得到的曲线 $z=f\left ( x_{0},y \right )$ 在点 $P_{0}$ 处的切线 $T_{y}$ 对y轴的斜率。

6.3.2 高阶偏导数

设二元函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在区域D内具有偏导数如果这两个函数对x和y的偏导数也存在，则称这些偏导数为函数 $f\left ( x,y \right )$ 的二阶偏导数。按照函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 对变量求导次序不同，共有以下四种不同的二阶偏导数：

$\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )=\frac{\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}=z$

$\frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )=\frac{\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}=z$

$\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )=\frac{\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}=z$

$\frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )=\frac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}=z$

其中， $\frac{\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}$ 与 $\frac{\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}$ 称为二阶混合偏导数。

类似地，可以定义三阶，四阶，······以及n阶偏导数。二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理6.3.1 如果函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}$ 及 $\frac{\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}$ 在区域D内连续，则在该区域内

$\frac{\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}$

6.4 全微分

设函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 某邻域内有定义， $\Delta x,\Delta y$ 为自变量x,y在 $x_{0},y_{0}$ 分别取得改变量，称

$f\left ( x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y \right )-f\left ( x_{0},y_{0} \right )$

为函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 相应自变量改变量 $\Delta x,\Delta y$ 的全增量，记作 $\Delta z$ 。

定义6.4.1 设函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x,y \right )$ 的某邻域内有定义，若自变量在点 $\left ( x,y \right )$ 处产生改变量 $\Delta x,\Delta y$ ，而函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 相应的全增量

$\Delta z=f\left ( x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y \right )-f\left ( x,y \right )$

可以表示为

$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o\left ( \rho \right )$

其中，A，B是x,y的函数，与 $\Delta x,\Delta y$ 无关， $\rho =\sqrt{\left ( \Delta x \right )^{2}+\left ( \Delta y \right )^{2}}$ ，则称函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x,y \right )$ 处可微，而 $A\Delta x+B\Delta y$ 称为函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x,y \right )$ 处的全微分，记作或 $df\left ( x,y \right )$ ，即

$dz=A\Delta x+B\Delta y$

当函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在某平面区域D内处处可微时，称 $z=f\left ( x,y \right )$ 为D内可微函数。

定理6.4.1 （可微的必要条件）若函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x,y \right )$ 处可微，则函数在点 $\left ( x,y \right )$ 的偏导数存在，且函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x,y \right )$ 处的全微分为

dz=f

定理6.4.2 （可微的充分条件）若函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x,y \right )$ 的某一邻域内有连续的偏导数，则函数 $f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x,y \right )$ 处可微，且

dz=f

设函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x,y \right )$ 处的偏导数存在，则当y保持不变，一元函数 $f\left ( x,y \right )$ 在x点的微分称为函数 $f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x,y \right )$ 处关于x的偏积分，记作 $d_{x}z$ ,即

$d_{x}z=f$

当x保持不变，一元函数 $f\left ( x,y \right )$ 在y点的微分称为函数 $f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x,y \right )$ 处关于y的偏积分，记作 $d_{y}z$ ,即

$d_{y}z=f$

于是，

$dz=d_{x}z+d_{y}z$

即二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和。这一结果称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数。

6.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

6.5.1 多元复合函数的求导法则

6.5.2 隐函数的求导公式

定理6.5.2（隐函数存在定理）设函数 $F\left ( x,y \right )$ 在点 $\left (x_{0},y_{0} \right )$ 的某一邻域内有连续的偏导数，且 $F\left ( x_{0},y_{0} \right ),F$ ，则方程 $F\left ( x,y \right )=0$ 在点 $\left (x_{0},y_{0} \right )$ 的某一邻域内总能唯一确定一个连续且有连续导数的函数 $y=f\left ( x \right )$ ，使得 $y_{0}=f\left ( x_{0} \right )$ ，并且

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$ 或 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}$

定理6.5.3 设函数 $F\left ( x,y,z \right )$ 在点 $\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )$ 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 $F\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )=0,F$ ，则方程 $F\left ( x,y,z \right )=0$ 在点 $\left ( x_{0},y_{0},z_{0} \right )$ 的某一邻域内总能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的二元函数 $z=f\left ( x,y \right )$ ，使得 $z_{0}=f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ ，并且有

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{F$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{F$

定理6.5.4 设 $F\left ( x,y,u,v \right ),G\left ( x,y,u,v \right )$ 在点 $\left ( x_{0},y_{0},u_{0},v_{0} \right )$ 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 $F\left ( x_{0},y_{0},u_{0},v_{0} \right )=0,G\left ( x_{0},y_{0},u_{0},v_{0} \right )=0$ ，且偏导数所组成的雅可比行列式

$J=\frac{\partial \left ( F,G \right )}{\partial \left ( u,v \right )}=\begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix}$

在点 $\left ( x_{0},y_{0},u_{0},v_{0} \right )$ 不等于零，则方程组

$\left\{\begin{matrix} F\left ( x,y,u,v \right )=0\\ G\left ( x,y,u,v \right )=0 \end{matrix}\right.$

在点 $\left ( x_{0},y_{0},u_{0},v_{0} \right )$ 的某一邻域内总能唯一确定一组连续且有连续偏导数的函数 u=u(x,y),v=v(x,y) ,它们满足条件 $u_{0}=u\left ( x_{0},y_{0} \right ),v_{0}=v\left ( x_{0},y_{0} \right )$ ,且有

$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\cdot \frac{\partial \left ( F,G \right )}{\partial \left ( x,v \right )}=-\frac{\begin{vmatrix} F$

$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\cdot \frac{\partial \left ( F,G \right )}{\partial \left ( u,x \right )}=-\frac{\begin{vmatrix} F$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\cdot \frac{\partial \left ( F,G \right )}{\partial \left ( y,v \right )}=-\frac{\begin{vmatrix} F$

$\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\cdot \frac{\partial \left ( F,G \right )}{\partial \left ( u,y \right )}=-\frac{\begin{vmatrix} F$

6.6 二元函数的极值

6.6.1 二元函数的极值

定义6.6.1 设函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的某邻域 $U\left ( P_{0} \right )$ 内有定义，若对于 $\bigcup_{}^{o}\left ( P_{0} \right )$ 内的任一点 $\left (x,y \right )$ ,都有

$f\left ( x_{0},y_{0} \right )>f\left ( x,y \right )$ 或 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )<f\left ( x,y \right )$

则称函数 $f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 处取得极大值（或极小值） $f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ ，点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 称为函数 $f\left ( x,y \right )$

的极大值点（或极小值点）。

极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。

定理6.6.1（极值存在的必要条件）设函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 处存在偏导数，且在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 处取得极值，则有

$f_{x}$

定理6.6.2（极值存在的充分条件）设函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是其驻点，记

A=f

那么

（1）若 $B^{2}-AC<0,$ 且 A<0 ,则 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是极大值

若 $B^{2}-AC<0,$ 且 A>0, 则 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是极小值

（2）若 $B^{2}-AC>0,$ 则 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 不是极值

（3）若 $B^{2}-AC=0,$ 则 $f\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是不是极值需另行判断

6.6.2 条件极值与拉格朗日乘法数

在讨论函数 $f\left ( x,y \right )$ 的极值问题时，如果自变量除了限制在函数的定义域内以外，不受其他条件约束，此时的极值称为无条件极值，简称极值。如果自变量在函数的定义域内取值时，还要满足一定的附加条件——称为约束条件，这时所求的极值称为条件极值。

拉格朗日乘数法

用拉格朗日乘数法求函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在约束条件 $g\left ( x,y \right )=0$ 下的极值的步骤如下：

（1）构造拉格朗日函数

$L\left ( x,y,\lambda \right )=f\left ( x,y \right )+\lambda g\left ( x,y \right )$

其中，常数 $\lambda$ 称为拉格朗日乘数。

（2）求 $L\left ( x,y,\lambda \right )$ 对 x,y 及 $\lambda$ 的一阶偏导数，并令它们等于零，得方程组

$\left\{\begin{matrix} L$

解得 $x=x_{0},y=y_{0}$ ，则点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是函数 $z=f\left ( x,y \right )$ 在条件 $g\left ( x,y \right )=0$ 下的可能极值点。

（3）判断 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 是否是极值点。通常是根据具体问题的性质进行判断。一般情况下，若已求得了可能的极值点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ ，而实际问题又确定存在极值，那么，点 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 就是极值点。

注：拉格朗日乘数法还可以推广到二元以上的函数以及约束条件多于一个的情形。

以下两节内容因内容中包含很多图形，为了正确性，故放置原书图片。

6.7 二重积分的概念与性质

6.7.1 二重积分的概念

6.8 二重积分的计算

6.8.1 在直角坐标系下计算二重积分

6.8.2 在极坐标系下计算二重积分

6.8.3 二重积分的换元法

定理6.8.1 设函数 $f\left ( x,y \right )$ 在 xOy 平面的闭区域上连续，变换 T:x=x(u,v),y=y(u,v) 将uv平面的闭区域变为xy平面的D，且满足

（1） x(u,v),y(u,v) 在D'上具有一阶连续偏导数

（2）在D'上雅可比式 $J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\neq 0$

（3）变换T是D'与D之间的一个一一对应，则

$\iint_{D}^{}f(x,y)dxdy=\iint_{D}^{}f[x(u,v),y(u,v)]|J(u,v)|dudv$ (1)

需要指出的是，如果雅可比式 J(u,v) 只在D'内个别点上或D'的一条曲线上为零，而在其他点上不为零，那么式（1）仍成立。

在极坐标变换： $x=rcos\theta ,y=rsin\theta$ 下，雅可比式

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta } \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} cos\theta &-rsin\theta \\ sin\theta & rcos\theta \end{vmatrix}=r$