全等模型 之 对角互补 相关组织:武汉经开外国语学校808天鲲之家 制作人员:李之洋,肖天翼,张展硕,赵语涵 审核:谢紫璇,刘睿熙 一、模型解读 ①∠BAD+∠BCD=180°;互补 ②CD=CB;等腰 ③AC平分∠BAD;角平分线 对角互补模型:对角互补、等腰、 角平分线,知二推一 拓展:AB-AD=2BP或AD+AB=2AP 二、模型证明 已知:在四边形ABCD中,∠BAD+∠BCD=180°,AC平分∠BAD,求证:CB=CD 证明:过点C作CP⊥AB交AB于点P,作CQ⊥AD交AD延长线于点Q ∵AC平分∠BAD,CP⊥AB,CQ⊥AD ∴CP=CQ,∠CQD=∠CPB=90° ∵∠BAD+∠BCD=180° ∴∠ABC+∠ADC=180° 又∠CDQ+∠ADC=180° ∴∠CDQ=∠ABC 在△CPB与△CQD中 ∠CPB=∠CQD,∠PBC=∠CDQ,CP=CQ ∴△CPB≌△CQD(AAS) ∴CB=CD 三、经典例题 1. 我们过P向OM和ON作垂线,分别交于K与T。 ∵∠MON+∠APB=180°, ∴∠ OAP +∠ OBP=180°, ∵∠OAP +∠MAP=180°, ∴∠MAP=∠OBP。 ∵PK⊥OM, PT⊥ON, ∴∠OKP=∠PTB=90°。 在△PTB和△PKA中,∠PKA=∠PTB,∠KAP=∠PBT,AP=BP,∴△KAP≌△PTB(AAS), ∴KP=PT, ∵KP⊥OM,PT⊥ON,KP=PT, ∴OP平分∠MON。 2. ∵∠BAC+∠BDC=180°, ∴∠ABD+∠ACD=180°。 因为我们要构造一个等⻆,且 BD=DC,所以我们延长AC是最好的方法。 延长AC至K,使CK=AB,连接DK。 ∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠DCK=180°, ∴∠ABD=∠DCK。 在△ABD和△CDK中,BD=DC,∠ABD=∠CDK,AB=CK,∴△ABD≌△CDK (SAS), ∴AD=DK,∠BAD=∠CKD, ∴∠CAD=∠AKD, ∴AD平分∠BAC。 3. 如图,∠AOB+∠ACB=180°,因此我们可以构造对⻆互补,过C作CK⊥x轴,过C作CM ⊥y轴, ∵∠AOB+∠ACB=180°, ∴∠OAC +∠CBO=180°, ∵∠OAC +∠CAM=180°, ∴∠CBO=∠CAM, 在△CMA和△CKB中,∠CMA=∠CKB,∠ CAM=∠CBK,CM=CK, ∴△CMA≌△CKB(AAS), ∴AM=BK, ∵OA=M-AM,OB=OK+BK, ∴OA+OB=6 4. (1)延长AD至K,使DK=BH,连接CK, ∵AC平分∠DAB,CK⊥AD,CH⊥AB ∴CK=CH, 在△CDK 和△BCH中,CD=CB,CK=CH,DK=BH,∴△CDK≌△BCH (SSS), ∴∠CDK=∠B, ∴∠ADC +∠B=180° (2)在Rt△CDK和Rt△ACH中,AC=AC,CK=CH, ∴Rt△CDK≌Rt△ACD(HL), ∴AH=DK, ∴AH=8-(8-3)/2=5.5 四、变式例题 1. (1)连接DB、DC, ∵DG⊥BC且BG=CG, ∴BD=DC, ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF,∠BED=∠DFC=90°, 在Rt△BED和Rt△CFD中,DE=DF, BE=CF,∴Rt△BED≌ Rt△CFD(HL), ∴BE=CF (2)在Rt△ADE和Rt△ADF中,AD=AD,DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), ∴AE=AF. ∵AC+CF=AF, ∴AE=AC+CF, ∵AE=AB-BE, ∴AC+CF=AB-BE, ∴b+CF=a-BE, ∴BE=(a-b)/2, ∴AE=a-(a-b)/2=(a+b)/2 2. (1)∵CE平分∠QCB, ∴∠QCP=∠BCP, ∵∠QCP=∠QAP+∠APC=∠QAP+20°, ∴2∠QCP=2∠QAP+40°, ∵∠QCB=∠QAB+∠ABC=∠QAB+40°, ∴∠QAB=2∠QAP, ∴AD平分∠CAB (2)由(1)可知AD平分∠CAB, ∴∠FAB=∠FAN, 在△AFH和△AFN中,∠FNA=∠FHA,∠FAN=∠FAH,AF=AF,∴△AFN≌△AFH(AAS), ∴AN=AH,NF=FH, ∵FG垂直平分BC, ∴FC=FB. 在Rt△FCN和Rt△FBH中,FN=FH,FC=FB,∴Rt△FCN≌Rt△FBH(HL), ∴CN=BH, ∵AB=AH+BH=AN+BH=AC+CN+BH=AC+2BH, ∴5=3+2BH,∴BH=1. 六、总结 应对对角互补问题,我们常用的两种方法作辅助线: 1、过顶点作双垂线,构造全等三角形; 2、通过旋转,构造全等三角形。 |
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