电磁场的相对性

当以读书通世事 2023-10-14 发布于甘肃

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受一位读者之邀，这篇短文聊一聊电磁场的相对性。

按照Maxwell的理论，电场和磁场可以视为对一个洛伦兹矢量场 $A^\mu$ 的场张量： $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ （对于SU(N)场为 $F^a_{\mu\nu}=\partial_\mu A^a_\nu-\partial^a_\nu A_\mu+gf_{abc}A^b_{\mu}A^c_{\nu}$ ）的分解。因此作为其分量，电磁和磁场在洛伦兹变换下会发生相应的改变。现在的问题是：(i) 电场和磁场之间是否有更多的联系？（例如，它们是否具有某种对称性） (ii) 电磁场的观测值如何确定？（洛伦兹变换的物理意义？）下面简单地描述一下这两个问题：

(i) 电场和磁场的区别

在真空中，E和B具有Maxwell duality，但是一旦出现电荷，这个对称性当然就被打破了（不过想要在电动力学中引入和电荷完全对称的磁荷，似乎需要使用两个光子场）如果把空间坐标取反，作为场源的电流 $\mathbf{j}=\rho\mathbf{v}$ 也会改变符号，按照Maxwell方程， E会改变符号， B却保持不变（改变符号的意思是：对于 $\mathbf{X}=X_i\mathbf{e}_i$ ， $X_i$ 的符号改变）。

这些不同也导致背景磁场和电场性质的差异，例如在电场中会出现Schwinger效应，而在纯粹的磁场中则不会；在磁场中，引力子和光子会发生混合，而在纯粹的电场中则不会... E/B之分偶尔也被'滥用'，例如CMB极化场E/B模式的命名，这里E/B的含义似乎更接近标势/矢势。

(ii) 电磁场的观测值

洛伦兹变换是时空坐标的变换，对应着时空坐标轴 (基矢量) 的转动，而这些基矢量定义了一个观者的视角。因此，不妨说洛伦兹变换的对象是局域惯性系的基矢量，而洛伦兹变换的结果是在不同观者之间进行了切换。

Maxwell的电动力学并不是一个拓扑理论，也即它取决于时空背景的度量性质，例如对四维真空，是度规决定了Faraday和Maxwell 2-form之间的本构关系。使用一组具体的标架，便可以从场张量中提取出一个给定观测者所看到的电磁场，这就是：（按照-+++度规下的一种常见定义）

$E^\mu=F^{\mu \nu}u_\nu,\quad B^\mu=\tilde F^{\mu\nu}u_\nu,\quad u_\mu u^\mu=-1$ 其中u是观测者归一化的四速度（线性引力中的Weyl张量也可以进行类似的分解）。观测者的局域惯性系由标架 $\{e^\mu_{(\alpha)}\}_{\alpha}$ 定义 ( $e^\mu_{(0)}=u^\mu$ )，从而 $E^{(i)}=e^{(i)}_{\mu}E^\mu=e^{(i)}_{\mu}F^{\mu \nu}u_\nu$ 。作为标架， $e^\mu_{(\alpha)} e^{\nu}_{(\beta)}g_{\mu\nu}=\eta_{\alpha\beta}$ ，在平坦时空中， $E^{(\alpha)}=e^{(\alpha)}_{\mu}E^\mu$ ， $e^\mu_{(\alpha)} e^{\nu}_{(\beta)}\eta_{\mu\nu}=\eta_{\alpha\beta}$ ，容易看到， $e^{\mu}_{(\alpha)}$ 就是洛伦兹变换的矩阵，对于 $u^\mu=\gamma(1,0,0,\beta)$ 为

$e^{\mu}_{(\alpha)}=\left.\left(\begin{array}{cccc}\gamma&0&0&\beta\gamma\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\beta\gamma&0&0&\gamma\end{array}\right.\right),\quad e^{(\alpha)}_\mu=[e^{\mu}_{(\alpha)}]^{-1}=\left.\left(\begin{array}{cccc}\gamma&0&0&-\beta\gamma\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\beta\gamma&0&0&\gamma\end{array}\right.\right)$ 这里考虑的观者位于一个时空点上，但是在平坦时空中，每个时空点上具有相同四速度观者的情况完全一样。即使时空并非平坦，也可以对整个时空的坐标进行洛伦兹变换（作为一种特殊的广义坐标变换），然而其物理意义就难说了。

平坦时空中的洛伦兹变换无法让我们理解加速观者的感受。例如：考虑一个平坦时空中具有恒定4-加速度 $a^\mu=(a,0,0,0)$ 的观者，且在Minkovski坐标系中有一个电荷静止在 $(x_*,y_*,z_*)$ ，其场张量为 $F_{ab}(t,x,y,z)$ 。在Rindler坐标下， $d^2s=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2=-a^2\rho^2d\tau^2+d\rho^2+dy^2+dz^2$ （坐标变换为 $t=\rho\sinh a\tau,\quad x=\rho \cosh a\tau,\quad \rho\ge0$ ），观者静止在 $\rho$ 处，从而 $u^\mu=(\frac{1}{a\rho},0,0,0)$ ， $E^0=B^0=0$ 。取 $e_{(\alpha)}^\mu=\text{diag}(\frac{1}{a\rho},1,1,1)$ 从而 $e^{(\alpha)}_\mu=\text{diag}(a\rho,1,1,1)$ ， $E^{(i)}=E^i=-a\rho F^{i0}$ 的话，对 $F_{ab}$ 进行坐标变换到就可以得到观者看到的电磁场。对于此问题，切换到Rindler坐标系确实也没有太多方便之处，但是这显示了另一种观测者效应，因为在Rindler坐标下，时空中出现了一个视界，而来自视界外面任何场源的电磁波她都不能再收到了。

在空间平坦的FLRW时空中，如果使用坐标 $ds^2=-dt^2+a^2d\mathbf{x}^2$ ，则对于静态观者 $u^\mu=(1,0,0,0)$ ，取 $e_{(\alpha)}^\mu=\text{diag}(1,1/a,1/a,1/a)$ 从而 $e^{(\alpha)}_\mu=\text{diag}(1,a,a,a)$ 的话， $E^{(i)}=aE^i=-aF^{i0}=a^{-1}(-\dot{\mathbf{A}}+\nabla A_0)$ ， $B^{(i)}=aB^i=a^{-2}\nabla\times\mathbf{A}$ ，这里 $\mathbf{A}=A_i$ 。确实，电磁场的能量密度 $\propto [B^{(i)}]^2+[E^{(i)}]^2=\frac{|\nabla\times\mathbf{A}|^2}{a^4}+\frac{|-\dot{\mathbf{A}}+\nabla A_0|^2}{a^2}=\frac{|\nabla\times\mathbf{A}|^2+|-\mathbf{A}$ 。

(在共形时间下，能量密度为 $\frac{|\nabla\times\mathbf{A}|^2+|-\mathbf{A}$ ，这个差异是因为时间坐标不同， $A_{0=\eta}=\frac{\partial t}{\partial \eta}A_{0=t}=aA_{0=t}$ ）例如 $\mathbf{A}=By\mathbf{e}_z$ 产生x方向的匀强磁场 $\nabla\times\mathbf{A}=B\mathbf{e}_x$ ，但这样静态观者看到的磁场为 $a^{-2}B$ 。对于 $u^\mu=\gamma(1,0,0,\beta/a)$ ，其中 $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ ，

$e^{\mu=\text{row}}_{(\alpha)}=\left.\left(\begin{array}{cccc}\gamma&0&0&\beta\gamma\\0&a^{-1}&0&0\\0&0&a^{-1}&0\\\beta\gamma/a&0&0&\gamma/a\end{array}\right.\right),\quad e^{(\alpha)}_\mu=[e^{\mu}_{(\alpha)}]^{-1}=\left.\left(\begin{array}{cccc}\gamma&0&0&-a\beta\gamma\\0&a&0&0\\0&0&a&0\\-\beta\gamma&0&0&a\gamma\end{array}\right.\right)$ 则：

$E^{(i)}=e^{(i)}_{\mu}F^{\mu \nu}u_\nu=e^{(i)}_{j}F^{j 3}u_3=a^{-4}e^{(i)}_{2}F_{23}u_3=a^{-4}aB(a\gamma\beta)=\gamma\beta(a^{-2} B)\delta_{i2}$ 问题是 $A_i$ 能否独立于尺度因子的演化呢？这就得看其场源的情况了。