【原】如何准确理解高中函数的定义？

这两天，很多学校高一第一次月考成绩出来了，不用问也知道，考试结果不太理想，这是正常的现象。

         

第一次月考题目比较难，导致学生都考得不太好。 

         

学校这么做有两点原因，其一是为了给同学们一个下马威，告诉学生高中的课程不是那么简单的；其二是让学生感受平时作业与考试的难度是有区别的，课后需要自己花时间钻研，有些学校的月考题直接上高考难度，难到怀疑人生。

         

“失败是成功之母”，希望同学们稍作休整、重拾信心，不能因一次失利而萎靡不振。

因为，我们马上要面对的是高中数学的王者——函数。（进度较快的学校，可能已经上到函数的性质或更后面，但重新认识一遍函数的定义，对理解函数有很大帮助）

（一）

高中函数是很多同学的噩梦，一听说这个名字，就有点谈虎色变，因为很多同学在初中就没学明白，从心底里畏惧它。

但其实，它没什么可怕的。

初中没学明白函数也不要慌，因为初中考察函数的方向跑偏了，偏向于考察特殊三角形、四边形的存在性问题，类似于高中的解析几何，但到了高中，函数不会这么考。

所以说，高一新生从学习第三章——函数的概念与性质开始，每个人又站在同一起跑线上，重新启航。

就让我们先从“函数”这个名字开始说起。

函数，英文名：function，最初由德国数学家莱布尼茨在1692年使用，19世纪由清代数学家李善兰翻译外国文献传入中国。

为什么取名为“函数”？

原因是中国古代“函”字与“含”字通用，都有“包含”的意思，函的本义是装东西的匣子，函数就是包含、盛装数的代号。

所以，取名为“函数”，相当形象。

         

高中函数符号：y=f(x)，f是取function的首字母，代表的含义：在x取不同值时，f(x)也会随之发生变化，而不是f与(x)的乘积。

         

对比一下初、高中函数的定义，

人教版初二下册函数定义

         

  

人教A版必修第一册函数定义

         

从两者定义可以看出，初中函数强调对应关系的唯一性；而高中函数，是建立在集合论的基础之上，强调映射关系，用词更严谨、准确。因此，我们先学完集合，再学函数，逻辑严密。

         

初中函数的对应关系包括“一对多”、“多对一”、“一对一”。其中，“一对多”，不能称之为函数，这会导致唯一的自变量对应不同的值，会出bug。“多对一”、“一对一”可称之为函数，这两种关系，皆可称为“映射”，映射是特殊的对应关系。

         

“多对一”，比如二次函数，当x=-2时，函数值为4；当x=2时，函数值也为4，多个自变量对应同一个函数值。

         

“一对一”，比如一次函数y=2x，自变量与函数值一一对应。

那什么关系不能称为函数？

“一对多”不行，比如，当x=4时，y=±2，同一个自变量对应有两个值，这样的关系不能称之为函数。

借助图像来辅助理解：

         

         

（二）

那么，我们该如何理解高中函数定义中的y=f(x)？

x是自变量，f是对应法则，y是在x确定的情况下所取的值，即为函数值，或称为因变量。

特别注意，y=f(x)括号里的x，可以是定值、变量，还可以是函数。

1、y=f(2)，指的是当x=2时，y的值为多少，取决于是何种对应法则，最终结果是定值。

2、y=f(t)，指的是当x=t时，y的值为多少，最终结果是代数式。

3、y=f(x+2)，指的是当x=x+2时，y的值为多少，最终结果是代数式。

4、，指的是当外层括号里时，y的值为多少，最终结果也是代数式。

每一条的第二个等号，不是等于的意思，其本质是“赋值”，指定它为何值，替换。

我们以函数为例，

1、y=f(2)，指的是当x=2时，

2、y=f(t)，指的是当x=t时，

3、y=f(x+2)，指的是当x=x+2时，

4、，指的是当外层括号里的时，

重点解释一下第四点，当括号里x赋值为函数时，，这一种函数，我们称之为复合函数，或为嵌套函数，即两个或两个以上函数复合为同一个函数。

比如:

则：

按正常进度学，需要等高二在选择性必修第二册才能见到，但大多数时候，我们在月考当中就会遇到它们，所以最好提前掌握。

多说一句，...，这一类函数都可以看成复合函数，先将括号内的代数式换元，变为新的自变量t，找到新元t与旧元x的等量关系，然后全部替换为新元，即可将函数关系式变得清晰、明了。这也是之后我们求函数解析式的一种方法。

同理，等函数都可以这么理解，只不过它们代表的对应法则不同，其它含义都可以照搬。

 

（三）

y=f(x)还体现函数三要素：定义域、对应法则、值域。

一、定义域

回到函数定义，，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域。

二、对应关系

对应关系是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”，具体表现为函数的解析式，也说成对应法则。

仍以函数为例，此种对应关系是自变量的平方加2，即为，等号两边括号内的代数需保持一致。

我们经常看到，其中f、g、h代表不同的函数有不同的对应关系。

如果题目条件只告诉我们y=f(x)，以及函数满足的几点性质，而没有具体的对应关系，那么，像这样的函数我们称之为抽象函数。这一类题通常比较难，对抽象思维要求较高。

三、值域

与x相对应的y值叫做函数值，函数的值域是函数值的集合。

通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么，它的值域也就随之确定。

说到底，高中函数为什么这么难以理解？

1、符号多，专业名词多。

2、初高中函数定义混淆，分不清到底该什么术语表达。

         

         

那要如何解决这个问题？

若看完文章上面的部分，还没有解答你心中的疑惑，可以去问问老师或同学，看看他们是如何理解的。

或者，把问题记下来，等周末有空余时间，带着问题去B站上看网课，估计就能解决。至于如何利用网课学习，可以看看上次的文章（如何高效地利用B站网课，学习高中数学？）

每一个函数专业名词有它独特的含义，靠初中的刷题方式也不一定能弄懂原理，只能靠自行领悟。但只要能抓住函数的本质，不管它怎么变，都有迹可循。

这，仅仅是第一节课——函数的概念所带来的知识点，还未介绍相关题型，也没有包括之后函数的基本性质，难点还在后面。

所以，好好加油吧！

如果认同这篇文章，别忘了点个在看，或转发朋友圈。