【原】九上数学人教第二十三章单元测试卷

第二十三章　旋转

一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)

1.(2022·浙江湖州期中)如图是神舟十三号载人飞行任务标识,该标识经过旋转能得到的是　　　　　　 　　　　　　　　　　(　　)

　　               A　　　　 B　　　　　C　　　　D

2.(2022·河南三门峡期中)已知点P₁(a,-2)与点P₂(3,b)关于原点对称,则(a+b)^{2 023}=(　　)

A.-1   B.1 C.-5^{2 023} D.5^{2 023}

3.在如图所示的方格纸中,将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影,使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形,该小正方形的序号是(　　)

A.①   B.②   C.③   D.④

(第3题)　　(第4题)

4.(2021·浙江湖州吴兴区期末)如图,在正方形网格中,线段A'B'是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度后所得,点A'与点A是对应点,则这个旋转角可能是(　　)

A.45° B.60° C.90° D.135°

5.(2021·山东济南市中区段考)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,若点D恰好在线段BC的延长线上,则下列结论中错误的是(　　)

A.∠BAD=∠CAE B.∠CDE=90°

C.∠ABC=45°  D.∠ACB=120°

(第5题)　　(第6题)

6.(2021·山西运城盐湖区期末)如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,将△BAE顺时针旋转,得到△BA'E',连接DA'.若∠ADC=60°,∠ADA'=50°,则∠DA'E'的度数为(　　)

A.130°    B.150°    C.160°    D.170°

7.(2021·江西南昌期中)如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为(　　)

A.(-a,-b-2) B.(-a,-b-1)

C.(-a,-b+1) D.(-a,-b)

(第7题)　　(第8题)

8.(2021·海南模拟)如图,将边长为1的正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转一定角度后,得到正方形FGCE,使得点B落在对角线CF上,则阴影部分的面积是(　　)

A. B.2-

C.-1 D.

9.(2022·浙江杭州西湖区期中)上数学拓展课的时候,小明转动三角板发现了一个很奇妙的结论:如图(1),将含有45°角的三角板ABC绕点A顺时针旋转,当∠BAD<90°时,延长线段ED和线段CB使之相交于点F,如图(2),则CF-DF的值始终不变.若AB=5,则CF-DF的值为(　　)

A.10 B.10   C.15   D.

10.(2022·甘肃白银期末改编)如图,在正方形ABCD中,顶点A,B,C,D在坐标轴上,且B(2,0),以AB为边构造菱形ABEF,将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第2 022次旋转结束时,点F_{2 022}的坐标为(　　)

A.(-2,2) B.(-2,-2)

C.(2,-2) D.(-2,-2)

二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)

11. 新风向 开放性试题请任写一个成中心对称图形的汉字、字母或数字:　　　　　. 

12. 新风向 新定义试题(2022·四川南充期中改编)若f(m,n)=(m,-n),g(m,n)=(-m,-n),则g[f(-2,3)]=　　　　. 

13.在如图所示的平面直角坐标系中,△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A'B'C',则点A的对应点A'的坐标是　　　　. 

(第13题)　　(第14题)

14.(2021·江西南昌红谷滩区模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,△A'B'C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的,其中点A'与点A是对应点,点B'与点B是对应点,连接AB',且A,B',A'三点在同一条直线上,则AA'的长为　　　　　. 

15.(2022·河南焦作段考)如图,在△AOB和△COD中,∠AOB=∠COD=90°,∠B=38°,∠C=72°,点D在OA上.将△COD绕点O顺时针旋转一周,每秒旋转10°,在旋转过程中,当时间为　　　　时,CD∥AB. 

三、解答题(共6小题,共55分)

16.(6分)(2021·浙江宁波模拟)图(1)、图(2)、图(3)均是由边长为1的正三角形构成的网格,每个网格图中有5个正三角形已涂黑.请在余下的正三角形中按下列要求作图.

(1)在图(1)中选择1个正三角形涂黑,使得阴影部分图形是中心对称图形,但不是轴对称图形;

(2)在图(2)中选择2个正三角形涂黑,使得阴影部分图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;

(3)在图(3)中选择3个正三角形涂黑,使得阴影部分图形既是中心对称图形,又是轴对称图形.

17.(8分)(2022·甘肃庆阳期中改编)在下列网格图中,每个小正方形的边长均为1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.

(1)试在图中作出△ABC以点A为旋转中心,按顺时针方向旋转90°后得到的图形△AB₁C₁;

(2)若点B的坐标为(-3,5),试在图中画出直角坐标系,并写出A,C两点的坐标;

(3)根据(2)中的直角坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A₂B₂C₂,并写出B₂,C₂两点的坐标.

18.(9分)如图(1),一个内角等于60°的菱形ABCD,将∠MAN的顶点与该菱形的顶点A重合,且∠MAN=60°.以点A为旋转中心,按顺时针方向旋转∠MAN,使它的两边分别交CB,DC于点E,F.

(1)当BE=DF时,AE与AF的数量关系是　　　　; 

(2)如图(2),当BE≠DF时,(1)中的结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.

19.(9分)(2022·重庆江津区联考)如图,将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC,其中点A,B的对应点分别是点D,E,点B落在DE边上,延长AC交DE于点F,AB,DC交于点G.

(1)判断AB与DE的位置关系,并说明理由.

(2)求证:FB+BG=BC.

20.(11分)(2022·吉林长春期中)阅读与理解:

图(1)是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片叠放在一起的图形(C和C'重合).

操作与证明:

(1)操作:固定△ABC,将△C'DE绕点C按顺时针方向旋转30°,连接AD,BE,如图(2),线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论;

　　 图(1)　　　　　图(2)　　　　 图(3)

(2)操作:若将图(1)中△C'DE,绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α,连接AD,BE,如图(3),线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论.

猜想与发现:

(3)若将图(1)中的△C'DE,绕点C'按逆时针方向旋转α(0°<α<360°),当α等于多少时,△BCD的面积最大?请直接写出结果.

21.(12分) 新风向 探究性试题(2022·河南洛阳外国语学校期中)如图(1),已知∠DAC=90°,△ABC是等边三角形,点P为射线AD上任意一点(点P不与点A重合),连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,连接QB并延长交直线AD于点E.

(1)如图(1),猜想∠QEP=　　　　°; 

(2)如图(2)和图(3),若当∠DAC为锐角或钝角时,其他条件不变,猜想∠QEP的度数,并选取一种情况加以证明;

(3)如图(3),若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=4,求BQ的长.

图(1)　图(2)

图(3)

第二十三章　旋转答案

1.B

2.A　∵点P₁(a,-2)与点P₂(3,b)关于原点对称,∴a=-3,b=2,∴(a+b)^{2 023}=(-3+2)^{2 023}=-1.

3.B　

4.C　连接AA',BB',作线段AA',BB'的垂直平分线交于点O,点O即为旋转中心.连接OA,OA',即∠AOA'为旋转角,∴旋转角可能为90°.故选C.

5.D　∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,∴AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠BAD=∠CAE=90°,∴∠ABC=∠ADC=∠ADE=45°,∴∠CDE=90°,∴选项A,B,C正确.而∠ACB=120°推不出来,故选D.

6.C　∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠ABC=∠ADC=60°,AD∥BC,∴∠ADA'+∠DA'B=180°.∵∠ADA'=50°,∴∠DA'B=130°.∵AE⊥BE,∴∠BAE=30°.由旋转可知∠BA'E'=∠BAE=30°,∴∠DA'E'=130°+30°=160°.

7.A　根据题意,点A,A'关于点C对称,设点A'的坐标是(x,y),则=0,=-1,解得x=-a,y=-b-2,∴点A'的坐标是(-a,-b-2).

8.C　设AB与EF交于点H.由题意知EF=CE=1,CF==,∴BF=-1.∵∠BFE=45°,∴BH=BF=-1,S_阴影部分=S_△EFC-S_△HBF=×1×1-×(-1)²=-1.

9.B　如图,连接AF.由题意得∠ABF=∠AEF=90°,AB=AE.在Rt△ABF和Rt△AEF中,∴Rt△ABF≌Rt△AEF(HL),∴BF=EF,∴CF-DF=BC+BF-DF=BC+EF-DF=BC+DE=2BC.∵△ABC是等腰直角三角形,∴BC=AB=5,∴CF-DF=10.

10.D　由题意可得OB=OA=2,∴AB=2.∵四边形ABEF是菱形,∴AF=AB=2,∴F(2,2).由题意可得,F₁(2,-2),F₂(-2,-2),F₃(-2,2),F₄(2,2)……每旋转4次为一个循环.∵2 022÷4=505……2,∴点F_{2 022}的坐标为(-2,-2).

11.0(或田,N等,答案不唯一)　

12.(2,3)　由题意得f(-2,3)=(-2,-3),∴g[f(-2,3)]=g(-2,-3)=(2,3).

13.(4,1)

图解： 如图,点A'的坐标是(4,1).

14.6　∵△A'B'C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的,∴CA'=CA,CB'=CB=2,∠A'CB'=∠ACB=90°,∠A'B'C=∠B=60°,∠A'=∠BAC=30°.∵A,B',A'三点在同一条直线上,CA'=CA,∴∠A'AC=∠A'=30°.又∠A'B'C=∠B'AC+∠B'CA=60°,∴∠B'CA=∠B'AC=30°,∴AB'=B'C=2.在Rt△A'B'C中,由∠A'=30°,得A'B'=2B'C=4,∴AA'=AB'+B'A'=2+4=6.

15.11秒或29秒　(分类讨论思想)∵∠C=72°,∠COD=90°,∴∠CDO=18°.①如图(1),CD和AB在点O同侧时,设CD与OB相交于点E.∵AB∥CD,∴∠CEO=∠B=38°,∴∠DOE=∠CEO-∠CDO=38°-18°=20°,∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+20°=110°.∵每秒旋转10°,∴此时旋转时间为11秒.②如图(2),CD和AB在点O异侧时,延长BO与CD相交于点E.∵AB∥CD,∴∠CEO=∠B=38°,∴∠DOE=∠CEO-∠CDO=38°-18°=20°,∴旋转角为270°+20°=290°.∵每秒旋转10°,∴旋转时间为29秒.综上所述,当时间为11秒或29秒时,CD∥AB.

16.【参考答案】(1)如图(1).(2分)

(2)如图(2),答案不唯一.(4分)

(3)如图(3).(6分)

17.【参考答案】(1)△AB₁C₁如图所示.(2分)

(2)直角坐标系如图所示,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(-3,1).(5分)

(3)△A₂B₂C₂如图所示,点B₂的坐标为(3,-5),点C₂的坐标为(3,-1).(8分)

18.【思路导图】(1)菱形ABCD的性质△ABE≌△ADF→AE=AF

(2)连接AC△ABC,△ACD为等边三角形△BAE≌△CAF→AE=AF

【参考答案】(1)AE=AF(4分)

解法提示:∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD,∠B=∠D.

在△ABE和△ADF中,

∴△ABE≌△ADF(SAS),

∴AE=AF.

(2)成立.(5分)

证明:如图,连接AC,

∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,

∴AB=BC=AD=CD,∠D=∠B=60°,

∴△ABC和△ACD都是等边三角形,

∴AB=AC,∠ACD=∠B=∠BAC=60°.(7分)

∵∠MAN=60°=∠BAC,

∴∠BAE=∠CAF.

在△BAE和△CAF中,

∴△BAE≌△CAF(ASA),

∴AE=AF.(9分)

19.【参考答案】(1)AB⊥DE.(1分)

理由:由旋转可得∠A=∠D,∠ACD=∠BCE=90°.

∵∠DGB=∠CGA,

∴∠DBG=∠ACG=90°,

∴AB⊥DE.(4分)

(2)由旋转可得∠ABC=∠E,∠ACB=∠DCE,BC=EC.

∴∠BCG=∠ECF,

∴△CBG≌△CEF,∴EF=BG,

∴FB+BG=FB+EF=BE.

∵EC=BC,∠BCE=90°,

∴△BCE为等腰直角三角形,

∴BE=BC,

即FB+BG=BC.(9分)

20.【参考答案】(1)BE=AD.(1分)

证明:∵△C'DE绕点C按顺时针方向旋转30°,

∴∠BCE=∠ACD=30°.(2分)

∵△ABC与△C'DE是等边三角形,

∴CB=CA,CE=CD,(3分)

∴△BCE≌△ACD,

∴BE=AD.(5分)

(2)BE=AD.(6分)

证明:∵△C'DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α,

∴∠BCE=∠ACD=α.(7分)

∵△ABC与△C'DE是等边三角形,

∴CB=CA,CE=CD,(8分)

∴△BCE≌△ACD,

∴BE=AD.(9分)

(3)α=150°或330°.(11分)

解法提示:如图,当D旋转到点D₁或点D₂位置时,△BCD的面积最大,此时旋转角是60°+90°=150°或360°-30°=330°.

21.【参考答案】(1)60(2分)

解法提示:如图(1),连接PQ.设QE与PC交于点M.

∵PC=CQ,∠PCQ=60°,△ABC是等边三角形,

∴∠PCQ=∠ACB,BC=AC,

∴∠PCQ-∠PCB=∠ACB-∠PCB,即∠BCQ=∠ACP.

在△CQB和△CPA中,

∴△CQB≌△CPA,

∴∠CQB=∠CPA.

在△PEM和△CQM中,

∵∠EMP=∠CMQ,

∴∠QEP=∠QCP=60°.

(2)∠QEP=60°.

以∠DAC为锐角为例进行证明.

证明:如图(2),∵△ABC是等边三角形,

∴AC=BC,∠ACB=60°.

∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,

∴CP=CQ,∠PCQ=60°,

∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ,

即∠ACP=∠BCQ.(4分)

在△CQB和△CPA中,

∴△CQB≌△CPA,

∴∠Q=∠CPA.(6分)

∵∠1=∠2,

∴∠QEP=∠QCP=60°.(7分)

(3)如图(3),过点C作CH⊥AD交DA的延长线于点H,

易证得△CQB≌△CPA,

∴BQ=AP.(9分)

∵∠DAC=135°,∠ACP=15°,

∴∠APC=30°,∠CAH=45°,

∴△ACH为等腰直角三角形,(10分)

∴AH=CH=AC=×4=2.

∵∠CPH=30°,

∴CP=2CH=4.

由勾股定理可得,PH===2,

∴PA=PH-AH=2-2,

∴BQ=2-2.(12分)

图(1)图(2)图(3)