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不少同学在学习了一个新的知识点，或者对某些知识点做题训练多了，遇到相关的数学符号题目，就会不自主的套用这种方法。下笔特快，效果特差（典型的思维定势）。拿到一个题时，首先观察分析。这个过程一定不能省略。盲目的生搬硬套，会带来灾难性的后果。我们先来看下面的题： 已知f(x)=(ax^2-8x+b)/(x^2+1)，f(x)的值域为[1,9]，求a+b解析：首先，[1,9]这个符号怎么理解？1≤f(x)≤9 。【思路1】：如果能直接求出f(x)min,或f(x)max对应的x是不是有可能解决。求最值可以对其进行求导f’(x)=0，这里特别要注意的是：因为x^2+1>0，有的同学直接令g(x)=ax^2-8x+b，g’(x)=0对求导，根据a的符号分类讨论，得到的f(x)对应x的极值。错在哪里？g(x)的单调性能不能代表f(x)?答案显然是不能的。再者，对于f’(x)=0，计算起来是很复杂的。当然理论上可以找出取得f(x)极值时，x与系数的关系。有兴趣的、计算能力强的可以尝试一下。学了导数后，特别是做了不少难题后，会形成一种定向思维，万物皆可导。反而忘却了为了什么而出发。实际上如果这道题在大家初中的时候做时，解答起来更加得心用手。【思路2】：【正统解法】 (ax^2+8x+b)/(x^2+1)>=1恒成立，(a-1)x^2+8x+b-1>=0 恒成立。因此 a-1>0 并且Δ等于零 (因为y可以取到1)，Δ=64-4(a-1)(b-1)=0 --（1）式。
(ii) (ax^2+8x+b)/(x^2+1)<=9恒成立，(a-9)x^2+8x+b-9<=0恒成立。因此 a-9<0 并且Δ等于零
（因为y可以取到9），Δ=64-4(a-9)(b-9)=0-------------------（2）式。
联立解得a=5 ，b=5【思路3】：[万能k法] 设f(x)=y,则yx²+y=ax²-8x+b,化简得(a-y)x²-8x+b-y=0，判别式△=64-4(a-y)(b-y)≥0，得y²-(a+b)y+ab-16≤0由已知,这个不等式的解集应该是[1,9]，即y对应着[1,9]，即y²-(a+b)y+ab-16=0的两个根是1和9，将1和9代入可以解得a=5,b=5。为什么不等式的解集的端点对应着两个根？一定要想明白。突破思维定势的方法及相关知识点 转化思维：通过将复杂问题转化为简单问题，将抽象问题转化为具体问题，从而突破思维定势。例如，在解决立体几何问题时，可以通过将其转化为平面几何问题来简化难度。逆向思维：反常规的思维方式，通过从问题的反面或侧面寻找突破口，从而突破思维定势。例如，在解决解析几何问题时，可以通过逆向思维来寻找解题的新思路。逻辑思维：基于推理的思维方式，通过对问题的深入分析，从而突破思维定势。例如，在解决排列组合问题时，可以通过逻辑思维来推理出正确的答案。类比思维：通过比较两个或多个事物的相似性来解决问题的思维方式。例如，在解决三角函数问题时，可以通过类比思维来将已知条件和未知条件进行比较，从而找到解题的新思路。创新思维：打破常规的思维方式，通过提出新的想法和解决方案来帮助大家突破思维定势。例如，在解决函数单调性问题时，可以通过创新思维来提出新的证明方法。系统思维：将问题看成一个整体的思维方式，通过对问题的整体把握来突破思维定势。例如，在解决解析几何问题时，可以通过系统思维来将问题看成一个整体，从而更好地理解问题的本质。特别是物理分析中，运用的非常多。灵活运用数学知识的建议 建立知识网络：即构建自己的数学知识体系。便能见点成面（拿到一道题不再是看到一个点，而是一个知识面）将所学的数学知识形成一个系统的知识网络，将各个知识点联系起来。这有助于更好地理解数学知识的整体结构，更好地记忆和应用知识。学会举一反三：即知识点的逻辑串联起来。举一反三，即通过一个知识点的学习，能够推断出其他类似知识点的内容。培养敏锐的观察力和类比思维，通过比较不同知识点之间的相似性和差异性，加深对知识点的理解和记忆。掌握解题技巧：通过对各类题型的分析和总结，掌握其解题思路和技巧，可以更快地解决类似的问题。同时，也要学会对解题方法进行归类和总结，以便在遇到新问题时能够迅速找到合适的解题方法。多角度思考问题：尝试从不同的角度进行分析和思考，可以锻炼自己的思维能力和解题能力。例如，本题虽然导数求解麻烦，但也是一种方法。同时，多角度思考问题也可以帮助发现新的解题方法和思路。培养数学兴趣：通过阅读相关的数学读物可以培养自己的数学兴趣和爱好，从而更深入地理解和应用数学知识。高考加油！
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