【原】一道2023年新高考解析几何试题的探究

2023年新高考解析几何试题的探究

题目：已知平面上一点P(x, y)满足方程x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0，点A(1,3)，B(-2, 1)，C(3, -2)，求证：∠APB = ∠BPC = ∠CPA。

解析：首，观察给出的点P(x, y)的方程x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0，我们可以将其变形为(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25，这是一个以点(3, -2)为圆心，半径为5的圆。

然后，我们连接线段PA、PB和PC，目标是证明∠APB = ∠BPC = ∠CPA。

考虑到点A、B、C都位于圆上，我们可以根据圆的性质推导这一结论。

首先，连接点(3, -2)和A(1, 3)，我们可以得到线段OA。

      O(3,-2)         A(1,3)根据圆的性质，线段OA是圆的半径，所以|OA| = 5。同理，连接点O(3, -2)和B(-2, 1)，得到线段OB，|OB| = 5；连接点O(3, -2)和C(3, -2)，得到线段OC，|OC| = 5。

综所述，线段OA、线段OB和线段OC都等于5，即三个点和O(3, -2)构成的三角形OAB、OBC和OCA是边长均为5的等边三角形。

我们知道，对于等边三角形，其三个内角相等，所以∠AOB = ∠BOC = ∠COA。

又根据余弦定理，三角形各边的边长和夹角的关系可以得到：

cos∠AOB = (|OA|^2 + |OB|^2 - |AB|^2) / (2 * |OA| * |OB|)

cos∠BOC = (|OB|^2 + |OC|^2 - |BC|^2) / (2 * |OB| * |OC|)

cos∠COA = (|OC|^2 + |OA|^2 - |CA|^2) / (2 * |OC| * |OA|)

由于等边三角形OAB、OBC和OCA的边长均为5，所以可以将上式中的边长代入，化简得到：

cos∠AOB = (5^2 + 5^2 - |AB|^2) / (2 * 5 * 5)

cos∠BOC = (5^2 + 5^2 - |BC|^2) / (2 * 5 * 5)

cos∠COA = (5^2 + 5^2 - |CA|^2) / (2 * 5 * 5)

即，

cos∠AOB = (25 + 25 - |AB|^2) / 50

cos∠BOC = (25 + 25 - |BC|^2) / 50

cos∠COA = (25 + 25 - |CA|^2) / 50

因为|AB| = |BC| = |CA| = 5，所以可以进一步简化为：

cos∠AOB = (25 + 25 - 5^2) / 50 = 45 / 50 = 9 / 10

cos∠BOC = (25 + 25 - 5^2) / 50 = 45 / 50 = 9 / 10

cos∠COA = (25 + 25 - 5^2) / 50 = 45 / 50 = 9 / 10

由于cos∠AOB = cos∠BOC = cos∠COA，所以∠AOB = ∠BOC = ∠COA。综上所述，我们证明了三个角∠APB = ∠BPC = ∠CPA。

高考解析几何的解题策略可以分为以下几点：

1. 理解题意和提取关键信息：仔细阅读题目，理解题目所给条件和要求，提取关键信息，明确问题的解题目标。

2. 绘制清晰的图像：将题目中提到的几何图形绘制出来，使问题形象化。合理选择图纸大小和比例，确保图形的准确性和清晰度。

3. 运用几何性质和定理：根据题目条件和图形特点，运用几何知识和定理进行推理和分析。掌握常用几何性质和定理，如平行线性质、垂直线性质、三角形性质、相似三角形性质、圆的性质等。

4. 建立等式或方程：根据题目要求，建立等式或方程来解决问题。根据几何性质，设置未知量，并利用等式或方程进行求解。

5. 使用相似性和比例关系：对于涉及相似三角形的问题，可以利用相似三角形的性质和比例关系进行求解。注意判断相似的条件和利用相似比找出未知量。

6. 利用面积关系和比值关系：利用面积关系，如三角形的面积公式、平行四边形的面积公式等，来解决问题。同时，注意利用比值关系，如比较两个三角形的底边和高的比值等。

7. 注意特殊情况和边界条件：在解题过程中，要及时发现和利用特殊情况和边界条件，找出可能的规律和特点。特殊情况的考察在高考解析几何常常出现。

8. 检查和验证解答：在得到答案后，要进行检查和验证，确保解答符合题目要求，并且没有遗漏或错误。

通过以上解题策略，可以帮助学生在高考解析几何中更好地理解问题、应用几何知识、解决问题，并提高解题的准确性和速度。同时，多进行题目的练习和总结，提高解决不同类型几何问题的能力。