【原】未知数，变量有什么区别？

wisfree 2023-11-13 发布于广东

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变量是一个动态变化的量，它代表了函数图像上的每一点。

未知数是一个数，可以根据题中信息求解出来。

代数与世界的联系

数学是一个很广泛的概念，而且也不好精确地定义，不过我们可以把它理解成一个“研究数量关系的学科”，至少我是这么理解的。

数量是一个抽象概念，它是这个世界事物的“多少”的衡量。它既抽象又不抽象。比如说我们可以很轻松地理解数字 “1”，但如果要给它一个精确的定义就是十分困难的了。

就像所说的 “普适的代价就是更加抽象”，想象一下，数字 1 既可以表示一个苹果的数量，也可以表示一架飞机，也可以表示一种颜色，也可以表示是与否的逻辑。正是因为它可以表示非常多的东西，所以它“十分的抽象”。

然而我们一般把数字认为是一种普遍存在，不可再定义的一种东西，并用它们表示苹果的数量等等。我们认为 5 个苹果就是 5 个苹果，苹果表示一个数量单元（或者叫单位），而 5 这个数字表示有多少个这样的单元，这是我们普遍接受的用来表示事物“多少”的方法。

想要用数字去表示事物的“多少”，我们必须规定一个数量单元，也就是那个被表示的东西。

比如如果我们想要表示从家到地铁站的路有多远，要用数字去表示这个路程的多少，我们需要规定一个单元：比如 “一步”；然后我们可以统计我们用了多少个 “一步” 来到达地铁站，从而根据“步数”来呈现路程的“多和少”。

或者比如在几何和物理里，我们通过构建坐标系来达到用“数字”表示事物状态和程度的目的。比如通过构造一种网格（笛卡尔坐标系），网格的每个交点都有一个我们指定的“坐标”，每个坐标都是一组数字，这样我们就可以通过提供一个坐标（一组数字）来达到描述物体位置的目的，这也是在利用“数字”描述事物的方式。

在上面两个例子里，构建步数和坐标描述事物的方法叫做“数量化”，这是我们使用数字去描述世界的必要途径。【但是这里切记，数字本身并不是苹果或者位置，数字本身是数字，但是通过我们的定义，可以用来达到描述苹果和位置程度的一种方式，或者可以理解数字是一种“语言”】

那么现在问题来了，并不是所有的“数字”（或者说描述事物的语言）都是我们知道的。如上面步数的例子，虽然我们知道怎样去描述地铁站的远近，但我们还是“不知道”地铁站的远近，或者说如果我们不去一步步走到地铁站然后统计走过的步数，我们是“不知道”这个步的数量的。遇到这种未知的数量该怎么办呢？这就需要引入“未知数”的概念，在数学上用一个英文字母或者希腊字母来表示。

未知数

未知数是一个有区别于已知数的全新概念，它是用来表示一种我们“不知道”或者是“不关心”的数量的一种工具。但是因为未知数的数学操作和已知数非常相似，所以我们在小学接触到未知数时可以很容易理解并且能马上使用它们。但是未知数实际上和已知数是“有区别的”，而且也有使用的“要求”。

未知数平不一定是指一个普通的数字，它也可以指一个函数，一个向量，一个矩阵，甚至是一个集合；或者说任何“运算元素”都可以被设为未知数，它和已知数的区别在于它是未知的或者我们不关心的。

虽然说未知数是未知的，但是我们在设立它们的时候都应该知道一些信息。比如我们设立参加派对的人数为未知数；我们知道，人数必须是正整数，不可能出现个人或个人。另外我们还知道参加派对的人数不会太多，不会超过个人。所以这里我们设立的未知数的值可能是 0 到 100 的正整数之间的任何一个数（包括 0 和 100）。我们把这个 0 到 100 的正整数的集合称为我们设立的未知数的 “可能取值”。

每个未知数都有一个它的 “可能取值”，是一个集合，里面装了所有这个未知数可能成为的数，比如下面这个例子：

下面的圆圈就是 A B C 的“可能取值”。

接下来我们定义未知数的运算性质。我们如果要进行数学上的运算，那我们必先规定运算元素的运算和运算性质。我总结了一下未知数的运算：

【未知数具有和其中任何一个“可能取值”相同的运算和运算性质】

也就是说，未知数的运算和运算性质完全取决于它的“可能取值”的运算和运算性质。

这是什么意思呢，举个例子：

这里的 A 和 B 两个未知数的“可能取值”都是由所有 3 x 3 的矩阵构成的集合。而 A 和 B 的运算和运算性质也和它们“可能取值”的元素一样。

什么意思呢？也就是说，我们从A 和 B 的可能取值里各取出一个元素，如：

那么 A 和 B 的运算也和那两个元素“一样”！

很显然那两个可能取值里的元素符合“加法交换律”，所以 A 和 B 也同样符合加法交换律。

这相当于我们可以把 A B 两个未知数当作是“已知数”来进行运算

我们再来看一个例子：

这里可见，未知数 a 的可能取值含有 “0”。但是根据规定，未知数具有和其“可能取值”中的任何一个元素相同的运算和运算性质。

我们取 b 的值为 1 （把未知数当作已知数，取可能取值中的一个元素测验），a 为 0。我们将会发现，并不符合运算法则，也就是说“可能取值”中元素的运算法则并不允许零被除，所以根据规定，未知数 a 和 b 的运算也不允许这个运算，因为未知数要求要和“任何一个”可能取值具有相同的运算和运算性质。

【在这里我强烈建议大家把未知数理解为“一个数”，而不是一坨数或者一个可能的数，而是“某一个数”，只是我们不知道它的值而已。】

再回到我们步数的问题：

现在我们想知道我们从家走到地铁站的步数（设它为未知数 a ），如图，我们已知从家走到“百货商场”的步数；我们另外设从百货商场到地铁站的步数为 b；过了一会，我们好心的朋友打电话告诉我们了从百货商场走到地铁站的步数 b。现在我们就可以通过列出以下未知数量之间的关系来 “解出” 未知数 a 。

我们知道，未知数和它们的“可能取值”的元素具有相同的运算性质。在已知数的等式中，我们通过“等式两边同时加减”，等式仍然成立。那么在未知数的等式中（含有未知数的等式也叫做“方程”）也一样，我们把未知数也当作一个“已知数”去处理，只是我们暂时不知道它的值而已。

因为 b 的值与 200 相同（第二个等式），而在第一个等式里左右两边同时减去一个相同的值等式仍然成立，所以可以这么写（如上图），这也就是为什么我们可以将两个等式直接相加相减的原因，因为任何一个等式两端同时加减一个相同的值等式仍然成立。

绿色圈里的 +b - b 可以被看作是已知数 “0”，为什么呢？因为根据规定：“未知数具有和其“可能取值”中的任何一个元素相同的运算和运算性质”，因为 b 的可能取值是正整数，任何一个正整数被这么运算都为零，你可以代入几个正整数测验，然后会发现所有正整数经过+-运算后都是零。所以未知数 b 的运算也一样，它也为零。

同理，a 加上零也是 a，因为它的所有可能取值元素加上 0 也等于它们自己。右边经过相减后就成了 300，最后得出 a 的值为 300，也就是我们从家到地铁站的步数。

这其实就是一个典型的代数操作。【我们先设立未知数，然后确定未知数和已知数之间的关系，从而解出未知数的值。】

现在我想大家可能会问：我们如何才能确定未知数的等量关系呢？这里就不得不提到一种东西叫做“映射”。

变量

在物理和生活中广泛应用的一个数学概念叫做“函数”（或者说“映射），它表示的是一种数与数之间的对应关系。

函数具有很多种表示方法，比如：连线图，代数式，矩阵... 等等。

而使用最多的表示方式之一就是“代数式”，也就是用一个含有字母的数学式子表示的，像这样：

我们要注意到，虽然函数的表达式里含有字母，但是我们千万不能把这里的字母和表示未知数的字母搞混了！因为它们的意义是不一样的。

我们把函数表达式里的字母称为“变量”。（一般未知数用 a b c 表示；而变量用 x y z 表示）

【“变量”的意义在于它是一个可以不断被带入数的一个空位，或者我们可以把它理解为一个“盒子”，这个盒子不是数，但是它可以被放入数字来达到表示函数的目的。】

变量还有一个重要的性质：因为我们可以把变量理解为一个空盒子，一个用来放数的空位，而它本身“不是数”，只是用来描述函数关系的工具。所以就算我们把变量的字母替换成别字母的也可以，像这样：

在这里，和是等价的，因为和都是空盒子，所以和表示的函数关系（映射）也是相同的，无论使用哪个字母。同理还有：

积分的变量也相当于空盒子，无论哪个空盒子只要表达的函数一样就行了。

变量也具有“可能取值”，即函数的“定义域”和“值域”，而变量的运算也被定义为和其“可能取值”中的任何一个元素具有相同的运算和运算性质，这和未知数的运算定义一样。

接着我们再来看看含有变量的等式的“等量关系”的定义。不同于未知数和已知数的等量关系，变量的等量关系被定义为“等式两端的映射相等”，这是什么意思呢？如下式：

等式的左侧是由为自变量表示的单变量函数，等式的右侧也是一个由为自变量表示的单变量函数；那么左右侧相等的意思是说“等式左侧的单变量函数和右侧的单变量函数相等”；而函数相等就是说这两个函数表示同样的映射关系。上式和【其中 a 是未知数】是有区别的，因为一个是两端“映射”相等，另一个是两端的“值”相等，它们具有截然不同的意义！因为变量 x 根本不是数，所以 x 的值也无从谈起。

在学习物理中，经常会看到“三个横的等号”，像这样：

上式左侧是一个函数（由变量表示的），而右侧是一个数！这又是怎么回事？

这个的意思是说“函数是把所有定义域的数都映成 5 的函数”，也就是无论定义域放进去任何数，它都映成 5 这个数；读作“函数恒等于 5 “。