|
2020.02.11 日 一 二 三 四 五 六 寒假期间，重温张奠宙教授的《小学数学教材中的大道理》一书，再结合教学实践，颇有感触。今天分享课题4：再次建议淡化“含有未知数的等式叫方程”，这一节主要谈“方程的意义”教材的处理。 方程承载着从算术思维到代数思维的一次飞跃，要用短短一节课时间实现这个跨越，对大部分学生来说，是个学习上的难点。 “方程的意义”这节课也比较经典，但要上好这节课依然不容易。这就要对本节课的内容有更深的理解。当我读完这一部分的内容之后，又对这一节概念课有新的理解。
翻看各版本（人教版、苏教版、北师大版）教材的定义：
“这样含有未知数的等式叫方程。”可见这个定义出现各版本教材中。关于这个定义的“讨论”其实已经很多。多数观点就是这个方程的定义只是对方程的“外貌”作了描述，并没有触及方程作为一种数学模型的本质。 如果教师没有经验，以这个定义为法宝，让学生读和背，其实对于方程意义的理解没有多大意义，反而容易忽视方程更本质的东西。 于是本书中张教授就从这个定义说起，有几段话值得思考，小结一下： 1.陈穆重教授指出：“含有未知数的等式叫方程”这样的定义要淡化，不要记，无需背，更不要考。关键是要理解方程思想的本质以及它的价值和意义。 2.这个定义和后面练习，最明显就是把未知数换成字母，成了“含有字母的等式，称为方程。”但是字母未必都是未知数。“含有字母的等式”种类很多，同样是含有字母的等式，未必都是方程。 ⅰ字母泛指任意数。如加法交换律a+b=b+a，也是含有字母的等式，但并不是方程。 ⅱ字母表示某类数。如三角形的面积计算公式是S=ah÷2，其中a是底、h是高。这也和方程没关系。 ⅲ字母表示变量。如函数也是含有字母的等式：s=vt，y=1/x等。如果作为函数研究，在意义上与方程是不相同的。 比如x=1是不是方程之类的问题，恐怕就没有多大意义。 3.方程概念的核心是要“求”未知数。作为一种数学模型的方程是为了让人去“解”的。谈方程，必须说到“求出未知数”。 4.张教授提出替代性定义：“方程是为了求出未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”这样的定义，把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数；方程乃是一种关系，其特征是“等式”，这种等式关系把未知数与已知数联系起来。 5.代数的本质，并非如“代数，代数，就是文字代表数”那样简单。它的实质在于等式变换过程中的还原和对消。代数学的本意是“还原与对消的学科”，也就是通过式的运算，化简、对消，最终把淹没在方程中的未知数x还原出来，显示出x的本来面目。 6.算术方法与代数（方程）方法解题思路往往是相反的。打一个比方：如果将要求的答案比喻为河对岸的一块宝石。那么算术方法好像摸着石头过河，从我们知道的岸边开始。一步一步摸索着接近对岸的位置目标。而代数方法确不同，好像是将一根带钩的绳子甩过河，拴住对岸的未知数（建立了一种关系），然后利用这根绳子（关系）慢慢的拉过来，最终获得这块宝石。两者的思维方向相反，但是结果相同。  思考一：什么是方程？ 各版本的教材都采用：属概念加种差的方式，按“等式+含义未知数到方程”的线索教学方程的意义。没有体现方程的实质。 方程作为一种数学模型的本质：赋予未知数以与已知数同样的地位参与运算，方便地把一个实际问题中的数量关系“转译”为未知数 与已知数之间的等式关系，进而求出未知数的值。 简单说，方程有两个本质特征： （1）等式，建立相等关系；（2）未知数，求解未知数。
以沪教版为例，教材也在改进，第二版对方程的定义增加了：“为了求未知数”，“方程的作用”这些词语，帮助教师和学生进一步理解方程意义。不过却容易被忽视，学生在读方程定义时会忽略。 思考二：“方程”的历史经历哪些阶段？ 方程的演变大致经历三个阶段： 1.“文词式”方程，即全部用文字语言表达，没有任何简写和符号。约2000多年前的《九章算术》就记载方程。 2.“简写式”方程，即出现了未知量的代替形式，但是没有出现符号、等号。代表人物就是代数鼻祖丢番图。公元250年前后，古希腊数学家丢番图写一本数学巨著《算术》，引入未知数的概念。700年前李治发明“天元术”，在算筹旁标注“元”“太”表示一次项和常数项。 3.“符号式”方程。对此作出重要贡献的是韦达和笛卡尔。笛卡尔在韦达的基础上，对符号代数系统作改进，用字母表中前面的字母（a、b、c……）代表已知数，用后面的字母（x、y、z……）代表未知数，才形成现在的方程。 反思一：“方程”定义揭示是不是太快？ 这节概念课很容易出现快速揭示出概念，然后记住或读概念，再到练习。这就导致方程的本质学生没有真实的感受，包括前面提到的两点，这样也不利于后面列方程解决问题。 从个人上课和听课的感受，“快”在没有把等量关系讲清楚，没有提供更多的等量关系素材；“快”在没有让学生去说和写等量关系，从而经历方程的演变过程；“快”在没有体现方程的目的是求未知数。 等式这个概念是学习方程的一个前概念，应该优先教学。介绍等量关系应注重未知和已知联系起来。 反思二：揭示“等量关系”素材只能用天平吗？ 基本每个版本都是用天平揭示等量关系。因为天平素材比较简单学生易接受。但是只有这一种素材，也比较单调。除了“天平的等量关系”还可以提供“生活中的等量关系”。 沪教版书本中既给了天平、还给了比身高、木条长度相等的等量关系。教学应该设计丰富情境，让学生经历建立方程模型的过程。这里个人有以下几点体会比较深刻： 1.突破“=”（等号）表示的含义。因为学生往往把等号理解为运算结果或“答案是什么”。这里可以安排关于等号话题讨论，等号除了表示计算的过程，还可以表示一种相等关系。这点很重要！引导学生体会从过程性研究转变为结构性研究，体现思考问题着眼点的变化。 2.相等关系不仅仅出现在平衡的天平上，还可以有不同的表现形式。并且有“是”、“刚好”、“长度相等”等字表示相等关系。 3.一个方程中可以出现不同的字母。情境中最好出现不同的字母，比如y、z等。 4.只有在表示相等关系，并出现未知数时，才能用方程。 反思三：这节课学生可以提哪些问题？ 直接引入方程这个课题（或提供材料预习），然后引导学生想研究哪些问题？不少数学内容都可以这样处理。学生一般会出现这些问题： 1、方程是什么？ 2、方程是谁创造的？ 3、方程起源于何时？ 4、为什么要创造方程？ 5、方程学习用来干什么？ 6、方程中的未知数只能用一个字母表示吗？ 7、怎么列方程？ 8、方程该怎么算？ …… 有些问题就可以用数学史的方式介绍给学生。当然有些问题不能一节课解决，但是有个延续性可以继续解决。 反思四：等式和方程的关系该怎样处理？ 一般情况都是通过情境让学生根据等量关系去列式，从而有等式、不等式和方程出现。所以这样会有两次分类：不等式和等式；等式和方程。 有的老师还会有第三次分类：“好方程”和“坏方程”之分。其目的就是解决后面会有学生在解决问题时先按照算术法写出式子再写个x的问题。
比如上图，学生会列出25+y=173;173-y=25；y=173-25三个方程。这里引导学生发现这里未知数也参与运算，方程的目的是求出未知数，把已知和未知建立联系。这样集合图就可以出现。 反思五：练习上可以有哪些改进？ 1、判断哪些是方程？这个题目可以增加一些这样的题： （）÷2=35；4×▢=100;a2=9 其实方程的雏形在低年级就已经出现过，这样和之前的学习建立联系。部分学生会认为它们不是方程；因为里面不含有字母。因为学生会认为未知数只有字母，这里（）、▢等符号也可以表示未知数。而a2=9引导联想正方形，不忘方程通过建模求未知数本质。当然还可以举多元、分式方程拓展学生对方程内涵和外延认识。 2、可以出示不同情境用同一个方程表示的题。 3、给出方程如4x=400让学生列举出用此方程解决的实际问题。 进一步丰富方程的内涵，再次认识方程是刻画现实世界中等量关系的有效数学模型。 当然，对于方程的感悟靠一节课是不够的，这就像后续孩子是否愿意用方程去解决实际问题一样，需要不断比较、感悟！ 我的思考 阅读的最大意义就是更透彻地了解不曾了解的知识。可以充实自己，吸取别人的经验，开拓自己的视角。当然能结合自己的实际去思考，有点感悟就更好了。 宅在家里，也是一份贡献。读一本书，打发时间也让自己更充实！  |
|
|
