史宁中：义教数学新课标的修订亮点与核心素养的表达

 

▲教育部义务教育数学课标研制组组长 史宁中

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数学新课标有哪些变化？

21世纪中国的基础教育发生了巨大变革，本世纪开始的基础教育的改革，在本质上就是课程标准如何制定和落实的问题。课程标准的修订已有近20年时间，义务教育数学课标修订之后的版本整体呈现三大亮点，并坚持落实两大根本任务。

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呈现三大亮点

拓展课程目标。过去传统教学目标是双基，后来我们发现双基不够，拓展到四基，加上了基本思想和基本活动经验。过去强调分析问题和解决问题，但是到了2011年左右，中国已经提出培养创新性人才，因此光有分析问题和解决问题能力是不够的，因此增加了发现问题的能力和提出问题的能力。

丰富课程内容。2001的课程标准中没有几何的概念，用空间与图形来表达，后来我们把它改成图形与几何，并且增加了若干个基本事实，使得几何证明成为可能。数学教育一直存在一个问题——数学的证明只有几何证明而没有代数的证明，课程标准中只有代数的基本事实而缺少几何的基本事实。大家都认为不从基本事实出发的证明就不是证明，因此刚颁布的课程标准在此基础上增加了两个基本事实，一个是等量相等，还有一个就是等式的基本性质。

强调核心素养。2011年版本的课标已经把国家一直所说的数学的三大能力，运算能力，推理能力和空间想象力，拓展为10个核心词，在数学上是8个核心词。可以看到除了保持这些之外加上了符号、意识、数感、抽象有关的核心词，这是很重要的一个变化。传统的数学教育不强调抽象，但是对于数学来说抽象是极为重要的，因为数学的结论是看出来的，不是证明出来的，因此所有学科对培养学科的直觉是极为重要的。

数学的基本思想是指什么？第一就是学习数学一般愿意给一个思维的原则，数学基本思想是数学的产生与发展所必须依赖的思想，学习过数学应当具有的思维特征是抽象推理和模型，通过抽象使得现实世界的事情到了数学内部，因为通过抽象得到了数项研究成果，抽象的主要对象是数量与数量的关系，图形与图形的关系，形成了研究对象和研究对象之间的关系，用定义符号来表达。

数学自身的发展是通过推理而得到的，数学的结论也通过推理而得到。推理主要分两类，一类是通过归纳类比来得到结论，还有一个是通过演绎的方法论证结论。我写过一篇文章论证，无论是归纳类比还是演绎推理都是有逻辑性的。

我把逻辑定义为具有传递性的推理形式，就论证了归纳、类比和演绎都是有传递性的。因此数学之所以有严谨性就是因为无论得到结论的过程还是验证结果的过程都是有逻辑的。第三个就是模型，数学通过语言构建了通往现实世界的桥梁，因此数学返回现实世界是通过模型来布局的，很多学科也采用了数学语言来表示某个领域的性质、关系和规律。

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落实根本任务

这次课标修订有两个根本任务，也是所有学科都必须完成的任务。

第一是立德树人。教育部04年的文件是通过核心素养的落实来完成立德树人的根本任务，并且要求高中课程标准，就应该落实核心素养，用核心素养指导课程标准的实施始终。义教也提出了这个要求，因此我们这次课标修订有一个任务就是如何落实核心素养。

第二是实现学科融合，这是一个世界潮流。义务教育阶段不要把学科分得很细，要把科学学科包括自然科学学科等与数学有机融合。对于数学来说需要完成5件事情：

（1）学段的划分。关于学段的划分是一件很难的事情，2011版课标分了两个学段，一到三年级一个阶段，四到六年级一个阶段。其实比较合理的是一二年级一个学段，三四年级一个学段，五六年级一个学段。

对于义务教育来说有个基本原则，就是教育要适合学生的身心发展规律。小学一二年级的孩子不太适宜学数学，因为他说话都说不明白；针对四、五年级的学生，仔细调查一下就会发现，四五年级的孩子在思维过程中有一个很大的分水岭，五年级的孩子似乎就对一些抽象的东西多多少少能够理解一些。因此学段划三个学段比两个学段更加合理，要根据学生的心理素质来定。

（2）把四基四能与提倡的核心素养怎样有机结合。

（3）加强几何直观、提升数学素养的前提下，如何调整课程的结构与内容。

（4）在综合与实践里如何融入跨学科的知识和传统文化。

（5）最重要的一件事情，就是如何体现数学的一致性。可能很多老师和同学不太知道一致性目前存在的问题是什么，我稍微来阐述一下。

一个是现在小学数学最大的问题是数的认识缺乏一致性，就是缺乏一个数学化的过程。整数怎么认识？通过数量；分数小数怎么认识？通过分米、厘米；而分数是强调等分，这里没有一个共同的东西，能把这三个数串联起来。因此在学习分数的时候，没有强调分数的单位。这样的问题会出在比较大小上，例如1/2:1/3大，道理是什么？是分子相等，所以分母大分数小。事实上对于分数来说不应该存在这样的道理，应该是在同样的单位下才能比较大小，因此1/2和1/3比较大小，必须得要同样的单位，即变成3/6和2/6，3/6比2/6大，这样就可以得到1/2比1/3大。

第二是数的运算缺乏一致性。举例说明，分数和小数的除法是小学数学的重点和难点，但是各讲各的理。分数除法用包含除的原则来讲，比如一包含三个1/3，所以1÷1/3=3，那么4÷1/3怎么办？变成了4×1/3除上这个，然后1÷1/3=等于3，所以4÷1/3=4×3，事实上这个道理是很深的道理；分数除法用商不变的方法，就是0.4÷0.02，扩大100倍不变，得到的是正确的结果。为什么商不变就是对的？举的例子都是实数的例子，都是整数的例子，整数例子为什么对小数好使？这是个问题。

以上两点使得学生认为数学分了好多样，整数的数学、分数的数学、小数的数学。运算也有好多样，有整数运算、分数运算、小数运算。这样不仅仅是把学生的思维搞乱，更重要的是耽误了很长时间。弗莱登塔尔早就看出了这个问题，并提出一味地依赖具体情境会使得除法的问题变得更加复杂。由于教师与教科书的编写者对于如何从直观分数进展到算法的分数缺乏认识，使实际问题更加恶化。

 

如何理解与表达数学中的核心素养？

因为立德树人的根本任务没有变，所以核心素养要涉及到小学、初中与高中，我想很可能未来将涉及大学、研究生，可能还会指导老师、研究者的素养。理解和表达核心素养我认为必须具备三个基本特征，供大家参考。

保持内涵的一致性。小学、初中与高中的核心素养不能割裂开来，核心素养应该是从一到终，每一个学习过数学的人都应该具有的、但又是终极的、永远达不到的。

呈现过程的阶段性。每一个不同的学习阶段核心素养应该有不同的表现，与身心发展有关、知识储备有关、与经验积累有关。

表述应该有整体性。要既有数学的特征，又有数学教育的特征。更具体的说，要具有学科的思维特征，还有心理学的特征与认知的特征。

核心素养现在定义为“是数学教育的、与人的行为（思维、做事）有关的终极目标；是学生在本人参与的教学活动中，逐步形成发展的；是经验的积累、过程目标的拓展、四基的继承发展”，进而可以把核心素养表述为“会用数学眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”。这样的表述既有数学本身的特征，也有教育所要描述的认知方面的、心理学方面的特征。

现在的核心素养跟原来我曾经说的数学思想相比包含的东西更多了，我们来具体看一下。

什么是数学的眼光？为什么要观察？因为数学为人们提供了一个认识与探究现实世界的观察方法，因此具有了数学的这种观察方法，学生就能够直观的理解数学的知识及其背景，能够在日常生活中和其他学科中发现数学，能用数学的方法研究其他领域的事物，并且能表示出这些研究对象和他的关系。具有这种视野，他就能够发现有意义的数学问题，引起数学探究。情感态度价值观方面能够发展好奇心、想象力和创新意识，在这个意义上它比数学的抽象更加上位。

什么是数学的思维？数学为人们提供了一种理解和解释现实世界的思考方法。通过学习，学生能够理解数学的基本概念、法则的发生与发展的过程，知道数学基本概念之间的关系，知道数学与现实世界的关系，能够合乎情理的理解数学的一些结论，能够用数学的方法探究现实世界的规律，能经历一个数学再发现的过程，能够培养批判性思维，能够培养实事求是的科学态度，培养理性精神。

什么是数学的语言？数学是如何来表达的？数学为人们提供了一个描述与交流现实世界的表达方式，这一点比模型更加上位。学生掌握了数学的语言，他就初步掌握了数学与现实世界的交流方式，能够有意识的用数学表达现实生活中和其他学科中的性质、关系和规律，感悟数据的意义和价值。只有在这样的过程中，学生才能感悟数学语言，包括表达概念，包括等式、不等式的简洁与优美，养成用数学语言来表达和交流，增加跨学科的应用意识和实践。

核心素养的数学特征是什么？数学的眼光虽然是提供人们观察世界的一种方法，但在本质上是数学的抽象，并且它的数学特征是因为数学抽象而拥有的一般性。数学思维的本质是逻辑推理，即具有传递性的推理，培养的是逻辑思维能力，是具有传递性的思维。例如符合从小到大的标准，即为归纳和类比；从大到小就是演绎，这样的推理是有逻辑的，因此数学具有严谨性。现代社会的学科要走向科学，就要尽可能多的使用数学语言，构建数学模型，使得数学形成一种新特征，即数学应用的广泛性。本次新课标将核心素养、数学的思想、数学的特征进行有机地结合。

核心素养的阶段性特征有哪些？低学段基于感官，更具体、更侧重意识，这种意识是基于感性的；高学段基于概念，更一般、更侧重观念，观念是概念基础上的认知，借助于思想，借助于能力。因此我们保留了2011版的10个核心词，2017版的6个表现，核心素养的具体表现阐述在高中阶段有抽象，想象，逻辑，推理，计算，跟数学的眼光，思维，语言对应；初中就是更具体的抽象能力，空间的观念，几何直观；小学几乎没有谈抽象这件事情，谈的是符号意识与数感，这次又加了一个词——量感。

但是老师们一定要知道，这些词语是抽象的一个具体的体现，到初中才更多的谈抽象，小学只要有推理的意思就行，在初中强调一下推理能力，到高中要明明白白的说推理的形式。小学阶段要求的一个能力就是运算，小学拥有模型意识与数据意识就行了，到初中阶段需要形成思想、形成观念，而到高中阶段就开始要求拥有能力。

落实核心素养，改变课标表述。数学源于对现实世界的抽象，主要研究对象是数量和数量关系，以及图形与图形关系；基于抽象结构，得到了数学的符号运算、形式推理、模型构建等形成数学结论的方法，最主要希望能够帮助人们认识理解和表达现实世界，能够表达本质的关系和规律。因此数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。语言承载了思想与文化，如果数学也是一种语言的话，那么数学也能够承载着思想、承载着文化，因此数学是人类文明的重要组成部分。

这样认识数学的方法是从伽利略和牛顿那个时代开始，伽利略曾说：“宇宙这本书是用数学语言来形容，如果不懂得数学语言，那么我们只能在黑暗中摸索”；爱因斯坦也评价到：“由于伽利略看到了这一点，尤其是由于他向科学界谆谆不倦地教导这一点，使他成为近代物理学之父，事实上也成为近代科学之父”。因此现代科学的发展，是因为用数学的原理来表达了现实世界的规律。

 

数学的课程内容与结构有哪些调整？

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强调抽象结构

我们强调抽象，在抽象的基础上强调了抽象结构。抽象结构是近代数学发展的一个很基础的东西，我们不仅要知道研究对象是什么，更要重视研究对象的性质是什么。这个观念最早是亚里士多德提出的，他说：“数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西......线、角或者其他的量（的定义），不是作为存在而是作为关系”，即这个东西存不存在本身不重要，重要是他们之间的关系。

同样的说法，希尔伯特描述的非常形象：“欧几里得关于点线面的定义在数学上是不重要的，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论把它作为点、线、面，还是把它们称为桌子、椅子、啤酒瓶，最终推理得到的结论都是一样的”。仅就概念教概念的教法是有问题的，教概念的同时，应当教他们的性质、关系和规律，或者其中的一样，因此概念需要螺旋式上升。

例如集合是现代数学的基本语言，在这个基础上谈顺序，就构建了数的关系。数的本质是大小关系，数是对数量的抽象，数量的本质是多与少，那么数的本质抽象出来就是大与小，因此实数空间是构建函数的基本空间。

在大学里度量是非常重要的。定义距离空间，定义测度，比如概率论就是主要基于两种策略，一种是技术测度，一种是勒贝格程度，它有和运算的结合。

对基础教育来说运算也是很重要的，知道研究对象之后一定要知道研究对象的运算。特别是数域跟研究对象，跟运算有直接的关系。要保证运算，主要是保证逆运算的封闭性，这样的话，减法可以使得自然数扩充到整数，除法可以使得整数扩充到有理数。

基于这样的思想，我们把数与代数的六个主题合并成两个主题，领域没有变，但是主题发生了很大的变化。比如图形与几何的四个主题变成两个主题，把图形的认识和测量放在一起，把数的认识和运算放在一起。

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提倡教学与教研的整体性

我们在这次课标里提倡要整体备课，包括全年级的整体备课、全学段的整体备课、全校老师的整体备课。对应于核心素养的整体性、一致性和阶段性，要体现在日常教学中的整体性、一致性和阶段性。

日常教学中的整体性是指知识体系和相应的核心素养的整体把握；一致性是从概念的最初提出到最后的实际应用应当是一致的；阶段性是我们需要知道我们研究的数学知识是如何进阶的，以及核心素养是如何进阶的。

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增加跨学科内容

除了学段分成了三个学段，综合与实践也增加了内容，主要增加的是跨学科的内容，强调了传统文化。比如曹冲称象、度量衡圆周率的故事都要讲数学，这是很重要的。数学讲传统文化与其它学科讲传统文化不太一样，比如曹冲称象语文可以讲，但是数学讲的曹冲称象除了认识重量单位之外，还要讲等量的等量相等这个道理，还要讲总量等于分量和的道理。传统文化里蕴含的数学道理，值得老师们仔细探讨。

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强调代数推理和几何直观

这次课标强调代数推理和几何直观，代数推理就是通过归纳类比得到结论，这个想法在小学是不是能够稍微梳理一下，我希望教材编者认真思考。比如我们讲了两位数乘以一位数、两位数乘以两位数或者三位数乘以一位数，那么关于三位数乘以两位数的计算方法，是不是可以让学生自己得到，让学生通过举一反三来归纳算法。

要进行这样的归纳，教材编写就应该注意，过去的教材编写光写竖式不写横式是不行的，横式是算理，竖式是算法，光讲算法不讲算理是不行的。比如说乘法，竖式算要把数分解，要用到分配律，可以得出算律决定算理，而算理决定算法，这个思想是非常重要的一种事情。

几何要增加尺规作图，要感悟抽象物体的存在。几何抽象的本质是什么？我想几何抽象的本质就是把三维的物体用二维图形表现出来，即几何的本质是二维和三维之间的关系。因此在小学阶段进行尺规作图是必要的，让学生感悟到抽象物的存在，比如圆的存在；比如同样长的线段，除了能用刻度之外，用圆规也能量出；或者给学生一个线段能做出等边三角形，以及知道什么是周长，这都是很重要的。

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关于数学化

首先关于数学化，课标是这样描述的：要初步体会数的概念一致性和运算一致性。即怎么实现一致性就是怎么实现数学化，这次特别引进一个计数单位的概念。计数单位是一种特殊的计量单位，是个数和顺序的计量单位，把它作为数学化一致性的抓手。数的认识，不管是分数、小数还是整数，都是计数单位的表达。例如4/3个1/3，1/3是计数单位，这样就解决了假分数的问题，不然假分数永远说不清楚。运算也是这样，比较大小应在同样的计数单位下进行，因此分数的加减运算中，通分就是为了得到同样的计数单位。

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课程内容的重组

新课标把方程的内容移到了初中。主要有两个原因，第一是没涉及到方程的本质。过去小学数学把方程认为是只有一位字母表示未知数，其实表示未知数不是问题的本质。字母只是表示了这个方程中的系数，而不是表示未知数，因此用字母来表达性质、关系和规律是非常重要的。过去讲授字母的表示只有半节课，人教版最多的也不到一节课，现在是要求6-8节课，来讲怎么用字母表示数，感悟出字母就是抽象的意义。

第二是没有感知到方程的必要性。过去领悟简单方程，用5-x=2这样的方程来研究是非常不合适的。现在有一个基本原则，可能是未来教材编写，甚至是教师讲课应该遵循的原则，就是所有的新的概念的引入和新的方法的引入，必须让学生感悟其必要性，不是我教你就得学，而是我教你这个东西是很有用的，所以老师要引导学生产生学习兴趣。因此必须在用四则运算解起来非常困难的情况下，我们才能够引入方程，感悟引入方程是一个非常便利的事情。

传统定义下含有未知数的等式叫做方程，这个定义是不成立的，因为数学的定义必须是充分必要，例如2-x=x是含有未知数的等式，但它并不是方程，它只是计算的结果与传递性的结果。方程必须讲两个故事或者更多的故事，这两个故事量相等，因此在方程中等号有两个功能，一个是表现传递性，一个是表现量相等。

本次课标把百分数移到了统计与概率的版块，考虑了大数据的需求。因为百分数在大数据的处理中越来越重要，例如果汁行业确定性的百分数如何过渡到随机性，比如变成投篮的命中率。百分数的引入可以进行随机现象的决策，随机现象的决策比确定性的决策更多地出现在现实生活中，因此在小学阶段孩子们多少感悟一下，对于随机现象怎么来决策。

比如用百分数制定四年级孩子的跳绳标准，让孩子跳完之后记下来，再从小到大排队，通过的人数为前25%或者50%，再根据百分比确定跳绳标准，这也是国家制定蓝天计划的依据。所以把百分数引到统计与概率是为了更加适应大数据的需求。

本文整理自2022年4月28日史宁中视频讲座《数学课程标准修订与核心素养》

编辑 | 肖静

统筹 | 孙习涵