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本文为思维智汇第589篇原创文章。
周一 深度 数学课标的主要变化 1 学段与课时变化 本轮课标修订由过去的三个学段变为四个学段，主要是小学阶段由两个学段变为三个学段∶ 3-4年级为一个学段，每周安排4个课时学习； 5-6年级为一个学段，每周安排5个课时学习； 7-9年级为一个学段，每周安排6个课时学习。
对于义务教育来说有个基本原则，就是教育要适合学生的身心发展规律。小学一、二年级的孩子不太适宜学数学，因为他说话都说不明白；四、五年级的孩子在思维过程中有一个很大的分水岭，五年级的孩子似乎就对一些抽象的东西多多少少能够理解一些。因此小学阶段划分三个学段比两个学段更加合理，要根据学生的心理素质来定。 表述形式变化 新课标由只谈课程内容变为内容要求、学业要求、教学提示，即：学习什么、学习程度以及如何学习。教师除了明确课标要求学什么之外，也应该清楚学到什么程度，如果可能的话，还要理解一下如何学。
例如第一学段“数与运算”主题的内容要求、学业要求和教学建议为：
四大领域下的主题整合 本次数学课标中数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践这四大领域不做改变，但领域下的主题进行了整合。主题整合遵循两个原则： 第一，形式上基于抽象结构，是现代数学的基本形式，可以表述为“研究对象 ”，其中“ ”的内容可以是性质、关系、运算；课标强调抽象，在抽象的基础上强调了抽象结构。 抽象结构是近代数学发展的一个很基础的东西，我们不仅要知道研究对象是什么，更要重视研究对象的性质是什么。这个观念最早是亚里士多德提出的，他说：“数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西......线、角或者其他的量（的定义），不是作为存在而是作为关系”，即这个东西存不存在本身不重要，重要是他们之间的关系。
同样的说法，希尔伯特描述的非常形象：“欧几里得关于点线面的定义在数学上是不重要的，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论把它作为点、线、面，还是把它们称为桌子、椅子、啤酒瓶，最终推理得到的结论都是一样的” 因此，仅就概念教概念的教法是有问题的，教概念的同时，应当教他们的性质、关系和规律，或者其中的一样，因此概念需要螺旋式上升。例如：从数量中抽象出自然数，那么一并从数量的多少关系中抽象出数的大小关系。给出了分数的定义，就要比较分数的大小。给出了角的定义，就要比较角的大小。 第二，理念上强调核心素养，通过研究对象概念的教学与性质、或者运算、或者关系的教学有机结合。开展整体设计、分步实施以核心素养为导向的教学活动。
强调综合与实践 新课标对综合与实践内容赋予了具体内容，小学以主题式学习为主、初中尝试项目式学习。 主题式学习以内容为主，常见的量以跨学科的内容的形式设计在“综合与实践”例如：
项目式学习强调有真实情境和真实问题。小学高年级，初中阶段每学期至少两个。现在的初中应该逐渐适应这样一种认识问题的方法：在现实世界中认识自然界的规律，然后用数学的语言予以表达。这和数学的“三会”核心素养一脉相承。 综合实践也要强调传统文化，传统文化要有数学。例如曹冲称象的故事除了认识重量单位之外，还要讲等量相等这个道理，还要讲总量等于分量和的道理。 课程内容重组 在“数与代数”板块，小学初中增加两个基本事实： 等式性质∶a=b→a＋c=b＋c 有了这两个基本事实，在整个义务教育阶段代数的证明就成为可能。
小学减少了方程、反比例，百分数移到“统计与概率”，负数在“综合与实践”；增加了计数单位和加法模型，计数单位是指个数与顺序的计量单位，加法模型是“总量=分量 分量”。 初中增加了理解负数的意义，近似计算，了解代数推理，被3整除，韦达定理由选学调整为必学。 新课标把方程的内容移到了初中，主要有两个原因： 第一，没有表现代数本质。代数的本质是字母表示，过去内容少（至多1个学时）主要表示简易方程中的未知数，停留在古希腊丢番图的表达。未来小学教材，加强用字母表达性质、关系和规律（6-8学时），感知字母可以表达一般（代数式），结论具有一般性，感悟数学抽象的层次性。
第二，没有表现方程必要。过去小学教材从简单方程5-x=2入手，无法感知学习方程的必要性。未来初中教材，应当从数的运算到式的运算，方程至少要从鸡兔同笼开始讲起，知道方程是在讲两个量相等的故事。方程中的等号表示等量关系，而不是表示传递性，即2x-x=x的形式，感悟模型思想。 本次课标还把百分数移到了“统计与概率”的版块，原因如下： 适应信息时代、大数据时代的要求，引导学生建立数据意识、数字素养。 教学变化∶确定性→ 确定性 ＋ 随机性概念引入。例如果汁行业确定性的百分数如何过渡到随机性，比如变成投篮的命中率。 决策依据∶百分数的引入可以进行随机现象的决策。例如比如用百分数制定四年级孩子的跳绳标准，让孩子跳完之后记下来，再从小到大排队，通过的人数为前25%或者50%，再根据百分比确定跳绳标准，这也是国家制定蓝天计划的依据。所以把百分数引到统计与概率是为了更加适应大数据的需求。
在“图形与几何”板块，小学增加了尺规作图： 第三学段三角形周长，三条边首尾相接依次落在一条直线上。 初中增加了尺规作图要求，如：
教学实施建议：整体设计、分布实施 新课标里提倡要整体备课，学年数学教师、学段数学教师、学校数学教师知道自己教学的位置，知道前后的联系。对应于核心素养的整体性、一致性和阶段性，要体现在日常教学中的整体性、一致性和阶段性。 核心素养必备三个基本特征： 呈现过程的阶段性。每一个不同的学习阶段核心素养应该有不同的表现，与身心发展有关、知识储备有关、与经验积累有关。 表述应该有整体性。要既有数学的特征，又有数学教育的特征。更具体的说，要具有学科的思维特征，还有心理学的特征与认知的特征。
对应在教学实施中为： 整体性∶数学知识体系与相应核心素养的整体性把握。研究对象的概念、性质、关系、运算、规律等，是数学内容的表现形态，构建了数学内容与核心素养之间的桥梁以及数学知识与知识认知之间的桥梁。由关注教师的教转向关注学生的学即关注学生的获得而非学习态度转向既知识的获得又关注思维的获得。 一致性∶最初概念提出到最后实际应用的一致性教学。 小学数学的一致性，课标要求： 初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识:感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。 此刻课标增加了计数单位的概念，即个数和顺序的计量单位作为数学化和数学一致性的抓手；数的认识，不管是分数、小数还是整数，都是计数单位的表达。例如4/3个1/3，1/3是计数单位，这样就解决了假分数的问题，不然假分数永远说不清楚。数的运算方面加减法在同样计数单位上进行，分数通分的道理，乘除法个数与个数的运算、计数单位与计数单位的运算。
阶段性∶数学知识进阶，核心素养进阶的阶段性实施。 例如，数量与数量关系的抽象。 小学阶段 自然数：两匹马、两粒米→☐☐→2 抽象的本质就是形式上去掉名词，实质上舍去背景。在认识的过程中由感性具体到感性一般再到理性具体，感悟符号意识，体会数感。 初中阶段 负数：与对应自然数数量相等、意义相反（绝对值）。 实数：通过减法由自然数扩充到整数，通过除法由整数扩充到有理数；有理数的小数表达是重点；举例得到无理数。 运算：从数的运算到代数式的运算，思维过程从理性具体上升到理性一般，抽象能力 高中阶段 集合：抽象结构，完全形式化，实现了最一般形式的抽象。 由此可见，数学抽象整个思维过程有三个阶段：感性具体到感性一般（简约阶段），感性一般到理性具体（符号阶段），理性具体到理性一般（普适阶段）。
再例如，图形与图形关系的抽象。 关键是把日常生活中三维空间物体的形状通过二维图形和平面图形予以表达，这就是几何抽象的本质。图形的认识，注意知识的进阶、素养的进阶，培养小学生空间想象力和几何直观。 第二学段∶通过长方体认识点、直线、平面、三角形，没有明确定义；三年级拆盒子、四年级叠盒子，为学习高中立体几何尺规作图，感悟图形抽象的本质；感悟抽象物的存在用二维平面图形表达三维空间物体形状，脱离背景。 第三学段∶从度量的角度，进一步认识空间物体形状和平面图形。 第四学段∶开始给出定义，从意识上升到观念。知道尺规作图的道理，知道几何证明。 |
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