【数学】椭圆的旋转和平移

旋转和平移

椭圆的平移和旋转是常见的几何变换，它们可以通过数学公式来描述。下面分别介绍椭圆的平移和旋转。

01

求平移、移旋转后方程

椭圆的平移：

考虑一个椭圆的标准方程：

其中 (h,k) 是椭圆的中心坐标，a 和 b 分别是椭圆在 x 轴和 y 轴上的半轴长度。

如果我们想平移椭圆，将其沿 x 轴方向平移p 个单位，沿 y 轴方向平移q 个单位，新的中心坐标将是(h+p,k+q)。这样，新的椭圆方程可以表示为：

化简后得：

这就是平移后的椭圆方程。

椭圆的旋转：

如果我们想逆时针旋转椭圆，可以使用旋转矩阵的形式。逆时针旋转角度 θ 后，新的椭圆方程为：

这就是旋转后的椭圆方程。

在这个方程中，(x,y) 是新的坐标，(h,k) 是旋转前椭圆的中心坐标，θ 是旋转的角度。通过这个公式，我们可以得到椭圆在平面上逆时针旋转角度θ 后的新方程。

02

求平移、旋转前方程

对于平面上任意椭圆

总可以将之转化为：的形式。

具体步骤为，将后式的各乘积乘方项展开，根据与前式对应项系数相等的法则便可求得u,v,f的值。其中，(u,v)便是该椭圆的中心（f=0）。

若将：

代入式中便可得到平移前的椭圆。

若B≠0，则表示椭圆的长短轴与坐标系的坐标轴并不平行或垂直，即发生了旋转。设旋转的角度为，则有：

当A−C=0，则说明=±π/4。

若将：

代入式中便可得到旋转前的椭圆。

例题：

解：

这两个问题的解答基于椭圆的标准方程，通过平移和旋转的变换，可以得到新的方程。这些变换是常见的几何变换，可以帮助我们更灵活地处理椭圆在平面上的位置和方向。

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2023/11/13