高等数学——函数

一、映射和函数

1、邻域和去心邻域

邻域：在数轴上，以x0为中心的任何开区间称为点x0的邻域，记作：

如果邻域开区间中不包括x0，则称这个邻域为去心邻域，记作：

2、映射的概念和类型

映射分为以下类型：

• 单射：集合X中的任意不相等的元素，它们的像也不相同；

• 满射：集合Y中任意元素都是集合X中的某元素的像；

• 双射：既是单射也是满射的映射，又称为一一映射。
  

2、函数的定义

函数的表示方法：函数可以使用表格法、图像法和解析法表示。

函数相等：两个函数的定义域和对应关系都相同，则两个函数相等。

自然定义函数的定义域：一般受到偶次根式、分母、对数的真数、反三角函数、三角函数的影响，因此，熟记基本初等函数的定义域是处理问题的关键。

函数的值域：根据定义域和对应关系，确定y的取值范围。如果是分段函数，将每段函数的值域取并集。

例题：求函数定义域

例题：判断函数是否相等

例题：求函数的值域

3、反函数

函数和其反函数之间有如下关系：

①二者具有相同的单调性。

②二者具有相同的连续性。

③二者的图像关于直线y=x对称。

④反函数的值域是直接函数的定义域。

⑤反函数的导数等于其直接函数导数的倒数。

求函数y=f(x)的反函数的步骤：

①反解：将x当成未知数，求出其关于y的表达式；

②交换：交换x和y的位置；

③定义域：求出反函数的定义域（或求原来函数）

例题：求函数的反函数

4、复合函数

复合函数的定义域：根据外函数的自然定义域取值范围，确定内函数的值域；再根据内函数的值域，求得反函数的真实定义域。换言之，复合函数的定义域是内部函数定义域的一个子集。

复合函数的复合方式：通过换元法，找准函数的复合方式。这在复合函数导数和不定积分换元法时会用到。

例题：复合函数的拆分

例题：求复合函数的定义域

5、函数的四则运算

函数的四则运算必须保证两个函数的定义域的交集不为空集，并且在定义域交集上才能进行如下运算：

商可能改变两个原来函数的公共定义域。

二、函数的性态

1、有界性

例题：证明下面的函数是有界函数。

2、奇偶性

奇偶函数的判定方法：

①判断定义域是否关于原点对称；

②将x全部替换为-x，通过计算观察是否满足定义，如果满足则按定义判定；否则，就是非奇非偶函数。

例题：判定下面的函数是奇函数还是偶函数？

例题：证明两个奇函数的和是奇函数。

3、周期性

通常，我们熟悉的三角函数都是周期函数，并且有：

的最小正周期

不是每一个函数都有最小正周期，例如狄利克雷函数：

例题：计算下面函数的最小正周期。

4、单调性

这是单调性的原始定义，证明函数单调性可以借助一阶导数。

5、凹凸性

函数图像的凹凸性和二阶导数直接相关，可以借助二阶导数判断函数的凹凸性。

三、函数连续性及其性质

1、函数的连续性定义和判定

因此，函数在某点连续的充分必要条件是函数在该点的极限值等于函数值。

例题：a和b为何值时，下面的函数连续。

2、初等函数的连续性

• 基本初等函数在它们的定义域内连续

• 一切初等函数在定义域区间内连续

3、连续函数在闭区间上的性质

例题：证明下列命题

例题：证明下列命题

四、函数的间断点和渐近线

1、函数间断点类型及其判定

例题：判断下列函数指定点的间断点类型。

2、函数曲线的渐进线

例题：求下列函数的渐近线。

五、基本初等函数和初等函数

基本初等函数包括：幂函数、对数函数、指数函数、三角函数和反三角函数共5类。基本初等函数的表达式、图形和性质是高等数学中的基础内容，下表进行了详细归纳（点击图片放大，可看高清图）。

（图片来源：张天德等《经济数学微积分》）

初等函数：常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算构成的并可以用一个式子表示的函数。

六、常用的经济函数

1、需求和供给函数

例题：求均衡价格。

2、成本、收益和利润函数

例题：完成下题。

七、函数的理解

函数是一个神奇的概念，它通过将某个事物经过某种变换从而得到另一个结果，这在实际中是非常有用的一个概念。例如，中文和英文的单词存在着某种对应的关系，找到这样的一个函数就能实现中文到英文的翻译；反之，找到这个函数的反函数就可以得到英文到中文的翻译方法。

再如，鸢尾花分类问题中，将鸢尾花的各种特征使用如下函数表示：

通过已知数据训练获得其中的参数ai，就能实现一个简单的判别数学模型。