在初中数学课上,老师让同学们用量角器测量三角形的三个角的角度,然后把三个角度加起来.这样测每过几个很不相同的三角形之后,大家会得出共同的结论: 三角形的三个内角之和是.
这样认识事物的方法叫归纳法.归纳法要求从大量事实出发总结出一般规律.我们看到鸡生蛋、鸭生蛋、麻雀生蛋、鸽子生蛋,便形成一种看法; 所有的鸟都生蛋.这就是在应用归纳推理的方法.当同学们得出 “三角形内角和是”这个归纳推理的结果之后,老师又反过来提出进一步的问题.但是,你怎么知道你的结论一定可靠呢? 你才测量了几个三角形,即使测量几万个三角形也不够呀!三角形有无穷多种,你仅仅测量了全体三角形中的极小极小的一部份,如何能从这一小部分的性质推出全体三角形的性质呢? 再者,你的测量不可能一点误差也没有,你怎么知道三角形的内角和一定是整整,而不是呢?怎么办呢? 老师告诉大家,可以用演绎推理的方法来证明这条几何定理.在集合学里,只有从公理和定义出发经过演绎推理而证明了的命题,才被认为是真理.归纳推理被赶出了几何的花园.甚至可以说,归纳推理被赶出了数学王国.因为在数学中只承认演绎的证明.例证法——用演绎支持归纳就是一个恒等式. 恒等式,要求恒等.要求取所有数值时两边都相等.才验证了三个的值,怎么能断定它一定恒等呢?其实,这三个实例已经证明了是恒等式.道理是:如果它不是恒等式,它一定是二次或一次方程,这种方程不可能有三个根.现在、、都是“根”,说明它不是方程而是恒等式.在这个具体问题上,演绎推理支持了归纳推理.我们用数学上承认的演绎法证明了归纳法的有效性.一般说来,代数恒等式的检验都可以使用举例子的方法.不过,高次的和多元的等式,要用更多的例子罢了.但是,更为有趣的是,一个例子也能解决问题.例如:在中取代入,两边都得,这就证明它是恒等式.为什么呢?而且、、都是绝对值不小于的整数.这是因为左边展开后室多只行4项,每项系数都是,右端系数绝对值最大是2. 如果我们用代入厉,得到 因而 可是由于、、是绝对值不大于6的整数,所以必须.从得 因而 所以又有,由,也有,这证明了是恒等式. 这个方法也适用于检验高次的多变元的代数等式是不是恒等式.只用一个例子就可以.当次数越高,变元越多时,例子所涉及的数值就越大.这些数学事实表明:在数学王国里的某些角落里,归纳法可以有效地证明一般性的命题,甚至可以用一个特例证明一般的命题.归纳法的这种力量,是由演绎推理证明的.但是,代数恒等式在数学史上,远不如初等几何证明题那样受人青睐,那样丰富多采,那样魅力无穷.正是在初等几何领域,演绎推理树立起了自己的威望,成为人所共知的绝对统治者.归纳法的效力,能不能在这里发挥作用呢? 传统的看法是否定的.但是,本世纪80年代以来,中国数学家的工作在这里揭开了新的一页.几何定理也能用例子证明用举例的方法证明几何定理的研究,属于几何定理机器证明这一个在近三十年间开始活跃起来的数学领域.企图用机器来证明数学定理,这是历史上一些杰出的数学家与晢学家的美妙的梦.数学问题大体上有两类,一类是求解,一类是求证.我们熟悉的求解问题很多、解方程、解应用题、几何作图,求最大公约与最小公倍数.我们熟悉的求证问题,大多是初等几何证明题,还有证明恒等式,证明不等式.中国古代数学研究的中心问题是求解.把问题分为若干类,分别给出解题的方法.这方法是一系列确定的步骤,谁都可以学会.会一个方法,便能解一类问题.九章算术就是这么做的.用一个固定的程式解决一类问题,这就是数学机械化的基本思想.追求数学的机械化方法,是中国古代数学的优秀传统之一.在西方,以希腊几何学研究为代表的古代数学,所研究的中心问题不是求解而是求证.是从公理出发用演绎推理方式证明一个一个的定理.而证明定理的方法,则是一理一证,各具巧思,无一定法则可循.证明的成功有赖于技巧与灵感.能不能找到一种方法,像解方程那样,按固定法则证明一批一批的几何定理呢?17世纪法国的唯理论哲学家,发明了解析几何的数学家Descartes,曾有过一个大胆的设想.“一切问题化为数学问题.一切数学问题化为代数问题.一切代数问题化为代数方程求解问题.”Descartes想得太简单了,如果实现了他的计划,一切科学问题都可以机械地解决了,因为代数方程求解是有机械法的.但Descartes总算用坐标方法——解析几何的方法,把初等几何问题化成了代数问题.比Descartes晚一些的德国唯理论哲学家、与Newton同为创立微积分的数学家的Leibniz,曾有过“推理机器”的设想,希望用一台机器代替人的推理活动.当人们争论得面红耳赤相持不下的时候,不好心平气和地坐下来,让机器演算一番以确定是非曲直.Leibniz还真地设计过计算机,他的努力促进了数理逻辑的研究.跨越19-20世纪的数学大师Hilbert,在他的名著几何基础一书中,也曾提供过一小类几何命题的机械判定方法.第二次世界大战以后,电子计算机的出现大大促进了定理机器证明的研究.经过许多出色的数学家的辛勤耕耘,这个领域有了蓬勃的发展.各国数学家先后提出过几种用机器证明初等几何定理的方法——这是数学家们长期以来就想实行机械化的领域,但都不能在计算机上真地用来证明非平凡的几何定理.一直到杰出的中国数学家吴文俊教授在1977年发表他的初等几何机器证明新方法之后,在电子计算机上证明初等几何定理才成为现实.一个古老的梦开始实现了.用吴氏方法已在计算机上证明了600多个不平凡的几何定理,其中包括一些新发现的定理.吴氏方法的基本思想是:先把几何问题化为代数问题,再把代数问题化为代数恒等式的检验问题.代数恒等式的检验是机械的,问题的转化过程也是机械的,整个问题也就机械化了.既然几何证明问题可以化为代数恒等式的检验问题,而在前面又刚刚提到过可以用举例的方法检验代数恒等式,那是不是意味着有可能用举例的方法来证明几何定理呢?吴氏方法鼓舞了这个方向的研究.在吴氏方法的基础上,洪加威于1986年发表了他的引起广泛兴趣的结果,对于相当广泛的一类几何命题,只要检验一个实例便能确定这条命题是不是成立.特例的检验,能代替演绎推理的证明!要检验特例,就要在计算机上作数值运算,而计算机总是有误差的.本来要证明一个式子恒等于0,计算机却只能告诉 我们结果是或更小的数.它是不是真的是0呢? 这个问题原则上:也被洪加威解决了.他证明:用带有误差的计算可以补足我们要求准确结果的愿望.在一定条件下,计算出的结果绝对值小到某个程度,就一定是0.特殊中包含着一般,误差中包含着准确,这不但回答了一开始时提到的那位老师的两个问题,而且具有更深刻的哲学意义.但是,洪加威要的那一个例子,不是随手拈来的例子,它要满足一定的条件,才足以具有一般的代表性.对于非平凡的几何命题,这例子往往涉及大得惊人的数值计算.为了使洪氏方法在计算机上实现,尚待进一步的努力.洪氏方法揭示了一般与特殊在一定条件下的统一性,但还不是演绎与归纳的统一性.传统的归纳推理方法,不是去构造或找寻某个具有普遍意义的“通用”特例,而是从大量普通的俯拾皆是的例子里总结出一般论断.能不能用一些平常的、易于检验的例子证明几何定理呢?在吴氏方法的基础上,张景中、杨路提出了另一种举例证明几何定理的方法.按照这种方法,为了判定一个(等式型)初等几何命题的真假,只须检验若干普通的实例.例子的数目与分布方式可以根据命题的复杂程度用机械的方法确定.用张扬方法,确实能在微机上,甚至在功能平凡的袖珍计算机上证明非平凡的几何定理.例如,初等几何中有一个著名的Feuerbach定理： “三角形的九点圆与它的内切圆、外切圆相切”.(所谓九点圆,是指三角形的三边中点,三条高的垂足和三顶点到垂心连成的线段的中点这九个点所共的圆).这个定理的证明不是很容易的.按照张杨法,为了判定它是不是成立,只要检验289个例子.这289个例子在PB-700袖珍机上用了仪15分钟.在AST'286微机上用42秒就可以了.用这种方法还能发现新定理.例如,有一个球面几何的新定理: “如果球面三角形面积是球面面积的,则三角形三边中点构成一个球面上的正三角形.”不等边三角形三边中点居然可以构成正三角形,这有点使人惊奇.这个命题的判定须检验66个例子.在PB-700机上用150秒,AST-286机上仅用1秒多钟.可以说,这是用“归纳法” 证明的一条新的几何定理.说不定它是第一条用“归纳法”证明的定理.因为迄今为止的几何定理,都是用演绎法证明的.初等几何,是演绎推理取得统治地位的最古老的王国,也是历史上演绎与归纳分道扬镳的三岔口.现在,归纳法也来分享这个古老王国的政权了,是演绎推理证明了归纳推理在这里的权利.演绎在这里支持了归纳,这是理所当然的.当初这个王国的建立,本来有归纳的功劳.几何公理是不能用演绎法证明的,演绎法所用的形式逻辑也是不能用演绎法证明的,这是人类经验的结晶,是归纳的结果.顺便提一句,举一些例子证明几何定理,举的例子不仅要矽一定的数目,而且要有一定的分布方式,这正是归纳法的倡导者Bacon所要求的.要广泛搜集材料,搜集不同类型的材料.它的有效范围是它从中引丮、归纳出的那些事例的范围.张杨法所要求的这一组例子的分布形式,足以保证概括了命题的论域,代表了广泛的一般情形.进一步的思考一个数学命题往往涉及无穷多的具体对象.例如,关于变元的恒等式涉及的无穷多个值,关于三角形的一条定理涉及无穷多种彼此不相似的三角形.例证法意味着:在这无穷多个对像中选择有限部份加以检验,即可确定些些命题的真假.这多少有点令人吃惊.但更多地想一想,也有道理.试考虑一个数学系统中的若干命题,命题涉及的对象组成的集合叫论域.例如,关于三角形的命题,其论域就是三角形的集合.任给一个命题,便从论域中分出一个子集——它的元素是那些满足命题结论的对象,称这个子集为命题的特征集.命题是用符号语言的有穷列表达的,它是可数无穷多,故命题的特征集是可数的.但论域的子集却是不可数的——如果论域是无穷集.可见,命题特征集仅仅是论域子集的极少极少的一部份.这表明命题特征集的构成有很强的规律性,它们的元素之间有密切的关联.也许正是这些关联,使“归纳法”在数学的某些领域成为有效.但这一切仅仅是开始.能不能把“归纳” 用于更大的范围,尚须作艰难的研究.但是,缺口已打开了,归纳与演绎之间本是一条鸿沟,现在鸿沟上有了小小的一道桥梁,填平鸿沟也许是不可想象的,但总算可以跨过去了.归纳法广泛用于自然科学的研究,特别是物理学的研究.科学家总是从有限次实验与观察中作出关于无穷多对象的判断.结果却常常是对的.这也许可以从例证法得到一点解释.很可能科学家所观察的对象之间的关联,可以用代数恒等式或更广泛一点的解析恒等式表达.这正是例证法已经被证明成立或有可能被证明成立的领域.这点解释当然不是很有力量的.不过,无论如何,总有了解释的可能.例证法利用了命题涉及的对象之间的关联性.一个次的一元代数等式,如果对变元的个值成立,则它对所有值成立.这不妨叫做变元取的值之间的代数关联性.我们还可以找到别的关联性一一如拓扑关联性.一个连续的函数如果在某一点不等于0,在这一点附近的某个小邻域也不等于0,而小邻域中有无穷多个点.这表明,检验了一点的性质,也就了解了无穷多个点的性质.从这个角度,又增加了对归纳推理方法的支持,这也是在数学中扩展例证法适用领域的途经之一.随着数学的发展,人们有可能发现更多的关联性,为归纳法提供更多的理由.为了获得知识,认识真理,究竟应当用什么方法? 归纳,还是演绎? 这是在西方哲学史上有过激烈争论的话题.古希腊哲学家,多推崇演绎推理,这大概是因为当时最发达最系统的科学只有几何学.Aristotle对逻辑学进行了系统研究,写出了论述“三段论”推理方法的名著工具论.到了中世纪,Aristotle被经院哲学家泰为绝对权威,他的逻辑学成了经院哲学家们进行种学思辩的基本方法,从词句到词句,从原理到原理,产生不出真正的知识.从Aristotle时代到17世纪,这两千年中欧洲的科学发展十分缓慢.随着资本主义生产关系的成熟与自然科学的发展,在英国出现了以Bacon、Hobbes、Roch为主要代表人物的唯物主义经验论哲学学派.Bacon特别反对仅仅靠演绎推理的三段论来获取知识.他说Aristotle的“工具论”是“疯狂手册”,是在很少事实基础上建立起来的蜘蛛网,这样得到的知识既不可靠又无用处.Bacon写了一本名为新工具的书系统阐述归纳推理的方法,认为归纳法以科学实验、经验事实为基础,是切实可靠的获得知识的方法.差不多同时,欧洲大陆出现了以Descartes、Leibniz、Spinoza为代表的唯理论哲学派别.他们认为感觉经验是不可靠的,数学演绎的方法才是有效的方法.例如,Descartes指出,事物远看就小,近看就大,说明感觉不能确实地认识世界.Leibniz认为,要认识一个普遍的真理,例子再多也没有用.事实的真理靠归纳经验得来,是偶然的、个别的.推理的真理靠演绎得来,靠逻辑的必然性得来,才是必然的、普遍的.Spinoza更推崇演绎法,用几何学的体例写出他的伦理“学.他确信哲学上的一切问题,都可以用几何的方法加以证明.经验论重视感性认识,提倡归纳法;唯理论重视理性认识,提倡演绎法.两派在理性与感性的关系上展开了长期的反复的争论.争论结果是双方观点互相补充,逐渐接近.现代西方哲学中逻辑实证主义,试图将演绎与归纳统一起来,做了一些有意义的新探索.他们把真理分为经验真理与逻辑真理.认为经验真理是或然的,逻辑真理是必然的,两种真理都是有意义的.归纳与演绎分别是获得两种真理的两种方法.代逻辑实证主义而兴起的批判理性主义,则猛烈反对归纳法.认为从个别的具体的经验第实,不能得出普遍的、必然的科学真理.从过去不能推知未来,所以归纳原则是站不住脚的.因而得出结论,科学知识不是真理,只是猜测.理论不能证实,只能证伪.靠什么证伪呢?——靠证伪的演绎推理方法.总的来说,现代西方哲学在认识论上现倾向于否定归纳法,但又认为演绎推理的方法有其同限性——它的逻辑功能只能把真理从一个陈述中传递到另一个陈述之中,这种传递原则上不增加任何新的关于自然界的知识.这就不可避免地在认识论方面倾向于相对主义,认为真理是相对的,存在是相对的,历必是偶然的,世界是不可认识的.数学的新结果表明:归纳与演绎是对立的统一.认为归纳推理毫无根据是不充分的,因为在初等几何范围内已证明了归纳的有效性.认为演绎推理不能使我们增加新知识也是不确切的.演绎推理揭示出事物的内在联系,使我们看到现象背后的本质,这就是增加了我们的新知识.归纳与演绎,是人类认识世界的两个基本方法,它们相互支持,相互补充,使我们越来越接近于真理.推荐阅读：
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