题目内容 16.定义:如图①,点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,求BN的长; (2)①如图②,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M、N为边AB上两点,满足∠MCN=45°,求证:点M、N是线段AB的勾股分割点; 阳阳同学在解决第(2)小题时遇到了困难,陈老师对阳阳说:要证明勾股分割点,则需设法构造直角三角形,你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试. 请根据陈老师的提示完成第(2)小题的证明过程; ②已知:点C是线段AB上的一定点,其位置如图③所示,请在BC上画一点D,使C、D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,画出一种情形即可); (3)如图④,已知:点M,N是线段AB的勾股分割点,MN>AM≥BN,△ABC、△MND分别是以AB、MN为斜边的等腰直角三角形,且点C与点D在AB的同侧,若MN=4,连接CD,则CD=2√2√2.
分析 (1)①当MN为最大线段时,由勾股定理求出BN;②当BN为最大线段时,由勾股定理求出BN即可. 解答 (1)解:①当MN为最大线段时, ∴BN=√MN2−AM2√MN2−AM2=√32−22√32−22=√5√5; ②当BN为最大线段时, ∵点M、N是线段AB的勾股分割点, ∴BN=√MN2+AM2√MN2+AM2=√32+22√32+22=√13√13, 综上所述:BN=√5√5或√13√13; (2)①证明:连接MN′, ∵∠ACB=90°,∠MCN=90°, ∴∠BCN+∠ACM=45°, ∵∠ACN'=∠BCN, ∴∠MCN'=∠ACN′+∠ACM=∠BCN+∠ACN=45°=∠MCN, 在△MCN和△MCN′中, {CM=CM∠MCN′=∠MCNCN=CN′, ∴△MCN≌△MCN', ∴MN'=MN, ∵∠CAN′=∠CAB=45°, ∴∠MAN′=90, ∴AN′2+AM2=MN′2, 即BN2+AM2=MN2, ∴点M、N是线段AB的勾股分割点. ②如图③,作CM⊥AB,使得CM=AC,连接BM,作BM的垂直平分线EF交AB于D,点D就是所求的点. (3)如图④中,连接CM、CN,将△ACM绕点C逆时针旋转90°得△CBF,将△CDM绕点C逆时针旋转90°得△CFE. ∵△ABC,△DMN都是等腰直角三角形, ∴∠DMN=∠A=45°,∠CBA=∠DNM=45° ∴DM∥AC,DN∥BC, ∴∠1=∠2=∠3=∠4, ∴EF∥BC, ∴EF∥C∥ND, ∵DM=DN=EF, ∴四边形EFND是平行四边形, ∴ED=NF, 由(1)可知MN=NF, ∴MN=ED, 在RT△CDE中,∵CD=CE,∠DCE=90°, ∴DE=√2CD, ∴MN=√2CD. ∵MN=4, ∴CD=2√2. 故答案为2√2. 点评 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识,利用旋转法添加辅助线是解决问题的关键. |
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