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代数法作图

 ycsyhrp2018 2023-11-19 发布于陕西

基本介绍

解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这一线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤，用这种方法解作图题，称为 代数法作图。
例如，求作一个正方形，使其面积等于已知△ABC的面积，该作图的思路要点是：设△ABC的底边为a，高为h(图1)，此题关键在于求出正方形的边长x，由题意，
x^{2}=\frac{a}{2}·h
，所以x是
\frac{a}{2}
与h的比例中项(图2)，于是，x可由代数基本作图法做出，从而符合条件的正方形可以做出。
图1
图1
图2
图2

图题步骤

用代数手段求出某线段以解作图题的方法，叫做代数作图法。
代数法作图一般有下列几个步骤，
(1) 以字母表示某些已知的及未知的(欲求的)的量；
(2) 根据条件及已知定理，把已知量和未知量间的关系列成方程(或方程组)；
(3) 解此方程(或方程组)，求得用已知量表示未知量的解析式；
(4) 根据解析式，利用基本作图，按步作出图形。

表达式形式

在许多作图题里，要应用代数方法，以x,y,z,...表示未知线段；以a，b，c，...表示已知线段，根据题设的条件，或已知的定理列出方程，并解方程得到它的解，凡求得方程的根为以下形式的，都可以利用基本作图法作出该未知线段。
(1)
x=a+b
；（已知线段和）
(2)
x=a-b(a> b)
；（已知线段差）
(3)
x=ma
(m为正整数)；（已知线段的倍量）
(4)
x=\frac{a}{m}
(m为正整数)将am等分其中的一分就是x；（已知线段的分量）
(5)
x=\frac {bc}{c}
即
a:b=c:x
；即求a,b,c的第四比例项
(6)
x=\sqrt {ab}
。即求a，b的比例中项
(7)
x=\sqrt {a^{2}+b^{2}}
，即作一个以a, b为直角边的直角三角形，它的斜边就是x；
(8)
x=\sqrt {a^{2}-b^{2}}
，即作一个以a为斜边，以b为直角边的三角形，它的另一条直角边就是x。

例题解析

【例1】在△ABC中作一内接正方形.
已知：△ABC。
求作：内接正方形DEFG。
分析：如图3。
设 DEFG为所求作的正方形，
EF=x
，
AH⊥BC
，
AH=h，BC=a
  。
图3
图3
根据相似三角形的关系有，
a:x=h:(h\sim x)
，
∴
x=\frac {ah}{a+h},
∵x可以作出，
∴正方形DEFG亦可作出。
作法:
(1)作线段
x=\frac {ah}{a+h}
。
(2)作BC的平行线使它与BC的跑离为x，交AB、AC于G、F。
(3)过G、F作
GD⊥BC、EF⊥BC
，
则DEFG为所求之内接正方形。
证明: 由作法知
GD⊥BC、EF⊥BC
，
且
GD= EF=\frac {ah}{a+h}
，
∴DEFG为矩形。
∵
GF//BC
，
则
BC:GF= AH:(AH-PH)
，
a:GF =h:(h-\frac {ah}{a+h})
∴
GF=\frac {a(h-\frac {ah}{a+h})}{h}=\frac {ah}{a+h}=GD
故DEFG为所求之内接正方形。
讨论：因为x可作，所以DEFG亦可作。
(1)三角形为锐角三角形时，有三解(正方形一边分别落在a、b、c三边上)。
(2)三角形为直角三角形时，两解(正方形的边落在直角边时，只有一解；在斜边上又有一解)；
(3)三角形为钝角三角形时，只有一解(正方形一边只能落在钝角所对的边上)。
注意：代数法作图的关键是求出未知线段的表达式，且这个表达式能用几何方法作图。
已知线段
a_{1},a_{2},...,a_{n},
，若解析式
x =f(a_{1},a_{2},...,a_{n}),
运算的结果是单位线段a的一次齐次式，且其中仅有有限次加，减、乘、除、开平方五种运算，则此式对应的线段可用几何方法作图。
如，作线段
x=a\sqrt {3-\sqrt {5}}
(a为已知线段)。
分析：只要将原式
x=a\sqrt {3-\sqrt {5}}
化为
x=\sqrt {3a^{2}-a^{2}\sqrt {5}}\sqrt {3a^{2}-a\sqrt {5a^{2}}}
的形状即可作出图形。
凡是A是已知线段的零次齐次式，B是已知线段的一次齐次式，C是已知线段的二次齐次式，并且它们仅含有有限次加、减、秉、除、开平方五种运算，则当方程
Ax^{2}+Bx+C= 0
的根为实数值时，这根的表达式是可作线段。
在代数法作图时，凡是求作的线段符合。上述两种情况，定能作出图形。

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    来自： ycsyhrp2018 > 《数理化》

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