定理2 如果函数在点可导,那么在该点必连续. 注 1:本定理的逆定理不成立,即连续未必可导. 反例:在点连续,但不可导. 例1 求常数使得在点可导. 解 若使在点可导,必使之连续,故 . 又若使在点可导,必使之左右导数存在,且相等,由函数知,左右导数是存在的,且 , , 所以若有,则,此时在点可导,所以所求常数为 . 例2 设存在,求极限. 解
. 例3 设函数在处可导,求常数的值. 解 要求出两个常数的值,应建立关于的两个方程,由可导必连续知,在点可导,必有在点连续,于是有 又因为所以 又 所以,因此若函数在处可导,则有, 例4 确定函数在处的连续性与可导性. 解 由此可知,在处连续且可导. 例5 设函数且求 分析 分段函数在分段点的导数应当用定义计算,由于在点两侧的表达式相同,因此不需要分别求导. 解 因为,所以 例6 证明双曲线上任一点处的切线与两坐标轴所围成图形的面积都等于; 分析 利用导数的几何意义 证明 在双曲线上任取一点,则.由得双曲线在点处切线的斜率为切线方程为 下面求切线在两个坐标轴上的截距.在切线方程中,令解得令解得故切线与两坐标轴所围成图形的面积为. |
|
来自: 紫5551光8189GE > 《吉林大学网络教育学院》