基础微分几何（十一）（完结）——高斯-博内定理

taotao_2016 2023-11-21 发布于辽宁

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我们说过，微分几何研究的是几何图形（曲线、曲面等）的局部性质，并通过局部性质研究几何图形的整体性质。

我们之前涉及到的各种概念、性质大多都是局部性质，也就是几何图形上某个点附近的性质。比如两条曲线的夹角、曲线或曲面上一个点上的曲率、曲面上某个区域上的参数表示等。

但也有一些性质并不是局部的性质。比如，我们以前（第三节）说过，很多曲面（比如球面）在局部区域上可以用一组参数描述，但整个曲面无法只用同一组参数描述，必需用多组参数才能完整描述（不同组参数之间可以相互转化）。这就是曲面的一种整体性质，它是整个曲面才有的性质，不是曲面上任何一个区域具有的性质。

又比如，曲面上连接两点之间的曲线，测地线最短，这就是一个局部性质而非整体性质。只有把讨论的范围限制在曲面上一块足够小的区域内，这块区域小到没有任何“尖角”、“破洞”、两点之间只有一条测地线，那么测地线的短程性才成立。如果不把讨论范围限制在一块区域内而是允许考虑整个曲面，那么整个曲面上两点之间可能不只一条测地线，测地线的短程性也就不再成立。

20世纪的数学与20世纪以前的一个重要区别，就是对数学对象的整体性质的关注。20世纪数学的一大核心领域——拓扑学，研究的就是几何图形那些与度量无关的整体性质，所以在微分几何、实分析、复分析中出现的很多概念，只要涉及到几何对象的整体性质的，最终都会和拓扑学扯上关系。比如：缠绕数、紧性、定向性、亏格等。当然我们现在关心的是微分几何，这些拓扑概念以后有机会再说。

微分几何中有很多关于曲线或曲面的整体性质的定理，比如：

“平面上长度为L的（简单、正规的）闭曲线γ，若γ围成的区域面积为A，那么有L²≥4πA，等号成立当且仅当γ是一个圆。”

这些定理的证明比较技术化（光是讲清楚相关的概念就需要费一番功夫），（我个人认为）这些技术对于理解更高层次的数学并没有太大的帮助，所以我不打算讲这些定理（大多数教材也不会讲，感兴趣的看参考文献【2】）。

不过有一个定理却是必需讲的，那就是著名的高斯-博内定理。高斯-博内定理（公式）不仅是几何学，甚至是整个数学中最重要的公式之一。它将任意曲面的局部性质（几何性质）与整体性质（拓扑性质）联系起来，反映了任意曲面的局部与整体之间的联系。而很多几何学中的被人熟知的公式，都是高斯-博内公式的特例。

这里限于篇幅我不会给出高斯-博内定理的证明（你可以在任何一本微分几何的标准教材上找到证明），只会简单介绍这个定理在讲什么。

令γ是曲面S上任意一条光滑的闭曲线。这里“闭曲线”简单讲就是“封闭的”、“围成一圈”的曲线。“光滑”的意思是曲线上没有“尖点”、“拐点”，曲线上每个点上的切向量是连续的。

我们知道，高斯曲率K和测地曲率k_g都是曲面的局部性质，它们都会随着曲面上的点的改变而变化，依赖于曲面上的点的选择。然而把这两个局部性质分别沿着曲面上任意一块区域的边缘（闭曲线γ）和内部（γ围成的区域）做积分后，两个积分的和却是定值，这反映了曲面上任意一块区域的内部和边缘之间的一种联系，这是一种整体性质。最妙的是，这种联系与这块区域在曲面上什么位置、是什么形状、有多大面积、周长是多少，都没有关系，曲面上任意一块由闭曲线围成的区域，其内部与边缘都有这种联系。

高斯-博内定理不只对光滑闭曲线围成的区域成立，对有“拐点”的曲线围成的区域也成立。（比如下图这样的区域。）

一条有n个“拐点”的曲线，可以看作是由n条相继的光滑曲线连接而成（比如下图是由3条光滑曲线连接而成）。我们把这样由n条相继的光滑曲线连接而成的曲线称为曲边n边形（类似于平面上的n边形是由n条相继的直线段连接而成，曲边n边形是n边形这个概念的推广）。

这里符号χ表示的就是著名的欧拉示性数（或者叫欧拉特征数，欧拉数等），我简单介绍一下。（欧拉示性数是非常重要的概念，是拓扑学的开端。这里限于篇幅我之简单提一下常见曲面的欧拉示性数，没有解释欧拉示性数的具体意义以及怎么计算，之后会单独写一期做个较详细的介绍。）

欧拉示性数是一个刻画曲面拓扑性质的整数，每个曲面都有它的欧拉示性数，它与曲面的形状、大小、位置等性质都没有关系。像形状、大小、位置等性质都不是拓扑学关心的，拓扑学关心的是那些在连续变换下保持不变的性质（拓扑学的另一种定义），而这些性质在连续变换下会改变。所以下面这些曲面在拓扑学意义下都是一样，可以通过连续变换相互转化，而它们的欧拉示性数也都是一样的，都是2。

与上面这些曲面在拓扑学上不一样的是那些有“洞”的曲面，比如说环面，它上面有一个“洞”，它无法由那些没有“洞”的曲面通过连续变换得到，它与那些没有“洞”的曲面在拓扑意义上是不一样的。环面以及所有有一个“洞”的曲面，它们的欧拉示性数都是0。