高等数学入门——平面曲线的弧长的计算方法

系列简介：这个系列文章讲解高等数学的基础内容，注重学习方法的培养，对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容上，以国内的经典教材”同济版高等数学“为蓝本，并对具体内容作了适当取舍与拓展。例如用ε-δ语言证明函数极限这类高等数学课程不要求掌握的内容，我们不作过多介绍。本系列文章适合作为大一新生初学高等数学时的课堂同步辅导，也可作为高等数学期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。文章中的例题大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题，并适当选取了一些考研数学试题。所选题目难度各异，对于一些难度较大或对理解所学知识有帮助的“经典好题”，我们会详细讲解。阅读更多“高等数学入门”系列文章，欢迎关注数学若只如初见！

本节我们来介绍定积分的第三个几何应用——计算平面曲线的弧长，为此我们先简单介绍平面曲线弧长的定义，再给出当曲线由参数方程、直角坐标方程、极坐标方程给出时，曲线弧长的计算公式，并介绍一些典型例题。（由于公式较多，故正文采用图片形式给出。）

一、平面曲线弧长的定义。

二、光滑曲线的概念简介（了解即可）。

三、弧微分公式复习及曲线弧长的计算公式。（这是本节的重点内容，高等数学课程以“计算”为重点。）

关于弧微分的概念及其计算公式的推导见下文：

高等数学入门——弧微分与曲率的概念及其计算公式

四、计算曲线弧长的基础例题（直角坐标情形与参数方程情形）。

五、极坐标情形曲线弧长的计算举例（请读者补全计算过程）。

解答中进行三角代换后不定积分的计算过程见下文例6：

高等数学入门——利用分部积分法计算不定积分的方法和典型例题

六、对曲线“可求长”概念的补充说明（“雪花曲线”在很多数学科普书中都有简单介绍）。

拓展阅读：椭圆周长有简单的计算公式吗？