【课程】西南科大网教学院_数学分析44_13.1 第一型曲线积分

第13章  曲线积分与曲面积分

    定积分与重积分是讨论定义在直线，平面图形或空间区域上函数的积分问题．本章则研究定义在曲线段或曲面块上的函数的积分．

13.1  第一型曲线积分

成立，则称I是函数在曲线L的第一型曲线积分或对弧长的曲线积分，记为

其中ds称为是弧长微元．

应用第一型曲线积分可以求曲线的质量，还可以求曲线的重心，转动惯量等．

如有平面曲线L，其线密度为，则曲线的重心坐标为

曲线对x轴，y轴的转动惯量分别为

   

二、 第一型曲线积分的性质

 

     根据第一型曲线积分的定义，不难证明，第一型曲线积分有如下性质：

    

      （5）若，则

      （6）

 

三、 第一型曲线积分的计算

 

第一型曲线积分可化为定积分进行计算．

    若函数与在有连续导数与且函数在曲线

连续，,. 曲线在的弧长微元为

将它们代入第一型曲线积分之中，便得到第一型曲线积分的计算公式：

 

几点说明：

(1)        若曲线由方程表示，表示，且在上有连续的导数，则第一型曲线积分的计算公式可写为

 

 

(2)        若曲线由方程，表示，且在区间有连续的导数，则第一型曲线积分的计算公式可写为

 

(3)    如果曲线积分中的路线是闭曲线，该曲线积分则记为

.

四、 沿空间曲线的第一型曲线积分

仿照平面第一型曲线积分的定义可以定义空间第一型曲线积分. 设是三维空间中的一条光滑曲线,是始点,是终点.函数定义在上并且在上连续,则空间第一型曲线积分表示这

.

空间曲线的第一型曲线积分有与平面曲线的第一型曲线积分完全类似的性质和计算公式.这里只写出计算公式.

若是定义在空间曲线的连续函数,并且在具有连续的一阶导数,则

.

典型例题：

例1.  计算第一型曲线积分为，其中：．

    解 因为的极坐标方程为

所以，它的参数方程为：

故 

．

例2.  计算曲线积分，其中L为螺旋线,

相应于的一段弧（）．

解