第十章 曲线积分与曲面积分

第十章  曲线积分与曲面积分

第一讲  对弧长的曲线积分

教学目的 使学生理解对弧长的曲线积分的概念，熟练掌握对弧长的曲线积分的计算，掌握对弧长的曲线积分的一些物理应用.

教学重点 对弧长的曲线积分的计算方法.

教学难点 定理的证明.化曲线积分为定积分计算.

教学时数 2学时.

教学过程

 

定义于某一几何形体上的函数，点．在这几何形体上的积分记为，当几何形体为区间时，则有定积分,点.当几何形体为平面区域D时,则有二重积分，点.当几何形体为空间立体时，则有三重积分.如果这几何形体为(平面或空间)曲线段，则有曲线积分.如果这几何形体为一曲面，则有曲面积分．这一章就要把积分概念推广到积分范围为一段曲线的情形，推广后的积分称为曲线积分．

一、对弧长的曲线积分的概念与性质

1．曲线形构件的质量 作为对弧长曲线积分的物理背景，我们来计算曲线形构件的质量．我们把这构件设想为坐标面上的曲线段，端点为、，在上任一点处的线密度(单位长度物理量)为．如果这构件的线密度是常量，那么这构件的质量就是等于它的线密度与构件长度的乘积：．但在实际问题中，这种构件本身不是均匀的，其线密度并不是常量，而应该认为是变量，即在点处线密度是的函数，这就遇到了变量与常量的矛盾．如何解决这个矛盾，按照我们处理这类问题的常用方法是，在小范围内用常量代替变量，求这个量的近似值，然后取极限(完成由近似到精确的过程)，即：分割，近似求和，取极限．

(1) 分割：我们用上的点把分割成n个小段(图1)，取其中一个小段来分析．在线密度连续变化的前提下，只要这小段很短就可以用这小段上任何一点处的线密度代替这小段上其他各点处的线密度．

(2) 近似求和：这小段构件的质量，其中表示小段曲线弧的长度．于是整个曲线形构件的质量．

(3) 取极限：用表示个小弧段的最大长度，为了计算构件中质量的精确值．取上式右端之和当时的极限，从而得到．

在研究其他问题时也常常会遇到这种和式的极限．比如：曲线构件对某个轴的转动惯量，曲线构件的重心坐标等．对这种和式的极限我们引进下面定义.

2．定义 设为坐标面的一条光滑曲线弧，函数在上有界．在上任意插入一点列把分成个小弧段.设第个小弧段的长度为，又为第个小弧段上的任意取定的一点，作乘积，并作和，如果当各小弧段的长度的最大值时，这和的极限总存在，则称此极限为在曲线弧上的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即

，

其中叫作被积函数，叫作积分弧段．

在第二目的定理中将说明当在光滑曲线弧上连续时，对弧长的曲线积分是存在的．以后我们总假定在上是连续的．

根据这个定义，曲线构件的质量当线密度在上连续时就等于对弧长的曲线积分，即

．

上述定义可以类似推广到函数在空间曲线弧上对弧长的曲线积分，即有

．

如果曲线积分是闭曲线，那么函数在闭曲线上对弧长的曲线积分为．

由对弧长的曲线积分的定义，可知有如下性质：

性质一 设为常数，则

．

性质二 如果是分段光滑的，则函数在上的曲线积分等于函数在光滑的各段上曲线积分之和．比如可分为两段光滑曲线(可记为)则

．

性质三 在上，若则

，

特别地有

．

二、对弧长的曲线积分的计算方法

定理 设在曲线弧上有定义，的参数方程为

　，

其中在上有一阶连续导数且，则曲线积分存在，且

．

分析 定理的结论表明，曲线积分可以化为对曲线方程中参数的定积分．因此，为了完成定理的证明只需通过变量替换把曲线积分中的极限形式转化为对参数的定积分的极限形式，而转化的关键在于的变换．

证 假定当参数由变到时，上的点依点到点的方向描出曲线，在上取一列点

，

它们对应一列单调增加的参数值

.

根据对弧长的曲线积分的定义，有

．

设点对应的参数值，即，这里，由于

，

应用积分中值定理，有

，

其中于是

.

由于函数在闭区间上连续，我们可以把上式中的换成，从而

.

上式右端的和的极限恰好就是函数在区间上的定积分，由于这个函数在上连续，所以这个定积分是存在的，因此上式左端的曲线积分也存在，并且有

    .                   (1)

这个定理指出，在一定的条件下对弧长的曲线积分的存在性，并且给出了对弧长的曲线积分的实际计算方法．即在计算对弧长的曲线积分时,只要把依次换为、、，然后以参数作为积分变量，从到作定积分即可．其中，正是曲线弧的弧微分公式．

注 (1) 这里定积分的下限一定要小于上限，这是因为小弧段的长度总是正的，从而，所以对弧长曲线积分化为定积分时，下限一定小于上限．

(2) 如果曲线由方程

从而公式(1)成为

                        (2)

同理，则公式(1)成为

                      (3)

(3) 公式(1)可以推广到空间曲线由参数方程

  

给出的情形，这时有公式

               (4)

例1 计算，其中是抛物线上点与点之间的一段弧图2．

解 由于由方程给出，因此按公式(2)以为积分变量得到

．

例2 计算半径为，中心角为的圆弧对对称轴的转动惯量 (设线密度)

分析 (1)这里没有明确给出曲线的方程，我们取圆弧的对称轴为轴．建立坐标系如图3圆弧的方程为，既可以以为自变量化为形式，也可以以为自变量化为形式，但为了便于计算，我们选用圆的参数方程为好．

(2)在坐标系中，圆弧对于它的对称轴的转动惯量即对于轴的转动惯量，由转动惯量的物理定义可知，曲线对于轴的转动惯量，即对于弧长的曲线积分，其中为线密度，因为题设，所以现在的问题化为计算曲线积分．

解 设圆弧的参数方程为(以为参数)

，，．

按式(1)把曲线积分化为定积分计算时，不妨先计算弧微分

于是，                

=．

作为比较，读者可将曲线方程化为或的形式，分别计算曲线积分.

例3 计算曲线积分，其中为螺旋线，上对应于从0到的一段弧．

解 曲线是空间曲线，按公式(4)先计算

=

=，

从而           

．

三、总结

  1．以曲线形构件的质量为物理背景，引入了对弧长的曲线积分的概念.

  2．通过定理的证明，重点讲述了对弧长的曲线积分的计算方法，其要点是：选取适当的曲线方程，并计算曲线弧微分将

依次代入曲线积分表达式中的，化为以参数为积分变量的定积分，积分下限为，上限为．

四、课堂练习题

  1．计算，其中为连接两点的直线段．

  2． 其中为上半圆时的边界曲线．

解一

的方程为，，

的方程为，．

解二

的方程为，，，

的方程为，．

作业 习题10-1(131页)  3(3，4，5，7)，4，5(1)．

提示  平面曲线的质心坐标，，．