新高考数学导数情景创新的新考法

      高考数学特别是新高考地区，对试题的创新要求很高，导数与实际情景结合考察，是命题的新思路和方向。为此，对于情景的理解并从中提取关键的解题信息是日常训练的重点和难点。

常规考法（思路相近的题目总结及具体实例）

一、利用导数研究函数的单调性和极值

（2022年全国乙卷）已知函数f(x)=x3−3x2+ax+b，其导函数f′(x)的图像关于直线x=1对称。

（1）求a的值；
（2）若f(x)在区间(−∞,+∞)上单调递增，求b的取值范围。

（2021年全国甲卷）已知函数f(x)=x3−ax2−3x。

（1）若f(x)在其定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若函数f(x)有三个不同的零点，求a的取值范围。

二、利用导数解决不等式问题

（2022年全国甲卷）已知函数f(x)=ex−ax2−bx−1，其中a,b∈R，且a>0。

（1）当b=0时，讨论f(x)的单调性；
（2）若对任意x∈R，都有f(x)≥0恒成立，求a的取值范围。

三、利用导数证明不等式或等式

（2021年全国乙卷）已知函数f(x)=lnx−ax2+(2−a)x。

（1）讨论f(x)的单调性；
（2）证明：当a>0时，f(x)≤0恒成立。

四、导数在实际问题中的应用

（2020年全国一卷）某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=5x+200，收益函数为R(x)=10x−0.01x2，其中x为产品数量。求：

（1）利润函数L(x)；
（2）产品数量为多少时，利润最大？最大利润是多少？

导数与情景应用（创新考法）

生产计划问题：在生产计划中，企业需要决定每个时间段内各种产品的生产量。通过建立一个包含生产成本、收益和库存持有成本的优化模型，并使用导数求解该模型的最优解，可以实现生产计划的优化。

电力分配问题：在电力系统中，需要将电力分配给不同的用户或输电线路。通过建立一个包含电力成本、传输损耗和用户需求的优化模型，并使用导数求解该模型的最优解，可以实现电力分配的优化。

航线规划问题：在航空运输中，航空公司需要规划航线的起飞和降落时间以最大化收益或最小化成本。通过建立一个包含飞行成本、旅客需求和时间成本的优化模型，并使用导数求解该模型的最优解，可以实现航线规划的优化。

图像处理中的边缘检测：在图像处理中，边缘检测是一个重要的任务，可以用于目标检测、图像分割等任务。通过使用导数计算图像灰度函数的梯度，可以检测出图像中的边缘像素，从而实现边缘检测。

语音信号处理中的特征提取：在语音信号处理中，特征提取是一个重要的任务，可以用于语音识别、语音合成等任务。通过使用导数计算语音信号的梯度，可以提取出语音信号中的关键特征，从而实现特征提取。

机器人路径规划：在机器人路径规划中，需要找到一条从起点到终点且满足各种约束条件的最佳路径。通过建立一个包含机器人运动成本、时间成本和障碍物成本的优化模型，并使用导数求解该模型的最优解，可以实现机器人路径规划的优化。