原文选自Stewart Shapiro的《数学哲学-对数学的思考》一书第十章，本章中作者系统地介绍了数学中的结构主义，这也是作者自己的哲学立场。全书所需背景并不高，即使是很少涉足学院哲学的数学系学生也能轻松阅读本书。另外，由于本书参考文献实在太多（列出来整整18页之多），故在此不一一列出。
这最后一章(书中第十章)介绍一种数学哲学，称为结构主义，来自20世纪早期数学和逻辑的发展。它的主要捍卫者包括贝纳塞拉夫（1965），赫尔曼（1989），雷斯尼克（例如1997）以及我自己（如Shapiro 1997）。其口号是数学是关于结构的科学。大多数结构主义者都是真值实在论者，他们认为，例如算术和分析中的，每一无歧义的语句或真或假，独立于数学家的语言、心灵和社会习俗。不过，结构主义在数学对象的存在上有了分歧。贝纳塞拉夫和赫尔曼明确表述并捍卫了不预设数学对象的存在这一观点的不同版本，而雷斯尼克和我勉强为本体论实在论者。我们的结构主义版本在基本概念，如存在、对象以及同一性上，至少在用于数学的这些条目上，有分歧。背后的思想还记得一个传统的柏拉图主义者，或本体论实在论者认为，一个给定的数学分支，如算术和实分析，其研究主题是具有某种本体论独立性的一集对象。雷斯尼克（1980：162）定义“本体论柏拉图主义者”为那些认为日常物理对象与数“相同”。对这样一位哲学家来说，数与汽车是同类的事物——对象，只不过存在比汽车更多的数，并且数是抽象和永恒的。为了追求这种相似性，我们的柏拉图主义者也许会赋予单个的自然数以某种本体论上的独立性。就像每辆汽车独立于其他任何一辆汽车，每一自然数——作为一个个体对象——独立于任何其他自然数。也许这一想法是人们能给出每个自然数的本质而不必求助于其他自然数。数2的本质不牵涉数6或数6 000 000。结构主义者严格拒绝自然数中的任何种类的本体论独立性。一个自然数的本质是它与其他自然数的关系。算术的研究对象是一个单一的抽象结构，任何具有以下性质的无穷对象集合所共有的模式：拥有一个后继关系，一个唯一的初始对象，并且满足归纳原理。数2不多也不少地正是自然数结构的第二个位置；而6是第六个位置。它们都没有相对于它们位于其中的这个结构的独立性，而作为这一结构中的位置，没有一个自然数独立于其他自然
数。确实，一个幼儿可以学会很多有关数2的事情而对其他数，像6或6 000 000，几乎一无所知。但这一认识上的独立性没有排除自然数之间的本体论联系。做个类比，一个人能知道关于一个物理对象，如棒球的很多事情，而对分子和原子几乎一无所知。但这并不能推出棒球在本体论上独立于组成它的分子和原子。自然数结构通过以下例示得到说明：有穷字母表上按字典顺序排列的串，不同时刻的无穷序列，竖画线的无穷序列：类似地，实分析研究的是任何完全实闭域的模式。群论研究的不是一个单独结构，而是一类结构，是具有一个二元运算，且在这个运算下的一个单位元以及每个元素的逆元这样一个对象集的模式。欧氏几何研究欧氏空间结构，拓扑学研究拓扑结构，等等。 定义系统为一个对象的集合连同这些对象之间的某些关系。一个法人统治集团或一个政府是由人以及管理者与协助者之间的关系组成的系统。一盘棋局是处于一定位置的棋子以及“可能的棋路”关系组成的系统；一种语言是字母、单词和句子以及它们之间的语法和语义关系组成的系统；而一场篮球比赛的防守是一组处于一定位置的人及他们之间的“防守角色”的关系。定义一个模式或结构为一个系统的抽象形式，强调对象之间的关系，而忽略掉对象的那些不影响它们与本系统中其他对象如何相关的特征。理解模式的一种方式是通过抽象的过程。人们观察具有这个结构的多个系统，注意力集中于对象之间的关系——忽略掉对象的那些与这些关系不相干的特性。例如，人们可以通过观看一场比赛（或多场比赛）并注意无球一方队员之间的位置关系和角色，而忽略掉高度、头发的颜色和投篮命中率这些事情来理解篮球比赛中的防守，因为后面这些因素与防守系统无关。根据这些，结构主义者认为（纯）数学是对此类结构的演绎性研究。算术的研究对象是自然数结构，而欧氏几何的研究对象是欧氏空间结构。在数学中，对这些结构的研究独立于它们在非数学世界中可能会有的任何例示。换句话说，数学家对这些结构的位置之间的内在关系感兴趣。正如雷斯尼克所说：我认为在数学中我们不是把具有“内部”成分的对象安排于结构之中，我们只有结构。数学对象，即我们的数学常量和量词所指称的实体，是没有结构的点或结构中的位置。作为结构中的位置，它们没有结构之外的同一性或特征。（Resnik 1981） 考虑语言学的情形。让我们想象一个语法学家……通过运用抽象过程达到了一个他称为英语的复杂结构。现在假设后来发现英语语料库在一些重要方面不能例示这一模式，所以我们的语言学家就他的结构所做的很多断言就失败了。但可笑的是，语言
学家重新命名这个结构为特英语（Tenglish）。不过，我们关于作为模式的特英语的知识还继续存在；因为他成功地刻画了某个模式并讨论它的一些性质。类似地，我认为我们知道很多关于欧氏空间的事情，尽管它还没有物理上的例示。（Resnik 1982） 当然，上面提到的例子过于简单以至于不值得数学家去注意。我们关于篮球比赛的防守能证明什么呢？不过，存在关于国际象棋的非平凡的定理。例如，例如二马一王不可能将死单独一个王。不管棋子用什么做成，甚至无论象棋是否被下过，这一点都成立。这一有关象棋的定理或多或少是一个典型的关于某个结构的数学定理。而此处它是某个棋局的结构。 让我们简单回顾一下上一章第1节中在讨论菲尔德（1991）对牛顿引力理论的“唯名论”重构时出现的一个问题。菲尔德坚持数学对象不存在，但他的物理本体论包括无穷多时空点和区域。他论证说时空点和区域是具体的、物理的对象，因此它们不是数学的。菲尔德考虑到了自然的反驳“在假设一个丰富的物理空间和假设实数之间似乎没有非常重要的区别”。他回答说：唯名论者对使用实数的反对并不是因为它们的［基数］或关于它们所做的那些典型的结构性假设（如柯西的完全性）。相反，所反对的是它们的抽象性：即使假设一个实数也已经违反了唯名论反过来，假设不可数多的物理实体不是对唯名论的反对；当人们假设这些物理实体遵循与柏拉图主义者为实数假设的类似的结构性假定时，也并不使它成为更可反对的。 结构主义者对这一区分持有异议。对于她来说，一个实数是实数结构中的一个位置。由于每个实数都是一个巨大结构的部分，所以“假设一个实数”是没有意义的。这就像试图想象一个独立于篮球队的控球后卫，或独立于一盘棋局的扮演黑后的相的角色的棋子。它位于何处？它的棋路是什么？人们当然能询问实数结构是否被某个给定的系统（像一个物理点的集合）例示。那样，人们就能确定扮演单个实数角色的对象，就像在比赛日人们能够认出在其中一个队中扮演控球后卫角色的那个人，或在一局棋中人们能认出作为相的那个棋子。但是盘算独立于它们所属结构的数是没有意义的。 菲尔德同意他的唯名论物理学对时空做了实质性的“结构假设”，并且他明确表示这
些假设有值得称赞的严格性。虽然菲尔德不会这样做，但其时空的“结构假设”却刻画了
一个非常像实数的4重数的结构。事实上，菲尔德证明了关于这个结构的定理。作为结
构主义者来审视这一点，他因此从事了数学，关于结构的科学。证明有关时空的事情的活
动与证明关于实数的定理的活动是同一类的活动，都是对结构的演绎性研究。有两个相互关联的问题涉及结构主义的本体论。一个涉及结构本身的状态。自然数结构、实数结构以及诸如此类的结构是什么？结构像对象那样凭借自己而存在吗？像棋局、篮球比赛的防守或交响乐这样现世的结构或模式又如何呢？另外一个问题涉及单个数学对象的状态，即在结构中的位置。结构主义者会对数、几何点、集合以及等等说些什么呢？当然这些问题是密切地相互关联的，而我们要一起处理它们。由于一个同样的结构能被超过一个的系统例示，一个结构是多上之一（one over many）。此类实体长久以来已经受到哲学的注意。多上之一的传统例子是性质，有时称为特征，共相或型。这个世界中的所有不同的红色对象共享红性（redness）这一单个的性质。这个世界中的所有不同的人共享人性（personhood）这一性质。在更晚近的哲学中，有一个类型个例（type token）的二分（在第6章，第1.1小节和第3节中提出）。例如墨水、粉笔和墨粉的形如“”的不同痕迹称为类型“”的个例。个例是物理对象，能被随意创造和摧毁。类型是一个抽象对象，它是全体共有的形状。所以下面一行：由单独一个类型的4个不同个例组成。这部书的另外一册在相应的页上会有这个类型的另外4个个例。如果相关页由于憎恶而从这本书中被撕掉并成为碎片，这些个例就因此被摧毁了。但是（谢天谢地）类型不会被毁。即使所有这些页都被毁了，类型会依然存在。 如上面所定义的一个系统是对象的一个集合及这些对象上的关系，而结构是一个系统的形式。因此，结构之于被结构的，就像模式之于被模式的，就像共相之于其所包摄的殊相，就像类型之于个例。有关共相的大量文献中的各种立场限定了结构主义者的选择。源自柏拉图的一种观点认为，至少某些共相先于并独立于例示它们的任何事项而存在（见第3章，第1节）。即使没有人也没有红色的事物，人性和红性这些性质将依然存在。这种观点有时称为先物（anterem）实在论，而如此解释的共相称为先物共相。先物共相（如果存在）先于（并因此独立于）具有这一共相的对象而存在。按这一观点，一个“多上之一”在本体论上先于“多”。所以甚至毁掉这个字母的每个个例也不能摆脱类型“”。另一种不同于先物实在论的选择源自亚里士多德，是共相在本体论上依赖于它们的例示（见第3章，第4节）。根据这种观点，红性就是所有红色事物共有的。去除掉所有红色事物，红性也就随它们消失。毁灭所有的人就不再有人性这样的事物。如此解释的共相称为在物共相（in re universal），而亚里士多德的观点有时称为在物实在论（in re realism）。这种观点的支持者勉强接受共相的存在，但他们否认共相对它们的例示有任何存在上的独立性。在一定意义上，共相只存在于它们的例示中。在本体论上，“多”在先，只有那以后才有“多上之一”。还有其他关于共相的观点。概念论者认为共相是心灵的构造，而传统唯名论者认为共相或者是语言学的构造或者它们根本就不存在。对于目前的讨论，重要的区分是先物实在论与其他观点之间的区分。我们的问题是，结构本身是否并且在什么意义上，独立于例示它们的对象系统而存在？如果没有例示这些结构的系统，说自然数结构、实数结构或欧氏空间还是合理的吗？我们下一节讨论一种结构主义的先物路线，再下一节讨论某种在物路线。先物结构主义，和对象再说一次，对于一个结构主义者来说，一个自然数是一个特定的无穷模式——自然数结构——中的一个位置。这一模式可以用很多不同的系统来例示，但在每种情况下都是同一个模式。先物实在论认为这个模式独立于例示它的任何系统而存在。数2是这个模式中的第二个位置。单个的数类似于一个组织中的特定的职位。例如，在一个俱乐部中，我们把财务主管的职位与在一个特定的经营中碰巧拥有那个职位的人区分开来；而在一局棋中，我们把白王的象与在一个给定棋盘上碰巧扮演那个角色的那片大理石区分开来。在不同的棋局中这同一片大理石可能扮演另一角色，如白后的象，也可能是黑王的车。类似地，我们能把在自然数结构的一个例示中扮演2的角色的那个对象与这个数本身区分开来。数是职位，结构中的一个位置。实数、欧氏几何的点以及集合论层谱中的元素也是如此。每一结构先于它包含的位置，就像任何组织先于组成它的办公室一样。自然数结构先于2，就像俱乐部组织先于“财务主管”，或“美国政府”（或宪法）先于“副总统”。在哲学史上，先物共相有时被赋予一种解释上的优先性。例如可能会说：白宫白的原因是它有白性的共相。或使得篮球为圆的是它具有圆性的共相。不过，雷斯尼克和我都不宣称这种解释上的优先性。例如，我们不认为一个给定系统是自然数的模型是因为它例示了自然数结构。如果有什么的话，那是正好相反的方向。使得这个系统例示自然数的是它拥有一个一一的后继函数并带着一个初始对象且这个系统满足归纳原理。也就是说，使得一个系统例示自然数结构的是它是算术的一个模型。先物结构主义解决了一个至少被一些柏拉图主义者——或本体论实在论者——严肃对待的问题。还记得弗雷格（1884）对数词在“的数是”这一语境下的使用给出过一个非常可信的解释，其中代表“木星的卫星”或“桌上的纸牌”这样的谓词（见第5章，第1节）。但弗雷格看到这一初步解释不能保证数是对象这一他所希望的结果。他提出，一个本体论实在论者必须提供一个标准来确定任何给定的数，如2，是同于还是不同于任何其他对象，如恺撒。也就是说弗雷格的初步解释对等式“恺撒＝2”没有说出任何东西。这一窘境，现在称为恺撒问题，占据了一些当代逻辑学家的思想（见第5章，第4节）。贝纳塞拉夫（1965）和凯切尔（1983：第6章）提出了这个问题的一个变种，作为对本体论实在论的一个反击。在发现本质上数学的每个领域都可还原（或模拟）为集合论之后，那些对基础问题感兴趣的心灵开始考虑把集合论的层谱作为所有数学的本体论。如果集合单独就行，为什么还要集合、数、点以及诸如此类？但是算术对集合论有多种还原，似乎没有在它们中作出抉择的原则性方法。集合论学家策梅罗提出数0是空集，而对每个自然数，的后继是包含的单点集，所以1是，2是，3 是，等等。所以除了0之外的每个自然数都恰好包含一个元素。另一个流行的还原，属于冯·诺依曼，他将每一自然数定义为小于n的自然数组成的集合。所以0是空集，1是，2是，而3是。在这个系统中，每一自然数恰好有个元素。那好，是冯·诺依曼还是策梅罗（或他们都不）正确？如果数是数学对象，而所有数学对象都是集合，那我们需要知道哪些集合是自然数。数3是什么？我们如何能断定？我们还有其他困惑。在冯·诺依曼的还原中，1是3的元素，但在策梅罗的还原中，1不是3的元素。所以我们得到一个没有给出答案的问题，“1真的是，或者不是，3的元素吗？”从这些观察和提问，贝纳塞拉夫和凯切尔得出与弗雷格相反的结论：数不是对象。所以他们拒绝本体论实在论。先物结构主义者发现这一结论靠不住。为了看出为什么，我们转向是一个对象（至少在数学中）是什么这个一般问题，而不是去力图解决恺撒问题并直接回答贝纳塞拉夫凯切尔问题，结构主义者论证说这些问题无需回答。这里又一次提及，一个自然数是自然数结构中的一个位置。后者是所有算术模型的共同模式，不管它们是在集合论层谱中还是在其他任何地方。人们能够形成关于两个自然数的等式：和的一致而确定的陈述。并且人们能探究算术语言中的不同刻画所指称的数之间的等式。例如，7是小于10的最大素数。但追寻自然数结构中的一个位置与其他某些对象之间的等式却没有意义。自然数之间的等式是确定的；数和其他种类对象之间的等式却不是，而数和其他结构中的位置之间的等式也不是。我们确实能交互地宣称很多等式是假的。显然，恺撒不是结构中的一个位置，所以恺撒不是一个数。沿着类似的道路，人们能够期待确定对数之间的数字关系——算术语言中可定义的关系——的解答。因此，1<3，并且7不是22的因子。这些陈述在自然数结构中是内在的。人们还能期待回答有关集合基数的标准问题。行星的数目是9（一旦我们决定了什么可以被看作行星）。但如果有人与贝纳塞拉夫和凯切尔一道追问：1是否是3的元素？那就不存在有待发现的答案。这就类似于问数1是否比数4更有趣，或更绿。类似的思考对更为现世的模式也成立。确定无疑的是守门员不是前锋（在同一时间），但关于模式中的位置是否与其他对象等同的询问有一些古怪的事情。关于对总统职位是否等同于克林顿的询问——职位是否等同于那个人——有一些古怪的事情。再说一次，如果坚持这个问题，我们可以说克林顿（Bill Clinton）不是——并且从来不是——总统职位。类似地，后的相不能吃掉对方后的相，这是确定无疑的。但要是问是否这个后的相比对方后的相更聪明，却有些古怪。同样荒诞的是问控球后卫这个位置是否比大前锋更高，更快或投篮更准。高矮，投篮命中率不能应用于位置。类似的不那么哲学的问题(关于一个特定阵容的)在比赛日被提出来，但那些问题涉及的是当天位于控球后卫和大前锋位置上的人，而不是位置本身。事实上任何准备打篮球的人都可能是控球后卫——任何人都能在一支篮球队中占据那个位置（有些比另一些做得好）。任何小的、可移动的对象都能扮演（即都能是）黑后的象这一角色。类似地，任何东西都完全能够“是”3——任何能够占据一个例示自然数结构的系统中那个位置的东西。策梅罗的3（），冯·诺依曼的3（），甚至恺撒，每个都能扮演那个角色（当然，在不同的系统中）。如结构主义者那样看待事物的话，弗雷格贝纳塞拉夫凯切尔问题要么是平凡而直接的，要么是没有确定答案的问题，他们不需要它们。结构主义指向有关（至少是数学中的）对象和存在的一种相对性。数学对象与组成它们的结构绑在一起。贝纳塞拉夫（1965：§Ⅲ.A）提出了一个类似的观点，至少临时性地，指出某些有关等式的陈述是无意义的：“等式陈述只在存在可能的个体化条件的语境下才有意义关于等式的问题包含如下预设：被考察的'实体’都属于某个一般的范畴。”结构主义者对此表示同意，注意到同一结构中的位置当然在同一个“一般范畴”中并且在它们中间存在“个体化条件”。贝纳塞拉夫得出结论说：“组成一个实体的是范畴或理论依赖有两种相关的方式看待这一问题。一种方式可能得出结论说等式是系统的含混的，另外一种方式是人们可能会同意弗雷格，等式是不含混的，总是意味对象的等同性，但是（现在与弗雷格相反了）从理论到理论，从范畴到范畴，对象的概念各不相同”结构主义者坚持认为在数学中，“对象”和“同一性”概念是毫不含糊的，但是完全相对的。雷斯尼克把这种相对性追溯到蒯因的本体论相对性论题。对于雷斯尼克，像对蒯因一样，此处的相对性相当普遍，应用于整个信念之网（例如，参见Quine 1992）。我自己版本的结构主义，即使对数学，也没有把相对性处理得这么广泛。数学家有时发现，把不同结构的位置等同起来是方便的，甚至是强制的。例如，这发生于集合论学家决定采取冯·诺依曼对自然数的定义时（相对于策梅罗的或任何其他的）。一个更直接的例子是，把自然数结构中的位置等同于它们在整数、有理数、实数和复数结构中的相应位置确实是明智的。因此，自然数2等同于整数2，有理数2、实数2和复数。很难有什么比这更直接了。当然，在对象与结构中的位置之间，在职位拥有者和职位之间，存在一种直观上的差别。结构主义大多数前进的动力都是由这种区别开启的。为了坚持数、集合和点（等等）是对象，先物结构主义者求助于语言学实践中的一个区分。对模式和它们的位置的讨论包含有两种有效的不同倾向。有时，一个结构的位置是在一个或多个例示这一结构的系统的语境下被处理。例如，我们会说今天的那个守门员是昨天的前锋，目前这个财务主管对于这个组织比她的前任更有献身精神，或者某些总统比另外一些更正直。类似地，我们会说冯·诺依曼的3比策梅罗的3多两个元素。在每种情况下，我们凭借占据这一位置的对象或人来处理结构的每个位置，这称为位置即职位的观点。在这样的解释下，一个结构的位置比起对象来更像性质。这一职位倾向预设了一种背景本体论，它补充对象以填充结构的位置。在篮球队、组织和政府的情况下，背景本体论是人，而在国际象棋的情况下，背景本体论是小的、可移动的对象，一般地，具有某种颜色和形状。在算术的情况下，集合——或其他任何东西——将起背景本体论的作用。与这种位置倾向相反，存在这样的情况，一个给定结构的位置，至少在语法上，凭其本身就被视为对象。也就是说，有时指称位置的条目是单独词项，就像专名。我们说副总统是参议院议长；象棋中的象走对角线，或者位于黑格中的象不能走到白格中。这称为位置即对象观点。在这里，陈述是关于相应结构本身的，独立于它可能具有的任何例示。从这种观点来看，算术是关于自然数结构的，并且其话语的论域由这一结构——以位置即对象的观点来对待——的位置组成。其他领域，如实分析和复分析、欧氏几何，或许还有集合论，也是相同的。这里的建议是，有时候会说英语的人把数学结构的位置看成对象，至少在它出现于表面语法时。某些结构主义者，像雷斯尼克和我自己，把这视为给数学语言以底层的逻辑形式。也就是说，算术语言中的语句，像“”和“对每一自然数，存在一个素数”在字面上被理解为指称了自然数结构的位置。指称数的项属于位置即对象的观点。在数学中，数学结构的位置是真实的对象。那么，对于先物结构主义者，位置和位置拥有者之间的区别——并因此位置和对象之间的区别——至少在数学中是相对的。从一种观点看来是对象的东西，在另一种中是结构中的位置。在位置即职位的观点中，背景本体论可以包含来自其他结构的位置，例如，当我们说负的全实数例示了自然数结构，或欧氏直线例示了实数结构时。事实上，位置即职位观点的背景本体论甚至能由正好在被讨论的结构的位置组成，如果注意到偶数例示了自然数结构，特别地，每个结构例示了它自己。它的位置，被解释为对象，例示了这一结构。汉德（Michael Hand）（1993）论证说，先物实在论在传统的亚里士多德为反对先物共项所做的“第三人”论证的一种版本上步履蹒跚。冯·诺依曼和策梅罗的还原都例示了自然数结构。从先物观点来看，自然数结构本身也例示了自然数结构。汉德论证说，先物结构主义因此需要一种新的结构，一种超自然数结构。它源自自然数结构，与冯·诺依曼和策梅罗所共享。而一种倒退出现了。不过，从先物观点来看，“自然数结构本身例示自然数结构”这句话开启了对于结构的不同倾向。其思想是从位置及对象的观点来考虑，自然数结构的位置能被组织到一个系统中，而这个系统例示了自然数结构（它的位置要从位置即职位的观点来看）。自然数结构作为一个位置的系统，例示了它自己，像每个结构那样。没有结构的结构主义先物观点因此预设了位置即对象观点中的陈述，初看起来，这要在字面上理解。像“财务主管”、“守门员”、“2”以及“6＋3i”这样的词项是真正的、指称对象的单独词项。一些结构主义者反对这一点，并不严肃地看待位置即对象的观点。注意到位置即对象的陈述使概括成为例示被讨论结构为所有系统所必需的。每个是副总统的人——不管是戈尔、库勒、布什还是蒙代尔——是那届政府的参院议长。每个相都走对角线，位于黑格中的相没有一个曾经走到过白格中（在同一盘棋局中)。没有人能既是控球后卫又同时是大前锋；而任何在自然数系统中扮演3这个角色的事物都是在那个系统中扮演2这个角色的事物的后继。简短地说，位置即对象的陈述应用于在例示这一结构的任何系统中占据位置的对象或人。一个拒绝先物路线、更喜欢对结构进行在物说明的哲学家会认为位置即对象的陈述不过是方便地重述例示被讨论结构的系统之上的相应概括。如果成功的话，像这样的一种策略将完全消除位置即对象的观点。这个论题会是位置即对象的陈述不在字面上被理解。表面上的单独词项掩盖了隐含的约束变元。这一计划依赖于能够推广例示所讨论结构的所有系统。在在物计划中，像一个“3＋9＝12”这样的陈述会变成如下的某种事物：在任何自然数系统中，的3位置中的对象加的9位置中的对象，其结果是的12位置中的对象 像这样解释时，看似大胆的本体论主张失败了。例如“3存在”这个句子变成了“每个自然数系统有一个对象在它的3位置中”，而“数存在”成为“每个自然数系统在它的位置中有对象”。几乎没有任何东西能比这更无害了。 把数学陈述重述为概括的计划是结构主义的一种表现形式，但它不支持结构——或就此而言的数学对象——成为真正的对象。谈论数是谈论例示这一结构的所有系统的一种方便的简化。一般地，谈论结构是谈论系统的一种方便的简化。帕森斯（1990：第2—7节）提出（但很快放弃）一种这样的观点，他称之为取消论的结构主义：“它避免了挑选任何一个作为自然数［取消论结构主义］例示了一种对这样一种考虑的非常自然的回应，一种自然主义者的观点基于这种考虑之上，把关于一种数学的陈述看作关于特定类型的结构的一般陈述，并且通过这种思想来寻找一种方式，消除对所考虑的这类数学对象的指称。”（Parsons 1990：307）贝纳塞拉夫（1965）采取了一种取消论的、在物版的结构主义，他写道数论“是数的序型的所有［系统］之性质的结果”。当然，这是他拒绝数是对象这一论题的一个片断。在当前的讨论中，取消论结构主义计划凭借位置即职位的观点来解释位置即对象的陈述。还记得位置即职位的倾向要求一种背景本体论，一个话语的论域，来填充（在物）结构。为了使数学的实质部分有意义，取消论计划的一个潜在的绊脚石是背景本体论必须非常坚固。本体论中对象的本性无关紧要，但那里一定要有很多对象。为了看到这一点，令为算术语言中的一个句子。按照取消论结构主义，处于以下形式的事物之中：其中是通过以系统S的对象与关系由来解释算术术语和变元。每一例示自然数结构的系统一定拥有无穷多对象。所以如果背景本体论是有穷的，那么就没有系统例示自然数结构。在这种情况下， 为真，不管是什么句子。也就是说，如果背景本体论是有穷的，那么“”和“每一自然数是素数”和“有些自然数不是素数”的解释都为真。所以如果背景本体论是有穷的，那我们就不能以一种不破坏算术句子的正常真值的对算术的解释而告终。这样，一个取消论结构主义者对算术的解释要求一种无穷的本体论，类似地，一个取消论结构主义者对实分析和欧氏几何的解释要求一种基数至少为连续统的背景本体论。一种对集合论的取消论的解释甚至要求更多的对象。否则，这一领域就是空洞的。对这一威胁存在两种回应（除了回到先物结构主义或完全拒绝结构主义）。其中一个是假设存在足够多的抽象对象，使所有被研究的结构可被例示。也就是说，对数学的每一合法领域，我们假设存在足够的对象，以使这个领域避免成为空洞的。这称为本体论选择。这种观点是本体论的取消结构主义。 根据这一计划，如果人们想要对全部（或几乎全部）数学做单一解释，那么抽象对象的背景本体论一定会相当大。许多逻辑学家和哲学家考虑把集合论层谱作为全部数学的本体论。如果人们假设这一层谱中的每个集合都存在，那将肯定有足够的对象来例示任何可能想到的结构。因为，历史上，集合论的一个目的就是为尽可能多的结构提供模型，所以集合论对于取消论结构主义的背景本体论是一个好的候选者 。系统和满足的相关概念是普通模型论的标准部分。一个结构是模型论解释的一个序型。本体论取消结构主义的关键特征是背景本体论不按结构主义者来理解。如果集合论层谱是背景，那么无论如何集合论都不是特定结构的理论。相反，集合论是关于对象的特定类的背景本体论。或许从一个不同的观点来看，集合论能被设想为对特定结构U的研究，但这会要求另一种背景本体论来填充U的位置。新的背景本体论不被理解为另一结构的位置，或者如果是的话，为了它的位置，我们还需要另外一种背景本体论。本体论取消结构主义必须停止这种倒退。最终的本体论不是凭借结构来理解，即使数学中的其他任何事情都如此。某些倾向于本体论反实在论的哲学家已经表达了对结构主义者对数学所作解释的同情，但是，当然，他们不支持先物结构，从唯名论的观点看，本体论取消选择会由于背景本体论而不太好。我们的唯名论者提议我们谈论可能结构而不是结构。不说算术是关于某一类型的所有系统的，而是说算术是关于某一类型的可能系统。再次令为算术语言中的一个句子。上面，按照本体论选择，一个算术句子被解释为“对任意系统，如果例示自然数结构，则有”。根据目前的选择，被理解为对任意可能的系统，如果例示自然数结构，那么才是 或者 必然地，对任意系统，如果例示自然数结构，那么才是 对于本体论反实在论者，难题是使算术、分析等等避免成为空洞的又不假设存在一个例示这一结构的系统。目前的解决方案是代之以假设这样一个系统是可能的，不像本体论选择（或先物结构主义），这里我们不需要现实的、丰富的背景本体论。作为替代，我们需要一个丰富的背景本体论是可能的。称这种观点为模态取消结构主义。 赫尔曼（1989）极为详细地执行了像这样的一个计划。他的书的标题为《没有数的数学》(Mathematics Without Numbers)，对事情作了很好的总结。这是对数学的一个结构主义者的解释，而又不支持结构——或数学对象——的存在。一个数学分支中的陈述被理解为一个可能性或必然性算子的辖域之内的概括。赫尔曼不是断言各种结构或系统存在，而是断言这些系统可能存在。模态选择的核心议题或许是所用到的模态词的本性，我们如何说明在解释数学陈述中用到的“可能性”和“必然性”？或许，它是物理上的可能性，存在一个系统例示自然数结构。我们甚至会认为欧氏空间是物理上可能的。不过，宣称一个系统例示任何更丰富的结构是物理上可能的，就把这一模态概念延伸得不能辨认了（虽然，Maddy 1990：第5章；见前面第8章，第3节）。确实，存在那么多物理对象是不可能的。相关的模态算子也不被理解为形而上学的可能性。直观地看，如果数学对象——像数、点以及集合——在根本上存在，那么它们的存在是形而上学上必然的。大多数对数学对象存在的支持者和反对者都同意“自然数的存在”等价于“可能地自然数存在”和“必然地自然数存在”。对任何数学对象也是如此，至少在它们被传统地设想时。这样，背景本体论中条目的存在和可能存在是等价的，所以使用形而上学模态没有真正地减轻取消论结构主义的本体论负担（有关类似之点的一个详尽的细节，见Resnik 1992）。由于这些原因，赫尔曼没有调用物理的或形而上学的可能性，作为替代，他为他的取消论结构主义调用了逻辑模态。我们有算术句子：对任意逻辑上可能的系统，如果S例示自然数结构，那么 其逻辑可能性与一致性十分相像。从这种观点看，模态结构主义者只需要假设以下是逻辑上可能的：存在系统例示自然数结构、实数结构，等等。 来自前一章第2节和第4节的一个问题在这里出现了。还记得在当代逻辑学教科书和课堂上，逻辑模态是借助于集合被理解的。说一个句子是逻辑上可能的，就是说存在一个特定的集合满足它。不过，根据取消论结构主义的模态选择，说存在一个特定的集合，就是说了关于每个逻辑上可能的系统的某些事情，这些系统例示了集合论层谱的机构。这是一个不能接受的循环。借助于逻辑可能性来解释数学的“存在”就没有什么好处，如果后者借助于在集合论层谱中的存在来解释的话。把这些观点放在一起，一个句子是逻辑可能的这样一个陈述，实际上是一个关于集合论的所有集合论模型的陈述。谁断定存在这样的模型呢？赫尔曼接受了这一直截了当的观点，因此他反对对逻辑模态的标准的、模型论的解释。作为替代，他把逻辑概念视为初始的，而不是还原为集合论。关于结构的知识不同版本的结构主义有不同的本体论，并且它们用不同的概念手段来解释数学陈述。所以不同版本的结构主义有不同的认识论。本体论上的在物结构主义者（例如贝纳塞拉夫）要求一个巨大的抽象对象的库存来填充结构中的位置。数学命题被理解为关于这一本体论的概括。这一观点的结构主义部分本质上是模型论，数理逻辑的一个相当好的分支。因此很多不是哲学上有问题的，或不特别地如此。从本体论取消观点来看，困难的部分是理解我们如何认识关于例示在物结构的那些抽象对象系统。这样，本体论取消结构主义就继承了本体论实在论（柏拉图主义）的问题和潜在的解答。还记得先物结构主义假定一个结构王国的存在，这些结构独立于任何例示它们的系统而存在，数学知识因此就是属于，并且关于此类结构的知识。所以先物结构主义必须思考我们如何获得这些知识。模态结构主义者（如赫尔曼）必须思考我们如何知道哪个系统是可能的，并且我们如何获得能支持这些可能系统的知识。我提议这一论题与先物结构主义的认识论问题密切相关。当先物结构主义者说一个给定结构存在时，模态结构主义者说一个相应的系统是逻辑上可能的。反过来也一样。所以我将一起处理这两种观点。模式识别和其他抽象一个结构主义者可能以这一论题开始：人们能通过模式识别来理解某些结构。当然，模式识别是认知心理学中一个深刻而具有挑战的问题，而且没有对其底层机制的可以接受的说明。不过模式识别不是哲学的神秘之域，例如像哥德尔的直观被认为的那样（见第8章，第2节）。这里，我用几个例子来说明工作的程序，说明它如何导致对小结构的理解。当然，我们将会有这些结构是被解释为先物还是在物的问题。让我们从对字母、数字和较短的字母串开始。这些是前面提到的类型个例二分法的最简单的例示，也是抽象的最简单例示之一。这些类型通过它们的个例被理解。我们观察一些个例，然后以某种方式获得类型的知识。向一个对此一无所知的人介绍字母的基本手段是实指定义。一个父亲或母亲指着几个字母，例如，大写“”的例示并发“爱富”的音。最终，孩子开始明白被指的是这个字母——类型——而不是特殊的个例。维特根斯坦（1953）由于他提醒实指行为对教者和学者都预设了一些能力而受到关注。他们一定已经能够识别那类被指的事物——无论这类事物会是什么。所以结构主义者不主张模式识别，全凭自己就解决了认识论问题。在整个学习过程中，每个字母类型都被越来越多种的对象例示。当然，孩子最初把类型“”与差不多具有同样形状的个例联系在一起：一条竖直线带着两条画在它右边的横线，一条在顶部而较短的一条在中间（带着或不带衬线）。不过，很快这个孩子就学会把不同形状的个例，如、、，认做大写的“F”。这个孩子于是就学会了存在一个类型其个例包括大写和小写的“”。在这一点上，没有像共同形状这样的东西而被关注，所以我们已经超出了简单的抽象。尽管如此，所有这些不同的“”的个例都是物理的划痕，由一片片墨水、石墨、墨粉、像素，以及诸如此类的事物构成。但这个孩子还学会在某些声音中也存在个例。声音“爱富”也是一个“F”。存在着手语、旗语、烟雾信号以及莫尔（Morse）电码。在编码中，一个字母甚至会以其他字母（的个例）为个例。“沃森过来看，这里的'’是'’，'’是'’”我提议现在借助结构或模式中的位置来思考。不同“”所共有的东西是它们都在一个字母表和不同字母串中有同样的角色。到此时我们的孩子已经学会识别一个字母表结构而“”是那里面的一个位置——第六个位置。让我们来考虑另一类模式，小的基数。对每一自然数，存在一个被所有恰好包含个对象的系统所例示的结构。例如，4模式是所有包含4个对象的类的共同结构。4模式被以下事物所例示：弦乐四重奏的成员、他们的乐器、一般房间的墙以及两副手套。我们类似地定义“2模式”、“3模式”等等。让我们称这些为“有穷基数结构”。每个有穷基数结构都没有关系，所以它差不多是所能得到最简单的结构。我们把“1模式”作为一种退化的情形包括进来。它被只有一个对象而没有关系的“系统”所例示。我们的孩子部分通过实指定义开始学习基数结构。父母指着一个4个对象的组并说“4”，然后指着另一不同的4个对象的组并重复这一练习。最终孩子学会了这个模式本身。本质上，以上关于字母模式所说的每件事情在做必要调整后都可应用于（小的）有穷基数结构。或许我们的孩子一开始会相信4模式只能应用于碰巧放在一起的物理对象的系统，但她很快就学会计数所有种类的系统并且她看到4模式的普遍应用。我们计数太阳系中的行星、一个给定单词中的字母、时钟的钟声、油画中的颜色以及性质：“正义和仁慈是两种主要的美德”。由于任何数都可数，所有种类的系统都例示基数模式。当我们注意到有4个小于10的素数时，我们甚至计数了数本身。也就是说像这样的数系统例示了有穷基数结构。为了通过模式识别获得字母类型和基数结构的知识，一个主体必须观察个例和对象的类。所以在这个意义上，通过模式识别获得的知识不是先天的。不过，没有什么特定的样本是必须的——相关类型的任何个例和正确尺度的任何集合都行。颜色概念的情况也类似。推测起来，我们需要某些知觉经验来知道颜色是什么，但可以相信至少某些有关颜色的命题是先天的。例如，我们可以先天地知道所有绿色对象都是有颜色的，并且没有东西既全是红的又全是绿的。有人也许沿着类似的路线论证说，我们拥有关于有穷结构的某些事实的先天知识。或许我们能先天知道任何例示4模式的系统比任何例示3模式的系统大。先物结构主义者会论证，或只是主张，实指定义和模式识别产生了小的、先物结构的知识。迄今为止，这是一个不得不暂时吞下的苦果，因为接踵而至的将是不那么过分的解释。模态结构主义者在这个阶段比较轻松。很清楚，实指的系统存在，所以这类系统的可能性就没有问题。注意到此处我们在认识论图景中最多只有简单的、有穷的模式。这些结构不但有穷，而且非常小。很清楚，如果说结构主义者要提出一种严肃的数学哲学，那么简单模式识别不过是结构主义认识论的一个刚刚的起步。在某些地方，还处在儿童教育的早期，她发展出了一种理解基数结构的能力，超出那些她通过模式识别能完全立刻识别的东西，并超出那些她实际计数，甚或能计数的东西。12444的模式是什么？更不用说原子物理学、天文学或美国国债所需要的尺度了。没有人曾见过足够大的系统以便抽象出基数结构。没有人计数过一个，例如，4万亿美元账单的系统（因为根本没有那么多）。确实，我们不是通过简单抽象和实指定义来学会和教授这些模式的。父母不会说：“看那里，那是12444”。可我们还是不费力地谈论大数。我们学习，并且讨论、操作物理对象中分子的数目以及到其他星系的距离。为了容许大的有穷结构，结构主义者必须有更多的沉思默想。回到我们正在学习的孩子，或许她反思数字的序列，最终注意到这个序列超出了她能实际计数的集合。她于是看到任何有穷集合都可计数并因此具有一个基数。一种相关的可能性是人类有一种官能，类似于模式识别但超出了简单抽象。小的有穷结构，一旦被抽象出来，就被认为其本身展示了一种模式。例如，有穷结构有一个自然的顺序：1模式后面跟着2模式，后面跟着3模式，等等。我们于是把这模式的模式延伸到超出通过简单抽象获得的结构之外。考虑我们的孩子正学习以下表示的模式：通过反思这些有穷模式，主体认识到这一模式的序列完全延伸到超出她已经看到例示的那些部分。也许这是一个先物结构的初步暗示，或在物结构的可能性不在现实世界中被例示。不论是哪种情况，我们的主体由此获得了12444根竖画的序列的观念，并且她得到了12444模式的观念。那以后不久，她把握了4万亿模式，因此对国债有了某种判断。 如果这么多是可以接受的，那最简单的无穷结构就触手可及了。我们的主体，不再是
个孩子，继续反思越来越大的有穷结构的序列并且把握了有穷基数结构本身的概念。有穷
基数结构按如下排序：这个序列没有终点。一个先物结构主义者会主张我们的主体发现有穷基数结构的序列无穷地继续。一个模态取消论的结构主义者则会说对每一，如果能有一个尺度为的系统，则就能有一个尺度大于的系统。在两种情况下，主体都看到（可能的）有穷基数结构的（可能的）系统有一个模式。对每一有穷基数结构，存在一个唯一的接下来最大的结构，所以没有最大的有穷结构。有穷基数结构的系统至少是潜在地无穷的。最终，主体能够一致地讨论这些有穷模式的结构，或许为这个结构形成了一种版本的皮亚诺公理。我们现在达到了自然数的结构。 先物结构主义者如下刻画这一过程：人们首先盘算把有穷基数结构视为凭自己本身就是的对象。然后我们形成一个系统，该系统由这些有穷结构的集合以及一个适当的顺序组成。最后我们讨论这个系统的结构。注意到这一策略依赖于把各种有穷结构，不仅是它们的成员，解释为能够被组织到一个系统中的对象。是结构展示了所要求的模式。我们于是在结构系统二分法上有了一种新的技巧。从一种观点——有穷基数结构的观点——来看是结构的东西，从另一种来看是对象。有穷结构本身被组织到一个系统中，而那个系统的结构也被思考。4模式本身在自然数结构中扮演4的角色。模态取消论的结构主义者会用不同的概念讲述一个本质上相同的故事。自然数结构也能通过反思时间流逝而达到。如果时间之线被设想为划分成离散的时刻，间隔为一秒，从现在开始的时刻例示了自然数的结构。自然数结构还能通过反思字母的有穷序列得到：或许我们的主体能够反思永远增长的“a”的序列，并形成（一个方向上）无终点序列的概念。当然，人们不能写下这个无穷串的一个个例。实践中会写下这样的替代物： 学生们最终会理解，在他们能一致地讨论无穷模式并甚至能把它教给别人的意义上，省略号“……”意味着什么。当他们这样理解的时候，他们已经掌握了自然数结构（的一个例示）。从结构主义的观点来看，字母类型的序列与自然数没有很大的不同（见考克冉等1974）。在一个给定结构被理解后，其他结构可以借助它来刻画和理解。例如，整数结构类似于自然数结构，只不过两个方向都没有终点：又一次，学生们最终理解了这是什么意思并能够一致地讨论这个结构。有理数结构是自然数对的结构，包括适当的关系。 为了得到更大的结构，我们的主体能思考有理数的某些集合，像在戴德金切割中那样，或者她能思考有理数的无穷序列，像在柯西序列中那样（假设如此谈论集合或序列是一致的）。当然，这两种技术有所不同，但结果得出同样的结构，实数的结构。对我们的主体来说，通过思考实际或可能的物理或几何量来设想实数结构（或例示它的一个可能的系统）也许更为自然。讲授这个问题经常是教学法上的一种挑战，但一旦学生熟悉了在结构中，在适当的语言中，工作中的某些工具，就不会有问题。我们至少有表面上的交流，并且在当前的解释下，它是对有关结构——或可能系统——的事实的交流。当然，一个对抽象对象有所怀疑的人会在先物结构主义者的本体论主张上驻足不前。他会坚持我们最好只谈论物理刻画（即个例）的谓词和物理对象的集合。无论如何，都是我们与之有联系的。他可能认为模式识别以及其他类型的抽象导致对抽象实体的信念，和一种讨论没有例示的模式的能力。但我们的本体论反实在论者将坚持这些手段没有产生知识，除非结构（或至少它们的位置中的对象）存在。我们已经确立了后面这个本体论主张了吗？能够不求助于问题做到这点吗？先物实在论者因此有义务提供至少是一种推测性的解释，以说明这些手段如何生出关于结构的可信的知识。雷斯尼克（1997：第11章）界定一个“基因”过程，通过它，我们的祖先（以及可能也包括我们）可能已经“承认”了至少一些小的抽象（先物的）结构，虽然他们并不十分看重抽象的过程。雷斯尼克追随蒯因，认为物理对象和数学对象的存在都是假设，作为我们关于世界整个“理论”的一部分。任何类型的对象——岩石、棒球、电子、数以及结构——其存在都是在整体主义基础上，在它们在科学中的作用的基础上，得到辩护的。正是我们的老朋友不可或缺论证，现在用到了结构上。我自己的认识论（Shapiro 1997：第4章）关心的是结构主义（作为一种清晰明了的数学哲学）的力量。我提出了对结构存在的一种解释，根据它讨论结构的能力是结构一致存在的证据。为本体论实在论而做的这个论证是一种形式的具体例子，这种形式有时称为“推论出最好的解释”。其思想是结构的本性保证了某些经验被看作它们存在的证据 。一个像赫尔曼这样的模态取消论的结构主义者不需要证明结构存在，只需证明它们是可能的。可能心理学的手段对这一任务有所帮助。如上面所指出的，这依赖于所使用的模态的本性。模态取消论者有义务解释导致关于模式的信念的手段如何有时候产生有关那些结构是可能的可靠知识。隐定义能被以上任何技术理解的结构在尺度上存在限制。人们只有通过知觉一个例示这一结构的系统，才能把握那些凭借简单模式识别的结构。这样一个结构最多有小的有穷数目的等级。超出模式识别的扩展产生关于大的有穷结构、尺度为自然数的结构，也许还有尺度为实数的结构的知识，但不能更多了。我们依然悲哀地缺少数学中所考虑的结构的整个范围。我们转向一个更有力但也更具猜测性的把握结构的技术 。理解和交流一个特定模式的途径之一就是直接描述它。例如，人们可能如下描述一场篮球比赛的防守：控球后卫站在这个位置并负责防守球场的这一部分，大前锋那样做，以及等等。类似地，美国政府的结构能够通过列出各种职位和各种职位拥有者相互联系的方式而被描述。当然，不管哪种情况，一个听众可能会误解并认为某个特定的系统正在被描述。他可能用不适当的问题展现出这种混淆，像“那个小前锋的妈妈叫什么名字？”或“那个来自南卡罗来纳州的资深参议员是共和党人吗？”最终，一个准备充分的听众将理解正在描述的是这个结构本身，而不是它的任何例示。我不是要说明这一理解背后的心理语言学机制。对听众一方有众多的预设。不过，显然至少有一些听众具备了这些。这里我们有了隐定义，这一数理逻辑中的一个熟悉的技术的一个例子。一个隐定义是对数个条目同时进行的特征描述，凭借的是它们相互之间的关系。在当代哲学中这些有时被称为“功能定义” 。这里的论题是成功的隐定义刻画了一个结构或一个可能的系统。在用隐定义刻画结构时，人们用单独词项指称结构的位置。例如“控球后卫”和“副总统”是限定摹状词或专名。不过，在隐定义中词项不指称人，它们指称各个结构中的位置。单独词项指称职位，而不是职位拥有者。上面第2节中对结构的这一倾向称为“位置即对象”。注意到一个隐定义可以描述一个结构，即使没有这个结构例示被展示出来。人们可能描述一场篮球比赛的防守或一个政府的变化，即使它还没有实施。有人可能想知道如果有两个总统会怎么样，一个是武装力量总司令，另一个来否决法案。如果成功，这描述的既不是先物结构也不是可能的系统（取决于适当版本的结构主义）。在数论教科书的开始几页我们会读到，每个自然数有一个唯一的后继，而0不是任何数的后继，以及归纳原理成立。类似地，一个对实分析的论述则会开始于一个对内容的宣告：某种数学对象，称为“实数”，将会被研究。我们被告之的唯一有关这些对象的事情就是某些关系在它们中成立。例如，我们也许被告知这些数有一个稠密线序，存在加法和乘法的结合和交换运算，等等。人们很容易得到这样的印象：这些对象本身无关紧要；关系和运算，或者一句话，结构才是要被研究的。把这些材料作为隐定义来解读是直截了当的事。隐定义中的陈述有时称为“公理”。在第6章的第2节中我们看到希尔伯特（1899：第1节）在他对几何学的经典论述中给出了隐定义：“设想……点、直线和平面之间有一定的相互关系，用'关联’、'介于’、'平行’、'全等’、'连续’等词来表示。对这些关系完整而又精确的描述将作为几何公理的一个后承而给出。”希尔伯特的演绎主义与结构主义有很多共同之处（见Shapiro 1997：第5章）。隐定义支持数学知识是先天的这一长期存在的信念。再说一次，一个隐定义，如果它刻画了任何东西的话，一定刻画了一个结构或可能系统的一个类。因此，如果感觉经验不包含于理解隐定义的能力中，也不在对一个隐定义的成功所作的辩护中，也不在我们对逻辑后承的把握中，那么，通过从隐定义推演而得到的关于被定义结构的知识，就是先天的。当然，并非每个句子集都成功刻画了一个结构（或可能系统），即使有人打算用它达到那个目的。结构主义者需要说明何时一个传说的隐定义成功。这也许是结构主义受质疑的方面。人们对隐定义会有两个要求。第一是至少一个结构——或可能系统——满足那些公理。这称为“存在条件”。第二是至多一个结构被刻画——或所有被刻画的系统共享一个结构。这是“唯一性条件”。唯一性条件引起了结构（或系统）与它们或真或假的句子之间的语义关系。换句话说，唯一性条件依赖于公理化的底层逻辑。雷斯尼克和我在这个问题上有分歧。他喜欢相对较弱的逻辑，有时称为“一阶逻辑”。这可推出（由像洛文海姆司寇伦定理这样的结果），没有对一个无穷系统为真的理论能刻画一个唯一的结构。在某些情况下，不存在两个隐定义是否刻画了同一结构这样的事实。我喜欢更强的逻辑“二阶逻辑”（见Shapiro1991），并认为存在对丰富数学结构的唯一刻画（Shapiro 1997：第4章，第8—9节）。雷斯尼克和我在以下这个棘手的问题上更接近一点：在什么时候一个隐定义刻画了至少一个结构——存在条件。其想法是用“可能性”作为先物结构存在的标准。在前面几节中我数次从容贯地讨论模式的一种能力推出一个模式的存在。对隐定义也是如此，所以让我明确表述一致性原则：由于容贯性是一个模态概念，因此一致性原则就把先物结构主义带到更接近模态结构主义的地方，至少在认识论的前沿。再说一次，如果一个模态结构主义者正确地断言系统的一个给定的类型是可能的，先物结构主义者就会得出结论说这个结构存在。对于先物结构主义者，容贯性原则是处理有关数学对象存在的传统问题的一个尝试，一旦我们满意于一个隐定义是容贯的，就不存在有关它是否刻画了一个结构，以及它的词项是否指称任何事物这些进一步的问题。对于一个先物结构主义者，数学对象与结构紧密相连，并且如果一个结构存在，那么它的一个容贯的公理化结构就存在。一个看起来有帮助的推论是，如果一个结构的存在是可能的，那它就确实存在。因此结构理论与巴拉格尔（1998）所谓的“纯正柏拉图主义”结盟了（见第9章，第4节），如果我们把他的“一致性”解读为“融贯性”。我们这里使用的模态不是平凡的，差不多和传统的数学存在性问题一样有问题。 明确表述融贯原则的首次尝试将会追随巴拉格尔并把“融贯”解读为“一致”，然后严格在演绎的意义上来理解一致性，那样论题就会是：如果人们不能从一级公理中导出矛盾的推论，那么这些公理至少描述了一个结构。如我们已经看到的希尔伯特采纳的这个口号的一个版本，“一致性蕴涵存在”。我们前面遇到的一个议题出现在这里。融贯即一致策略结果导致一个循环。一致性通常定义为不存在一个有着矛盾结论的推演。用推演我们意味着什么呢？确实，一个公理化的一致性不能由缺少具体个例的相关推演推出。也就是说，我们不能仅仅因为还没有人写出一个由它出发的矛盾的推演就得出结论说，一个公理化是一致的。所以一致性是某个推演类型的非存在性。这种对融贯条件的表述使用了抽象对象。像前面一样，字母串的结构与自然数的一样。结构主义者不能很好地论证自然数结构存在是因为算术是一致的，如果这种一致性被理解为一个有关自然数结构的事实。或者它能吗？也许这种循环可以忍受，因为我们并不决心要把数学置于一个稳固的、超数学的基础之上。我们能在数学内部找到对结构主义的支持，虽然这种支持有待修正。对一个先物结构主义者来说，一个替代性的选择可能是从模态结构主义的剧本中选出一页，并且用“可能推演个例”来定义一致性，或者人们也许能把一致性看作一个未经解释的初始概念。还不清楚这一向模态的行进会让我们付出什么。我们会有一个关于字母串和结构的“可能存在”的问题。如果这一问题能被解决，那么“一致性蕴涵存在”可能得到来自哥德尔完全性定理的支持，这个定理断言：如果一阶语言中的一个语句集是演绎一致的，那么就存在一个集合论结构满足这个语句集。也就是说，如果一个公理化是一致的，那么被定义的结构至少有一个例示，不过要注意的是完全性定理是数学特别是集合论中的一个结果。一致的公理化的不同模型在集合论的层谱中被找到，这个层谱被先物结构主义者视为一个结构。所以这里存在另一个循环，但也许这个循环还是可忍受的。不过完全性定理只对一阶语言成立。在我喜欢的二阶逻辑中，存在演绎一致的句子但没有模型。所以完全性定理对雷斯尼克的路线比对我的更有帮助。从我的观点看，对“融贯”的相关的形式解释不是“演绎一致性”。对融贯性来说，一个更好的类比是像“可满足性”这样的东西：一个语句集Γ是可满足的，如果存在一个Γ的每一个元素都对其为真的集合论系统。当然，定义融贯性为可满足性将不起作用。这个循环太过显眼，并且，这些结构被假设为先物的。在数理逻辑的框架中，说一个语句集Γ是可满足的，就是说在集合论层谱中存在一个Γ的模型。对结构主义者来说，集合论层谱正是另一个结构。什么使我们认为集合论本身是融贯的？没有办法回避这种局面。我们不能把数学奠基于任何比数学本身更安全的论域或理论之上，但是缠住我们的循环可能不是恶性的，并且或许我们能与之共处。“融贯性”是一个初始的、直观的概念，不还原为任何形式的东西。一致性和可满足性的模型论概念对解释融贯性是有用的，但没有给出对它的一个分析或还原。在作为实践的数学中，集合论（或某种等价的东西）被看作是申述存在问题的最终话题。对一类数学对象是否存在的怀疑，通过证明这类对象能在集合论层谱中被找到或被模拟而得到解决。这样的例子包括对以前成问题的实体的“构造”，像复数的“构造”。这与结构主义非常一致。“模型”一个结构就是找到一个例示它的系统。如果一个结构被一个系统例示，那么确实这个公理化是融贯的，并且这个结构是可能的。对于先物结构主义者来说它存在。集合论是申述的适当法庭，因为它是无所不包的。集合论层谱如此巨大，以至于差不多任何结构都能在那里模拟或例示。集合论学家经常指出，集合论层谱含有尽可能多的同构类型。那正是这个理论的目的所在。不过，我们确实不能通过在集合论层谱中模拟它来为集合论的融贯性作辩护。相反，集合论的融贯性被当代数学中的大多数基础活动所预设，不管是对还是错，数学预设可满足性（在集合论层谱中）对存在性是充分的。这一点的一个例子是一般用集合论层谱作为模型论以及数理逻辑的背景。先物和取消论的结构主义接受这一预设，并像其他每个人一样使用它，且不能更好地（也不能更坏地）为它辩护。
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