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“ 我的女儿最近上初中了，我计划开一个怎样学好初中数学的专栏文章。 一周大约一篇文章，陆续发在公众号。为了能够演示结构化思维的好处， 后面我还会演示几个有些难度的中小学数学题目的四步结构化思考法。” 最后一道题确实有难度，回想一下，自己这些年的经验，我觉得考点在于结构化思维。甚至可以说，数学解题思维就是一种结构化思维。 什么是结构化思维呢？我们先来看一个故事 01 — 结构化思维解题的一个案例 大家先看一个题（摘自《我超喜欢的趣味数学书（五年级）》）：
你看媒婆这段话，看起来是生活中的说服博弈，在我这个数学老师看来，是一道应用数学题 你能根据媒婆的话，知道阿巴贡想要多少彩礼钱吗? 我女儿再看到这道题的时候，一筹莫展。是的，文字多，信息繁杂。 阿巴贡虽然爱钱，但是数学不好，所以他也不知道该怎么算。 其实，只要分几步走，我们会发现这个题目一点也不难： 第一步：提取有用信息，用数学语言写出已知条件。 第二步：明确题目的目标是什么。 第三步，找出从已知条件到 问题答案的行之有效的解题思路。（这一步，最关键，也是最需要不断训练的） 第四步： 实施解题思路，计算，并且验算。 下面我们就针对这个题目，实施一下这个步骤： 第一步：提取有用信息，用数学语言写出已知条件。 媒婆说了四句话，每句话都是一个已知条件： '这个姑娘吃得很节省，这等于一年节省了四分之一彩礼。” 你可以在草稿纸写： 吃省的钱： 彩礼钱 X 1/4 '她穿得也很朴素，一年又节省了三分之一彩礼。” 你可以在草稿纸写： 穿省的钱： 彩礼钱 X 1/3 '她拒绝赌钱，一年至少要省2万法郎的四分之一，也不是小数目!” 你可以在草稿纸写： 不赌博省的钱：20000 X 1/4 =5000 法郎 '节省下来的钱就可当作彩礼钱。” 你可以在草稿纸写： 总共省的钱 = 彩礼钱 第二步，明确题目的目标是什么。 这个题目，就是要知道彩礼钱是多少。说白了，第一步和第二步，就是用数学语言把题目重新表达一下，去掉冗余的信息，抽取有用信息。 接下来的第三步，是关键。 第三步：找出从已知条件 到 问题答案的行之有效的解题思路。 检查你写出来的已知条件，寻找你可以利用的。很快你会发现， 根据已知条件： 总共省的钱 = 彩礼钱 只要知道总共省的钱数，就知道了彩礼钱。那么问题就转化为： 总共省了多少钱？ 这时候你会不禁大喜！ 巧了！ 关于省钱，我们有三个已知条件，可以计算出来总共省了多少钱！ 根据条件1、2、3： 吃省的钱 + 穿省的钱 +不赌博省的钱 =总共省的钱 也就是说： 彩礼钱 X 1/4 + 彩礼钱 X 1/3 +5000 = 总共省的钱 = 彩礼钱 到了这一步，我们就发现，所有的已知条件， 组成了一个关于彩礼钱的等式： 彩礼钱 X 1/4 + 彩礼钱 X 1/3 +5000 = 彩礼钱 实际上，我们已经列出了一个关于彩礼钱的方程。第三步就完成了！ 第四步，就是实施这个解题路径，并检查思路是不是有缺陷。 解：设彩礼钱一共是x元。 于是，根据媒婆说的话，de'dao得到方程 x/4 + x/3+5000=x 只要计算能力过关，很快就可以算出 x=12000，也就是说，彩礼钱是12000法郎。 现在我们来检查一下： 吃省了 12000 X 1/4 =3000 (法郎） 穿省了 12000 X 1/3 =4000 (法郎） 12000-3000-4000=5000（法郎） 和已知条件完美匹配！ 说明没有错。 你看，四个步骤，就形成了结构化解题的闭环。 看起来不难，但为什么很多同学还是卡住了呢？最大原因是，很多同学对结构化思维的应用不熟练，有时中间漏掉一两步，整个解题的结构就乱了。我们再用图来加深理解一下结构化思维。 第一步、第二步：
第三步： 从问题出发：
从已知出发：
你看，两步下来，这个问题的解题思路就明明白白在图上zhan'xian展现出来了！ 这就是结构化思维的妙处！ 02 — 解数学题的流程复杂吗？ 其实只需要四步而已！ 美国数学家波利亚在《怎样解题——数学思维的新方法》中，介绍了这个思维过程。
总结下，这种结构化的解题思维有四步： 第一步： 提取有用信息，用数学语言写出已知条件。 第二步：明确题目的目标是什么。 第三步，找出从已知条件到 问题答案的行之有效的解题思路。（这一步，最关键，也是最需要不断训练的） 第四步： 实施解题思路，计算，并且验算。 画成图：是这样：
接下来我一步一步拆借给你看： 第一步，提取有用信息，用数学语言写出已知条件。 把已知一条一条写下来，尽量把文字信息转化为数学的语言， 字母表示的变量、变量之间的关系、等式、不等式、函数 等等…… 第二步，明确题目的目标是什么。 如果是与实际紧密联系的应用题，那就要明确要求计算的量， 到了初中， 要学会把这个量包含字母变量的代数式 表达出来。 第三步，找出从已知条件 到 问题答案的行之有效的解题思路。 这一步最最关键，也是区分学霸和学渣的分水岭。学霸的感官可能是这样的：
问题就像一个迷宫，虽然一眼看去，入口（已知条件）和出口（成功解决问题）之间盘踞着纷繁的路，其中还隐藏着不少死胡同，但只要不断摸索，遇到死胡同就标记好，回到上一个岔路口继续，总能走出去。 学渣的感官是这样的：
求解这个问题就像理顺一个扯乱的线团，只能看到两个头（已知条件和问题），而任务是要把线团理顺、面对这么一团乱麻，往往感觉无从下手。试着拉一个线头试试吧，不是一不小心拉出一个死结，就是一不小心断了线，真是剪不断，理还乱，搞得人很崩溃。 实际上，学霸眼里这个题目像迷宫，虽然复杂，但总能走通，是因为掌握了一套行之有效的思维方法。如果用一句话总结，那就是， 两头下手， 不断试错不断深入。 接下来， 我把这个步骤拆解给你看： 一句话总结：就是 起点和终点，两头开工的思路： 一、从起点，观察已知条件 思考要点： 已知条件和你学过的一些知识点结合，能不能得到变形后的新已知条件。 这里就体现了对数学结论的活学活用，你要对数学结论非常熟悉，定理中说已知A和B，可以得出结论D。 你的题目中有条件A、B、C ，你要立即想到，那也就是说我可以根据定理得到结论D。 也许这个结论D根本用不上， 可能解题思路是 条件A和条件C得到结论E， 条件B和结论E 相结合，最终成功解题。 这个利用A和B得到D，但解题用不到结论D， 就类似于走迷宫，你遇到一个岔路口，向左走还是向右走呢？ 向左走试试，发现走不通，于是退回来给向左走标记此路不通，然后向右走。 二、从终点，对问题本身进行拆解和分析。 思考要点：我需要知道什么，就可以解决这个问题？ 问自己以下两个问题试试： 首先，观察已知条件，思考： 这些已知条件，能不能帮助简化问题？ 比如前面那个题目中， 根据 “省钱总数=彩礼钱”这个已知条件，我们就把问题转化为“计算省钱总数”。 如果你不能结合已知条件简化问题，那就这样想： 这个题目，如果多一个某某条件，那么这个问题就能够迎刃而解啦！那理所当然的，问题就集中在，我能不能从已知条件中推导出需要的这个某某条件呢？ 通过这样思考，题目的问题就被你推进了一步，得到了一个变形后的新问题 —— 找到、创造出 某某条件。 简单的题目，像上面这样两头思考一个回合，你就发现，简化后的问题，和变形后的已知条件，完美对接。 换句话说， 你就找到了一个解题的路径（下图中红色的线）：
就像前面的例题中， 结合已知条件我们把计算彩礼钱转化为计算总省钱数目， 然后再看看已知条件，发现总省钱数目的条件是充足的，而且都和彩礼钱相关，是可列式的。 这样， 已知条件经过一步转化， 问题经过一步转化，完美对接， 形成了一个解题思路。 当然了，压轴的复杂的问题，可能需要上面两头思考好几个回合，才能将已知条件和问题对接上：
需要注意的是， 1、可能在分析过程中，你会写出来一些多余的结论， 比如，你从已知结果推出来5个结论，但解题其实只需要其中2个。 那么3个对于解决这个题目，就是冗余的。这3个就类似于走迷宫时误入一个死胡同，所走过的路。 有时候必不可少。 2、 你的前三步都是在草稿纸上进行的！ 梳理清楚，就需要： 第四步，实施你的解题思路，并检查答案。 接下来的第四步，就直接在作业、试卷上展开了： 这一步的关键， 是把草稿纸上 前三步的分析，梳理出一个完整的逻辑链条，比如： 从已知A B 得到 结论C 根据C 和已知 D ，得到结论D， …… 这样一环扣这一环的因果联系，最终得到问题的答案。 03 — 数学大题到底考的是什么？ 所以，数学大题到底考的是什么？ 不是把几个公式堆叠起来这么简单，而是考验走出迷宫的所需的知识、技巧、耐心，是探索不断变形的已知条件、不断简化的新问题，并能快速建立对接的综合结构化思维。 如果你是数学大题的常胜将军，恭喜你，数学的魅力之门已向你敞开。 |
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