【原】AI大模型告诉我们平时做这类有理函数反常积分是怎么出错的

以下过程是应用文心一言“文心大模型4.0”计算得到的过程，题目是：

题目：求广义积分.

虽然最终没有得到正确的结果，可能最后模型发现自己做不下去了，显示一个“正确的”三个字后，没有标点符号就停止了！前面一共计算过三次，结果都是错误的，只是这个过程相对来说更长，出现的方法更多，错得更离谱一点，所以截图留存一下供大家参考！这个过程考虑的思路、方法比较多，其实也符合积分计算的一般探索思路，同时也部分分析了不能使用的原因，个人认为可能也是咱们在日常练习中可能经常出现的问题，所以它给出的过程虽然最终没有得到正确结果，但是对于咱们解题还是具有一定的参考意义的！不过，经过四次计算以后，最终终于还是得到了正确的结果，下面给出最后一次尝试给出正确结果的思路与过程，以下过程同样是由文心大模型4.0给出.

题目：求广义积分.

解： 为了求解广义积分，我们可以采用部分分式分解的方法来处理被积函数。不过，在此问题中，更直接的方法是使用变量替换和已知的积分结果。

首先，我们注意到被积函数可以重写为：

当时，，因此上述表达式在时趋近于。不过，这样的近似并不足以直接得出积分的收敛性，因为我们需要更精确的分析。

实际上，我们可以将被积函数拆分为两部分来处理：

但这样的拆分并没有简化问题，因为第二项在时并不趋于0。

正确的做法是直接对被积函数进行积分。为此，我们可以将被积函数重写为：

然后分别对两部分进行积分：

第一部分积分得到，第二部分积分可以通过换元法得到。因此：

其中是积分常数。

现在我们可以计算广义积分：

由于（通过洛必达法则可得），我们知道上述极限是有限的，并且等于（注意这里的分析是不严谨的，实际上应该通过更严格的方式来证明这个极限的值）。因此：

然而，上述解答过程中存在错误。正确的做法是直接对被积函数进行积分而不进行拆分。我们可以这样做：

但在计算广义积分时，我们不能简单地将替换为并计算极限，因为这样的做法没有考虑到积分的收敛性。实际上，我们应该这样处理：

第一个积分是发散的，因为它等于

第二个积分也是发散的，因为它等于

但这两个发散的积分相减得到的结果是有限的，这是因为它们的发散速率相同。实际上，我们可以更精确地计算这个差值：

由于是发散的，我们不能直接计算这个表达式。但我们可以注意到，当时，，这意味着和的发散速率相同。因此，它们的差是有限的，并且等于。所以：

这也可以认为大模型的思考过程和咱们思考过程一样，最终正确的过程与结果是在不断尝试的过程中得到的，不过它一般不能确定哪个结果正确，那个结果错误，最终还需要咱们去参与进行判定。有时候及时最终结果是正确，可能中间过程也是不严谨的，就和有些学友做题一样！

以下解答过程为GPT4.0得到的结果过程：

对于积分表达式，我们需要进行适当的部分分式分解来简化这个积分。

首先，观察分母 可以看出它由两个不同因子组成，分别是 和 。我们可以尝试对这个分式进行部分分解：

对上面的等式两边同时乘以得到：

为了确定系数 A，B)和 C，我们将对 x的不同值求解。为了简化这个步骤，我们可以首先设置 x=0来解析系数 (A)：

所以，。

现在我们知道 A的值，我们可以继续寻找 B和 C。但是，在这情况下，因为原始的分式中的分子是常数 2且分母是二次多项式和一次多项式的乘积，我们可以预见 B会是 0（因为分式中没有 x 项），而 C就是剩下来的常数项。于是，我们只需要解析 C：

比较 (x) 的系数，得到：. 所以，C=0。

最后，我们得到了部分分式分解：

现在我们可以分别对每个单独的部分积分：

因为，得：

因为和都是常数，我们得到：

由于，我们有：

当趋于无穷大时，趋于。因此，

所以，积分的结果是。

显然GPT4.0得到的结果比文心模型5.0要简洁，并且一次就得到了正确的结果. 

经过几次计算也可以看到，对于一般计算过程比较直接的问题，一般大模型可以得到相对合适的过程，并能给出比较好的详细的分析求解过程. 比如下面的两个题目的求解：

题目：记为不超过 的最大整敢 例如 , 求积分

题目：求二阶线性常系数微分方程 的通解.

但是对于一些需要变形、改写才能得到结果的问题，一般计算过程与结果不那么理想！

你在学习和做题过程中是否测试过大模型呢，你对利用它们来求解数学问题有什么看法呢，欢迎文后留言分享.