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郑毓信，南京大学哲学系教授、博士生导师。现为中国自然辩证法研究会数学哲学专业委员会委员，国际数学教育大会（ICME-10）程序委员会委员，美国《数学评论》杂志评论员，江苏省社会科学研究人员高级职务任职资格评审委员会成员，人民教育出版社21世纪义务教育小学数学新教材顾问，已被列入英国剑桥世界传记中心(IBC)编撰的《世界知识分子名人录》。  引言 应当如何理解数学教育的基本目标，包括课改以来在这方面所提出的各个新的理论主张？对此，相信不少读者会提及这样一个概括：“双基”是数学教育目标的1.0版，“三维目标”是2.0版，现今提倡的“（数学）核心素养”则是3.0版。那么，我们应如何去理解这里所说的“数学核心素养”呢？这就直接涉及以下的论述：“通过基础教育阶段的数学教育，不管接受教育的人将来所从事的工作是否与数学无关，终极培养目标都可以描述为：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。” 但在笔者看来，我们应该更深入地去思考这样一个问题：我们是否真的应当要求每个学生都能做到所说的“三会”，而不管他们将来所从事的工作是否与数学有关？ 为了回答这一问题，还可举出这样一个例子，这个例子在一定程度上为我们提供了一个具体的画面，即如果人人都按所说的“三会”去思考和行事，我们所面临的将是一个怎样的世界？ 【例1】从《红楼梦》看教育（《小学数学教师》，2019年第2期）。 这一文章的主要观点是：“《红楼梦》中有两个重要的主角，林黛玉和薛宝钗，她们的性格分别代表着数学中两种不同的问题解决策略——'从条件想起’和'从问题想起’。”具体地说，“林妹妹也许并不懂得数学中那些解决问题的策略，但其实她的性格特征倾向就是习惯'从条件想起’…… 宝姐姐或许也不懂得数学中那些解决问题的策略，但其实她的性格特征倾向就是善于'从问题想起’。”“'从条件想起’的人行为动机是出于内心真实的感受，而'从问题想起’的人的行为动机是出于某种想要达到的目的……'从条件想起’和'从问题想起’出发点不一样，它们所经历的过程以及对新问题的生成影响也都是不一样的。'从条件想起’就像林黛玉堆起的落花冢，无用，但能触及更多人的心灵；'从问题想起’就像薛宝钗服用的冷香丸，实用，但只为解决她一个人的病症。” 这是否可以被看成数学的一个具体应用，特别是较好地做到了“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”？进而，如此观察、思考和表达世界究竟是优点，还是把一件本来不很复杂的事情搞复杂了？ 在笔者看来，这一做法将一个丰富多彩的真实世界硬性嵌入到冰冷的数学樊笼之中，或者说，用一个缺少人味的量的世界代替了“我们的质的和感知的世界，我们在里面生活着、爱着、死着的世界”（柯伊莱语）。 当然，一个实例就是一个实例，似乎不应借此“大做文章”！但即使从纯理论的角度进行分析，“三会”这一提法应当说也有不少问题。例如，我们显然不应将“数学的目光”“数学的思维”与“数学的语言”这三者绝对地分割开来，更重要的是，我们显然也不应将数学思维置于至高无上的地位，乃至要求“人人都应学会数学地思维”。我们应看到，数学思维只是各种思维形式中的一种，还有文学思维、艺术思维、哲学思维、科学思维等，这些思维形式都有一定的合理性和局限性（作为这方面的一个最新发展，我们还可特别提及所谓的“编程思维”或“计算思维”。建议读者有机会也不妨对此做些了解和分析，特别是大致地清晰“计算思维”与“数学思维”有什么联系与不同）。也正因此，仅 仅从某一学科的视角去分析思考就必然会导致片面性的认识，无论我们在此强调的究竟是“帮助学生学会数学地思维”，还是“人人都应做到'三会’”。这事实上都应被看成一种狭义的“学科性思维”。 那么，我们究竟应当如何认识数学教育的基本目标呢？特别是，“努力提升学生核心素养”这一思想在这方面给我们的主要启示又是什么？笔者的看法是：数学教育不应停留于帮助学生较好地掌握各种具体的数学知识和技能，而应更加注重促进学生思维的发展，我们还应由帮助学生“学会数学地思维”转向“通过数学学会思维”，即应当帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，包括由理性思维逐步走向理性精神。 上述主张集中地反映了这样一个认识：作为“思维的科学”，数学应对促进学生思维的发展发挥特别重要的作用；另外，相对于所谓的“三维目标”而言，促进学生思维的发展应当被看成具有特别的重要性，特别是，尽管数学知识与技能的学习可以被看成为学生的思维发展提供了必要的途径和载体，但是我们更应努力做到以思想方法的分析带动具体知识的学习，从而真正做到“教活、教懂、教深”；“情感态度价值观的培养”当然也应被看成数学教育的一个重要目标，但这主要是一个潜移默化的过程，即由理性思维逐步过渡到理性精神。 最后，笔者特别转引宗璞先生在《野葫芦引》一书中借助一位数学教授和一位历史学教授之口所给出的这样一段论述：“别的什么家多多益善，数学家和哲学家则是越少越好”“因为这两样东西能让人越学越糊涂，若能越学越明白就是万幸”。（上面引用的文字同时提到了数学与哲学这两门学科应该说并不意外，因为国人对于哲学的理解确有很大的片面性；另外，在笔者看来，这正是我们在这两个方面应该注意的一个问题：“气性不平和，则文章事功，俱无足取；语言多娇饰，则人品心术，尽属可疑”）与片面强调“人人都应学会'三会’或数学地思维”相比较，这表明了对于相关学科，特别是其教育功能更深刻的认识，乃至自觉的反思。  在第一讲中，我们既提到了数学教学应当努力促进学生思维的发展，又认为片面强调“人人都应学会数学地思维”体现了狭窄的“学科性思维”。这两者是否有一定的矛盾？恰恰相反。笔者以为，这十分清楚地表明了由“帮助学生学会数学地思维”转向“通过数学学会思维”的重要性，后者可被看成这里所提倡的“数学深度教学”的一个重要内涵，即我们应当由突出强调具体的数学方法和策略，转变为注重一般性思维策略与思维品质的提升。 还应强调的是，上述主张反映了这样一种思考：数学教育应为大多数将来未必会从事与数学有关行业的学生作出实质性的贡献。基于对波利亚相关思想的分析，我们可以更好地认识到这一点。 具体地说，作为“问题解决”现代研究的直接奠基者，波利亚之所以特别重视“问题解决”与“数学启发法”，主要是认为它们具有超出数学的普遍意义：“解题是人类的本性。我们可以把人类定义为'解题的动物’；他的生活充满了不可立即实现的目标。我们大部分的有意识思维是与解题相关的；当我们并未沉溺于娱乐或白日做梦时，我们的思想有着明确的目标。”数学启发法的用途“不限于任何题目。我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的……”［1］ 然而，尽管波利亚的上述工作具有十分广泛和深远的影响，在波利亚以后的相关理论研究中也有不少新的重要成果，但从数学教学的角度看，相关努力似乎又都未能取得预期的效果。例如，20世纪80年代在世界范围内盛行的“问题解决”运动，就曾希望通过启发式的教学有效提升学生解决问题的能力，但最终却不得不面对这样的事实：尽管学生已经具备了必要的数学知识，似乎也已较好地掌握了相应的解题策略，却仍然不能有效地解决问题。 上述情况当然引起了人们的深入思考。以下就是一个普遍性的认识：“以问题解决作为学校数学教育的中心”有一定优势，但也有很大的局限性。首先，“问题解决”并不能被看成数学活动（包括数学学习活动）的唯一形式；再者，除去“问题提出”这样一个环节，我们应特别重视这一问题：“获得解答，继续前进”。 上述认识主要围绕数学活动进行分析，而如果着眼于大多数学生，我们显然又应超出数 学，从更一般的角度进行思考。这也正是波利亚曾明确提及的一个观点：“解数学题的能力，当然依赖于某些有关的数学的专题知识，除此而外，它还有赖于某种有益的思维习惯，某种一般性的我们在日常生活中称之为'常识’的东西。一位教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，则他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识。对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一位数学教师假如在这方面取得了成绩，那么他就真正为他的学生（无论他们以后是做什么工作的）做了好事。能为那70%在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情。”［2］ 这正是以大多数学生,特别是以将来未必会从事数学相关行业的学生为对象进行考察的结果，更集中地反映了“努力提升学生的核心素养”这一思想对于数学教育的主要启示，即我们必须超出数学,从更广泛的角度进行分析思考。这不只是指我们必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，也是指我们还应由具体的数学方法和策略过渡到一般性思维策略的学习与思维品质的提升。 还应强调的是，我们在此所提倡的并非“常识”的简单回归，而是“常识”在更高层面，即“专业化”基础上的重建。例如，数学教学中所提及的“几何直观”显然不应被等同于“感性直观”的简单回归，而是指我们应当帮助学生学会用几何图形表现内在的思维活动，从而实现思维的“可视化”，并由此发展自身的“形象思维”与“数学直觉”。 在此，又直接涉及这样一个问题：就大多数将来未必会从事数学相关行业的学生来说， 这么多年的数学学习是否真的没有任何效果或影响？从文化的角度看，答案并非如此！所谓“文化”，在此主要是指由某种因素（职业、居住地域、民族等）联系起来的一个群体特有的生活方式和工作方式，包括思维方法和价值观念等。它具有两个重要的特征。（1）体现于人们生活或工作的方方面面，即相关成员的举手投足之中，十分自然、自在，而非刻意做作，可被看成主体内在的价值观念、生活态度与思维方式的具体体现。（2）文化的养成主要是一个潜移默化的过程：作为共同体的一员，人们正是通过在相应群体中的生活与工作不知不觉地养成了相应的生活方式、思维方法和价值观念等；正因此，人们对此往往不具有清醒的自我意识，更缺乏自觉的反思。 进而，“数学文化”就是指人们通过实际参与各种数学活动（包括数学学习）所形成的一些特殊的行为方式、思维方法与价值观念等，它们都不是刻意做作的结果，而是体现于生活或工作的方方面面、举手投足之中。 由以下的对照比较可以看出，长期的数学学习确实会对人产生一定的影响，尽管其直接涉及的只是数学教师与语文教师。 那么，究竟什么是笔者在此所倡导的主要观点呢？概括地说，“深度教学”所希望的就是由上述的不自觉状态（“潜移默化”）转向更自觉的状态，特别是，我们能通过数学教育目标的适当调整和落实，为大多数学生在离开学校以后留下更多、更有价值的东西。 最后，应当指出的是，为了实现上述目标，我们不应仅仅围绕数学本身去分析思考，而应当进一步研究未来社会对于合格公民究竟有怎样的不同要求（对此我们将在第三讲中做出具体的分析论述）。在这一基本立场下，我们对“数学深度教学”的具体涵义做出如下概括：数学教学必须超越具体知识和技能，深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升；我们还应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习转向更自觉的学习，包括善于通过同学间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人。 参考文献 ［1］G.波利亚.怎样解题［M］.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982. ［2］G.波利亚.数学的发现（第二卷）［M］.刘景麟，等译.呼和浩特:内蒙古人民出版社，1981. “数学深度教学”十讲之三 ——什么样的数学教学要不得明明是在讨论“深度教学”，怎么又转向“什么样的数学教学要不得”这样一个论题？因为就当前而言，大多数“要不得的数学教学”都属于“浅度教学”的范围，与“深度教学”构成了直接的对立，所以这一讲有益于我们更好地认识“数学深度教学”，包括我们当前究竟为什么要做出这样的提倡。 为此，先来看这个问题：什么是数学教学最基本的要求？ 目前，人们在这方面最普遍的一项共识是：数学教学应是理解教学，而不应是一种机械的行为，也即让学生通过机械记忆与简单模仿来学习数学。这也可以看成“数学教育教学传统”的一个核心内容。 在美国的小学数学教学中，通过机械记忆与简单模仿来学习数学十分常见，于是就常常 被戏称为“美国式数学教学”。例如，在教学“颠倒相乘”这一分数除法的法则时，就有美国数学教师对学生说：“你不用去理解，也不可能理解，只要照着去做就行了。我的老师当年也是这样教我的！” 在中国，总体而言我们在这方面做得较好，但情况似乎也正在发生变化，其中重要的原因之一是校外补习的盛行。因为，校外补习的一个普遍特点就是只讲结论与算法而不讲道理。也正因此，有很多接受了此类补习的学生看上去懂了，也能正确解答相应的“常规性问题”，但很难被看成已经实现了真正的理解。 以下就是这样的一个例子。    一些做法在形式上似乎有所不同，但事实上也都应被看成“要不得的数学教学”，如将数学等同于各个孤立知识的简单汇集，而没有认识到应将它们联系起来加以考察。按照现代认知心理学，“理解”无非就是指新学习的知识与主体已有的知识与经验之间建立了直接的联系（包括“同化”与“顺应”）；其程度也完全取决于“联系”的数目和强度：“如果潜在地相关的各个概念的心理表征中只有一部分建立起了联系，或所说的联系十分脆弱，这时的理解就是很有限的……随着网络的增长或联系由于强化的经验或网络的精致化得到了加强，这时理解就增强了。”（希尔伯特语） 再者，以下的几何教学也应被看成完全“要不得的”，即始终停留于所谓的“直观几何”，也即对概念和图形的直观感知，却没有认识到我们必须超越直观从而更深入地研究各个图形的特征性质及其内在联系。按照范·希尔夫妇关于几何思维发展水平的分析，“直观”是最低的一个层次（其他几个层次分别是：水平2，描述/分析；水平3，抽象/关联；水平4，形式推理；水平5，严密性/元数学），从而也就清楚地表明了超越这一水平的重要性。 综上可见，“数学深度教学”最基本的一个意义是指，数学教学一定要讲道理，让学生真正做到理解，并能很好地实现对于日常经验与直观感知的必要超越。 正因为上述认识主要代表了数学教育教学的固有传统，所以我们必须针对不同情况对此做出进一步的研究。在此特别强调这样几点。 第一，围绕教学方法的改革中，一度出现的“形式主义”应被看成一种“浅度教学”。 例如，如果教师关于“搭配问题”“握手问题”“植树问题”的教学始终停留于相应的现实情境，这时学生获得的就不是真正的数学知识，而只是一种表面的理解。 又如，“为合作而合作”“为讨论而讨论”显然也可被看成这样的实例，即课堂上十分热闹，但对大多数学生而言，很难在数学上有真正的收获。 第二，从“努力提升学生的核心素养”这一立场进行分析，仅仅注意了学生的动手，却忽视了应通过动手促进学生积极地动脑，也应被看成“浅度教学”在数学领域内的又一表现。 这里所说的“动手”，不仅指具体的实物操作，还包括各种数学运作（如数学计算）。例如，在实际从事计算前，学生并没有认真去思考为什么要进行相关的计算，导致尽管相关计算取得了某些结果，但对解决面临的问题没有任何作用，出现“盲目干”的现象。 总之，这是数学教学应当切实纠正的现象：我们的学生一直在做，一直在算，一直在动 手，但就是不想！ 第三，如果缺乏清醒的认识，那么即使是“问题解决”的具体实践，也可能出现同样的问题。 在解题活动与内在思维之间存在十分重要的联系，如我们应当使用怎样的解题方法，又应如何对得出的结论作出论证，以及结论与方法的适当推广与必要优化等。只有围绕这些问题进行深入思考，相应的解题行为才能被看成真正的数学活动，即由单纯的“问题解决”过渡到“数学地思维”，包括由此提升学生的思维品质。 我们也可从同一角度对其他一些做法作出具体分析，如通过组织学生参与各种他们感兴趣的游戏来学习数学。这也就是指，无论教学中采取了怎样的活动形式，我们都不应忘记通过活动促进学生积极地“动脑”，更不应认为学生只需参与各种“数学活动”就可学会数学，或是认为学生的数学发展可归结为“基本活动经验”的简单积累。这些都应被看成“浅度教学”的具体表现，应通过提倡“深度教学”切实地予以纠正。 最后，社会发展，特别是科学技术的飞速进步对数学教育提出了更高的要求，直接赋予了“数学深度教学”另外一些含义。例如，“深度教学”这一概念本身就源自现代的人工智能研究。由美国普利策奖三度得主弗里德曼在《谢谢你迟到——以慢制胜，破题未来格局》一书中提到的以下一些观点，我们可以更清楚地认识到这一点： 首先，我们必须树立终身学习的思想，并切实提高自身在这一方面的能力：“你必须知道更多，你必须更加频繁地更新知识，你必须运用知识做更多创造性的工作，而不仅仅是完成常规工作。”其次，我们应特别重视长时间思考与反思：“世界变化得越快……对我们生活方方面面改变得越多，每个人就越需要放慢速度……当你按下一台机器的暂停键时，它就停止运转了。但是，当一个人给自己暂停一下的时候，他就重新开始了。你开始反思，你开始重新思考你的假设前提，你开始以一种新的角度重新设想什么是可能做到的，而且，最重要的是，你内心开始与你内心深处最坚定的信仰重新建立联系……”再者，我们应清楚地认识学会合作的重要性：“到了21世纪，我们大部分人将与他人一同协作，相互提供服务……我们必须意识到，工作的固有尊严来自人与人的关系，而非人与物的关系。我们必须意识到，好的工作就是与他人沟通交流，理解他们的期许与需求……” 综上可见，“深度教学”不只是数学教育的内在要求，也是对“浅度教学”的必要纠正，更是社会进步对于数学教育的更高诉求。对此，我们将在后面结合教学实践做出进一步的论述。 “数学深度教学”十讲之四 — —内容的“方法论重建”与教学中的“问题引领”“数学深度教学”不仅应当帮助学生很好地掌握各种具体的数学知识与技能，还应由数学知识和技能的学习深入到思维的层面，即应当帮助他们通过数学学会思维。以下就是这方面工作特别重要的两个环节：（1）教学内容的“方法论重建”；（2）“问题引领”。 1. 强调思维的发展不应被理解成用思维教学完全取代数学知识与技能的教学，而是应当用思维分析带动具体知识和技能的教学，从而真正做到“教懂、教活、教深”，即能够通过自己的教学向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；能帮助学生真正理解相关的内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；不仅使学生掌握具体的数学知识，也能领会内在的思想方法。 具体地说，数学教学不应被等同于魔术表演。例如，尽管我们可以借助某种游戏（如从1开始两人依次报1～3个相继的自然数，报31者为输）激发学生的学习兴趣，但最终应清楚地揭示背后的道理；更重要的是，我们应通过教学使学生获得这样的感受：这并非是只有少数天才才能做出的发明创造，而是“可以理解的、可以学到手的和可以推广应用的”。 当然，这不是指我们在课堂上应当原封不动地去介绍相应的历史（在很多情况下这也是不可能的），而是应当通过自己的创造性劳动实现“数学史的方法论重建”，真正“化神奇为平凡”。 例如，关于少年高斯如何很快地计算出“1+2+3+……+100=5050”，波利亚是如何构思出“每只鸡都用一只脚站在地上，兔子则举起了前腿”这样一个“奇思妙想”，从而顺利地解决了“鸡兔问题”的方法论解读，就可以看成这方面的典型实例。（详见另著《数学方法论入门》，浙江教育出版社，2006年，第七章）有兴趣的读者还可尝试着去解决这样一个问题（这是一位数学院士在报告中提到的），即通过“方法论重建”说明人们是如何做出“三角形的内角和是180度”这一发现的。当然，针对“勾股定理”我们也可提出同样的问题。 由于“数学方法论指导下的数学教学”在我国已提倡多年，更有不少的研究成果与教学经验（特别是在中学层面），在此不予赘述。（感兴趣的读者可参见另著《数学方法论》，广西教育出版社，2008年；或《数学方法论的理论与实践》，广西教育出版社，2009年） 2. 显然，“内容的方法论重建”进一步凸显了教师在教学活动中的主导作用。正因如此，我们应当特别重视这样一个问题，即如何才能同时保证学生在学习活动中的主体地位。这也正是数学教学为什么应当突出“问题引领”的主要原因。 从上述角度进行分析，我们就可以很好地理解用“真问题”引领教学的重要性，即应十分重视问题的“自然性”。当然，这也是“深度教学”的一个必然要求：我们不仅应当围绕“真问题”去进行教学，也应通过适当的追问、反问等引导学生更深入地进行思考。 就如何激发学生的学习兴趣而言，上述设计显然十分成功。但笔者仍想提出这样一个问题：尽管“假分数假在哪里”确可被看成学生的真问题，但是除去帮助学生学会按照分子分母的大小比较对分数的“真假”做出判断，我们应如何促进学生认识的深化？ 事实上，在弄清了“假分数究竟假在哪里”以后，我想不少学生都会有这样的疑问：既然分子大于或等于分母的分数都不能被看成真正的分数，为什么不把它们直接清除出去？！ 在笔者看来，这也正是曹培英老师在相关评论中何以会写下以下的话，乃至直接引用张奠宙先生的“假警察一定不是警察，假人民币一定不是人民币”这一论述的主要原因：“确实，假分数'假在哪里’？教材、教参都没作解释……因此，也难怪绝大多数教师回避分数'真假’的讨论。然而，我们又不得不承认，这一令教师为难，却又萦绕学生心头不能放下的问题，连同与之相关的'假分数有什么用’，都是数学教学应该直面以对的问题。”［2］ 当然，要用一堂课解决所有这些问题、特别是后一问题，时间肯定不够用。但在笔者看来，我们仍应对此予以足够的重视，特别是，我们不仅应当认真地去思考什么是学生的“真问题”，更应突出能够促进学生认识深化的“深问题”！ 假分数之所以被认为“假”，这是针对分数原先的定义而言的；然而，由于假分数具有重要的作用，从而在此所需要的就不是将其从分数中清除出去，而是应对分数的意义（和范围）做出必要的扩展（由“分”和“部分与整体的关系”过渡到分数“比的定义”）。这也正是这里所说的“认识深化”的主要含义。 由于笔者在先前已多次撰文对数学教师如何做好“问题引领”进行了分析论述，以下就仅围绕“深度教学”指明这方面工作的若干要点。 第一，“核心问题”的准确提炼和“再加工”。首先，如果我们对核心问题的提炼不够准确，即集中到某些枝节问题或次要环节，真正的重点与关键就不可能得到凸显，相关的教学也就必定是一种“浅度教学”；其次，在确定了“核心问题”后，我们应由单纯的“教什么”转向“怎么教”，即应当进一步去思考如何能够通过“核心问题”的再加工更好地激发学生的好奇心和探究欲望，这正是数学学习的根本动力。 更一般地说，教学中我们应很好地处理“预设”与“生成”之间的关系，包括提出这样一个更高的要求：不应满足于由教师提出问题，也应努力提升学生在这一方面的自觉性，并逐步养成“提出问题”的习惯与能力（对此，笔者将在第十讲中做出进一步的分析论述）。 第二，“问题引领”不仅应当体现于课堂教学的开始部分，也应落实于其他各个环节，不同环节应有不同的重点。 具体地说，就课程的开始部分而言，我们应聚焦于“核心问题”的提炼与再加工；在课程的中间环节，除去“核心问题”的明朗化与“再聚焦”，我们应特别重视如何能够通过追问、反问与提出新的问题促进学生更深入地进行思考，包括引导学生从“元认知”的角度做出新的分析和思考，等等；最后，通过适当的问题引导学生在课后继续进行思考，从而很好体现教学的“开放性”。除此以外，我们也应高度重视引导学生对已有的工作做出总结与反思。（这方面的一些实例可见另文《以“深度教学”落实数学核心素养》，《小学数学教师》，2017年第9期） 第三，以下两个方法对于我们做好“问题引领”有重要的指导意义，即所谓的“大问题教学”（黄爱华）与“让思维在'问题链’中'浅入深出’”（吴正宪）。 更一般地说，尽管我们可以就如何做好“问题引领”总结出一些普遍性的经验或建议，但我们应更加重视针对具体的教学内容、对象与环境，创造性地加以应用。例如，数学教学应当同时做好“整体设计的开放性”与“细节处理的精致化”（张齐华语）。 第四，这是教学工作的一个更高境界：这时不仅原先设计的问题已经成了学生自己的问题，学生的关注也不再局限于原先的问题，他们所追求的更已超出了单纯意义上的“问题解答”（兰珀特语）。 显然，这时的学生也已真正成为学习的主人。 参考文献 ［1］罗鸣亮.源于学生“真问题”的深度学习——“真分数和假分数”教学思考与实践［J］.小学数学教师，2019（2）. ［2］曹培英“. 假分数”的认知及其教学研究——兼评罗鸣亮老师“真分数和假分数”教学［J］.小学数学教师，2019（2） “数学深度教学”十讲之五 ——思维的深刻性与“联系的观点”以下转向“深度教学”的第二个含义：我们应由具体的数学方法和策略过渡到一般性思维策略与思维品质的提升。由于这是一个较新的论题，我们将对此作出较详尽的论述，包括给出若干具体教学建议，以及一些相关的关键词。 从“深度教学”的角度看，我们应当通过数学教学努力提升学生思维的深刻性，即帮助他们逐步学会更深入地思考。这是特别重要的一点。 上述要求直接涉及“高度的抽象性”这一数学的本质特点：通过由特殊上升到一般，我们可以更深刻地揭示事物和现象的内在规律与本质；又由于将事物与现象联系起来加以考察是实现抽象的基本途径，因此只有从更广泛的角度，即用联系的观点进行分析思考，我们才能达到更深的认识程度，如此才能更好地发现不同对象之间的联系。 事实上，这正是国际数学教育界何以对“联系的观点”予以普遍关注的主要原因。例如，全美数学教师理事会（NCTM）2000年颁布的《学校数学的原则和标准》，以及国际教育署与国际教育学会2009 年推出的指导性手册《有效的数学教学》，都将“联系”列为数学教育最重要的“标准”之一。与此相对照，以下的论述十分清楚地表明了“联系”作为一种普遍性思维策略的重要性：“找出各种事物之间的联系是教育家们竭尽全力思考的问题……当学生能够用相互联系的观点看待各种事物的时候，他们的学习生涯就开始了。我建议把发现事物之间的联系当作基础学校课程的首要目标。”（多琳语） 由以下实例，我们可以清楚地看出“联系的观点”对于数学教学的重要性。 【例5】“认识三角形”的教学 局限于这一内容的教学正是以下思考的明显特点：“这节课有三个知识目标：知道三角形的样子；了解三角形的组成；理解三角形三边关系。三角形的样子，学生基本都已知晓……三角形的顶点、边、角，部分学生可能没有系统了解过，但并非难点……三角形三边关系，既是本课的重点、也是本课难点。”又，“三角形三边关系可以分成三种情况进行研究。其中，'两小棒长度和大于第三根小棒能围成三角形’和'两小棒长度和小于第三根小棒不能围成三角形’这两个结论显而易见。而'两小棒长度和等于第三根小棒’这种情况，学生在操作后常常会认为能围成三角形……关于怎样突破这一教学难点，教师们想了很多方法……” 笔者以为，我们在此应当更深入地思考以下两个问题： （1）“动手操作”是否为学生学习“三角形三边关系”的唯一途径？ （2）这一知识与学生已学过的其他知识之间是否存在一定的联系？ 以下是关于同一内容的另一不同设计（范午英，“跳跃的数学联系——有关'平面图形’的两个教学片断”，《小学教学》，2013年第12期），而其主要特征就是采取了“联系的观点”——  就“联系的观点”在数学教学中的应用而言，我们可区分出三个不同的层次（: 1）“比较”的应用；（2）“全局观念”的指导；（3）建立“结构性认识”。 第一，数学中所说的“比较”，既指找出对象的共同点，也指集中于对象的不同之处，或是同时关注它们的“同与不同”。对此，我们可联系数学中的抽象、分类与类比联想做出具体分析，包括总结出相应的方法论原则，如“举三反一”“举一反三”“求同存异”等。 第二，所谓“全局观念”的指导，是指跳出细节从整体上进行分析思考，并用整体性认识指导各个具体内容的教学。以下就是这方面工作的两个关键：（1）抓好“种子课”，突出基本问题；（2）注重认识的发展，“用发展代替重复”。（俞正强语） 例如，尽管“度量问题”包含众多内容，但它们有这样一个共同的核心：所有这些内容都是围绕“度”和“量”这两个关键词展开的。这就为我们具体确定所说的“种子课”，以及如何从事相关教学提供了直接基础。 俞正强老师认为：“以计量单位为例，在小学数学中，主要的计量单位一共有八类。这八类中，长度单位是小学生最早接触的，也是最基本的。因此，长度单位的学习在小学数学中应该具有种子特质。而在这个系列中，第一节课'厘米的认识’无疑是最重要的，也就是本文意义的种子课。”（俞正强，《种子课——一个数学特级教师的思与行》，教育科学出版社，2013） 以下则是“用发展代替重复”的关键所在：即使具有相同的基本问题，在不同情况下也会有不同的含义或重点。正因为此，我们在教学中不仅应当帮助学生很好地认识新的内容与已学过内容之间的共同点，也应注意分析新的内容有什么不同的特点，特别是，就新情况而言，什么样的度量单位是适当的，合适的度量方法与工具又是什么？ 例如，如果说“厘米的认识”的教学应当突出“度量单位的标准化”这样一个思想，那么“分米”、“米”与“毫米”等多个长度单位的引入就清楚地表明了度量单位的相对性，即我们应当针对不同的情境与需要选择适当的度量单位。 由以下实例可以看出，是否具有全局观念对教师而言也特别重要。 【例6】你是否也有类似的焦虑 这是一位教师在笔者演讲时提出的一个问题：“你讲的都对，但现实中有这么多任务需要完成，我们根本就没有时间按你说的去做，特别是让学生有更多时间进行思考。” 对于这位教师所提的问题，当然可以从多个不同角度进行分析。但笔者在此所关注的主要是这样一个“潜台词”：“万一教学中漏掉了什么，考试考砸了可怎么得了？” 进而笔者以为，上述的“焦虑”只是表明了提问者“缺乏底气”；而要解决这一问题，教师就必须超越各个具体内容从更高层面进行分析思考，真正弄清什么是其中的重点和难点，什么又是无关重要的枝节小事，从而在教学中能有所舍弃，即使一次、一时考砸了也不至于惊慌失措。 第三，这里所说的“结构性认识”可以被看成“整体性认识”的进一步提升，即我们如何通过总结、反思与“再认识”，使学生能够按照逻辑的顺序（由简单到复杂、由低维到高维）更好地把握各个相关的内容，特别是它们的内在联系，包括重点与关键等。例如，小学几何教学的一条主线即是研究对象由“一条直线”逐步扩展到“两条直线”“三条直线”…… 再者，我们应当注意研究数学教学的“大道理”，这也可被看成强调整体分析与结构性认识的一个直接结论。以“比较”在小学“数与数的运算”学习中地位的分析为例—— 最后，依据上述分析，相信读者可以更好地理解笔者关于数学教学的这样一个建议：“数学基础知识的教学，不应求全，而应求联。”更进一步地，我们在教学中应当很好地突出这样一个关键字：“联”！ “数学深度教学”十讲之六 ——思维的灵活性与“变化的思想”相对于思维的深刻性，人们在谈到“数学与思维发展”这一论题时恐怕更容易想到思维的敏捷性，并将此归结为单纯的“快”。这样的认识应当说有一定的片面性，因为“快”并非数学的主要诉求，而应是达到更大的思维深度（这也正是数学教学为什么应当特别重视“长时间思考”的主要原因，对此我们将在第七讲中做出专门论述）。另外，相对于对“快”的简单提倡，我们应更深入地去思考如何提升学生的思维速度。以下就围绕“变化的思想”这一普遍性思维策略做出具体分析，即我们应当通过适当变化更有效地解决问题，并很好地实现认识的不断深化。 应当指出的是，前一讲中所提及的“联系的观点”显然也与“思维的灵活性”密切相关，因为善于将事物和现象联系起来考察显然也应被看成思维灵活性的具体表现；进而，在“联系的观点”与“变化的思想”之间更可说存有互补的关系。例如，正如人们普遍认识到的，求解各种较复杂的算术应用题的关键，是与基本题型的比较以及解题模式的适当变化，从而就同时用到了“联系的观点”与“变化的思想”。也正因此，虽然以下的论述主要集中于“变化的思想”，但我们不应忽视“联系的观点”在这一方面的重要作用。 为了清楚地说明“变化的思想”的重要性，举教学工作的一个实例。 就“变化的思想”在数学中的应用而言，我们也可区分出若干不同的层次或方面，这不仅直接关系到我们如何更有效地解决问题，也与数学的整体发展密切相关。 “特殊化”可被看成通过变化从而有效解决问题最常用的一种方法。正如著名数学家希尔伯特所指出的：“在讨论数学问题时，我们相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未能成功的原因在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决或完全没有解决。这时，一切有赖于找出这些比较容易的问题并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一。” “找次品问题”就可被看成这样的一个例子。为了解决如下较复杂的问题：“如果243个产品（螺丝钉）中有1个次品（较轻），用天平至少称几次能保证把它找出来？”可以先行研究与此相类似、但又较简单的问题，如将问题中产品的个数改为5或9等。这不仅有助于更好地理解问题，我们往往还可通过这一方法找出普遍性的解题模式或解题策略，从而最终解决原来的问题（详见另著《小学数学教育的理论与实践》，第4章）。 另外，如果说数学发展的主要线索可被归结为“由简单到复杂，化复杂为简单”，那么从这一角度我们也可清楚地看出一般化方法的作用，包括其与特殊化方法之间的辩证关系：“一般化”正是数学中实现“由简单到复杂”的发展的主要手段，我们往往又可通过“特殊化”化复杂为简单。 应当强调的是，从实践的角度看，为了有效地应用特殊化与一般化等方法去解决问题，我们应特别重视针对具体情况做出更深入的研究。从“深度教学”的立场看，相对于各种专门化的研究而言，我们应当更加重视这些方法或思维策略的普遍意义，即应当超出数学，并从更一般的角度进行分析思考，从而实现“通过数学帮助学生学会思维”的目标，特别是努力提升他们的思维品质。 事实上，特殊化与一般化方法都有十分普遍的意义，由以下一些普遍经验就可清楚地看出：“解剖麻雀”“由点切入，以点带面”……由此可见，在此真正需要的就是更强的自觉性，特别是，就整体而言，我们应特别强调这样一个思想——“变化的思想”。 最后，从上述角度可更好地理解笔者的这样一个主张：数学基本技能的教学，不应求全，而应求变。以下是这方面的一个具体经验：“我提倡'一题一课，一课多题’——一节数学课做一道题目，以一道题为例子讲解、变化、延伸、拓展，通过师生互动、探讨、尝试、修正，最后真正学到的是很多题的知识。”［1］另外，在笔者看来，我们也可从同一角度更好地理解“变式理论”，特别是“问题变式”的意义。 与此相对照，数学教学应当防止与纠正一些做法，即繁琐哲学、求大求全，包括对于形式的片面强调等。例如，以问题的事实性内容作为区分不同问题类型的主要依据，却未能深入分析它们的内在结构，乃至要求学生通过机械记忆和简单模仿去解决问题等。这事实上就是人们对于传统应用题教学的主要批评：“小学数学教学中，应用题教学作为培养学生解决问题能力的重要载体，积累了丰富的经验……然而，在几十年的演变过程中，应用题教学的理念与价值不断转变，逐渐形成了一套固定的思考模式和解题模式。以至于将应用题的类型机械地归结为11种，解题模式由一步应用题，到两步应用题（复合应用题），再到典型应用题，形成了一种'程式化’的解题套路……使应用题的教学陷入困境，学生的问题解决能力没有得到切实的培养。”［2］ 由此可见，相对于用“问题解决”（或“解决问题”）简单地去取代传统的应用题教学，积极从事“应用题的当代重建”是一个更加合适的立场。另外，从更一般的角度去分析，我们在教学中应特别突出这样一个关键词：“变”！ 参考文献 ［1］李成良.聊聊“懒”课——谈谈高效课堂［M］//人民教育编辑部.教学大道——写给小学数学教师.北京：高等教育出版社，2010：65. ［2］马云鹏，等.从应用题到数量关系：小学数学问题解决能力培养的新思路［J］.小学数学教师，2018（6）. “数学深度教学”十讲之七——“长时间思考”：反思与再认识笔者近年来经常提到这样一个观点：数学教学应当帮助学生学会“长时间思考”，这不仅因为“快思”和“慢想”都是一种重要的思维形式，还因为“快思”作为日常思维的主要形式，有一些明显的不足之处，特别是容易造成若干规律性的错误，从而需要通过“慢思”予以补救和改进（详可见另文“'数学与思维’之深思”，《数学教育学报》，2015年第1期）。数学的一个重要特点，即任一真正的数学问题都非轻而易举地就能得到解决，而往往需要研究者（学习者）做出持续的努力（在很多人看来，这也正是数学的魅力所在）。由此可见，数学学习确实可以对人们学会“长时间思考”发挥重要的作用。 我国数学家姜伯驹先生在接受采访时就曾对“什么是数学对您的最重要影响”作出如下解答：数学使我学会长时间地思考，而不是匆忙地作出解答。 这也正是笔者转引以下实例的主要原因—— ［例8］“等着，就好”（华应龙，《小学数学教师》，2019年第5期） 这是著名特级教师华应龙2019年展示的一堂数学课“我不是笨小孩”。其出发点是这样一道难题： 以下是片断摘录： 以下则是华应龙老师的课后总结： 当然，又如华应龙老师所指出的，我们所提倡的并非消极的等待，而应更深入地去思考教师此时应当做些什么： 就我们目前的论题而言，这也就是指，对于“长时间思考”，我们不应简单地从思维时间的长短去进行理解；恰恰相反，与单纯强调“放慢节奏”相比较，我们应当更深入地去思考：为什么要放慢节奏？停下来以后又应做些什么？或者说，什么是“长时间思考”的主要含义？ 具体地说，除了纠正与防止“快思”的可能错误，我们应特别强调这样两点。 第一，反思。这是“长时间思考”更重要的一个含义。相对于一般性理解而言，反思在数学教学中具有更多的含义。对此，由“问题解决”现代研究中对“元认知”的强调就可清楚地看出。 “问题解决”现代研究的一个主要成果是突出地强调了“元认知”对于提升人们解决问题能力的重要性，即解题者对于自身在当下所从事的解题活动（包括解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个解题过程中的作用等）是否具有清醒的自我意识和自我分析（评估），并能及时做出必要的调整，包括纠正可能的错误。由于上述思考与具体的解题活动相比显然具有更高的层次，并就以此作为直接的分析对象，这在现代的认知心理学研究中常常被称为“元认知”。 例如，我们在实际从事解题活动时应经常问自己：我现在正在做什么？为什么要这样做？这样做的实际效果究竟怎样？ 显然，注重“元认知”十分有助于我们防止与纠正“快思”的不足，特别是“解题冲动”可能造成的错误。当然，我们不应将“防错”“纠错”以及“事后反省”看成这里所说的“反思”的唯一含义；恰恰相反，这主要是指我们应当善于适时“停下”目前正在从事的活动（包括实际操作与思维活动），从更高的层面分析思考，从而实现更大的自觉性，即主要应被看成一种“即时反思”。 第二，在结束了一个阶段的学习以后，我们应当对所学习的内容与全部的学习过程作出总结和“再认识”，从而不断优化自己的认识。这是“长时间思考”的另一重要含义。 这直接关系到数学学习的本质：并非单纯地纠错，而主要是不断地优化。就我们的论题而言，也就是认识的不断深化，包括我们如何能够“化多为少”“化复杂为简单”。 另外，“善于总结和再认识”也应被看成一般性学习活动十分重要的一个含义，从而更清楚地表明了通过数学教学帮助学生学会总结和再认识的重要性。例如，华罗庚先生的论述“由薄到厚是学习、接受的过程，由厚到薄是消化、提炼的过程”“经过'由薄到厚’和'由厚到薄’的过程，对所学的东西做到懂，彻底懂，经过消化的懂，我们的基础就算是真正打好了”[1]，尽管所使用的是“由薄到厚”和“由厚到薄”这样一个表达方式，但事实上可被看成最基本的治学之道。 以下是相关的教学建议：我们应为学生的长时间思考提供充足的时间和空间。例如，相对于一味地鼓励学生尽快作出反应，我们在教学中应当表现出更大的耐心：“孩子，不要急，慢慢想！”我们应注意引导学生更仔细、更深入地思考。更一般地说，我们在教学中应很好地处理这样一些关系：“快”与“慢”、“多”与“少”、热闹与安静、“引”与“放”等。 我们可从同一角度去理解这样一个“经验”：教师不要太聪明，即教学中不应过快地由特殊上升到一般，而应保证学生具有充分的体验，包括“基本活动经验”的必要积累。 更为广泛地说，这直接关系到这样一个论题：整体性“课堂文化”的创设。对此，我们将在第九讲中作出具体论述。 综上可见，这是数学教学的又一重要目标：帮助学生学会“长时间思考”；对此，我们可引申出这样两个关键词：“反思”与“再认识（优化、深化）”。 参考文献 ［1］张奠宙.张奠宙数学教育随想录［M］.上海：华东师范大学出版社，2013：100. “数学深度教学”十讲之八——乐于思考、善于思考 “数学深度教学”十讲之九——积极的交流与互动 “数学深度教学”十讲之十——帮助学生学会学习 |
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