【原】​多值复变函数

初等复变函数的反函数都是多值函数，通常将自变量的辐角限制在一个周期内，得到函数的一个单值分枝。在一个单值分枝内，一个自变量对应一个函数值，对函数的各种运算如同对单值函数的运算一样。

初等复变函数都是单值函数。然而，它们的反函数却是多值函数。

最常遇到的一个反函数是根式函数。设想有两个复数 和 ，如果这两个复数之间存在以下对应关系：

就说 是 的根式函数，函数式的标记方式为：

为了得到根式函数的明显表达式，用指数表示法来表示 和 这两个复数：

把这两个表达式代入根式函数的定义式中：

两个复数要相等，除了 “实部和虚部分别相等” 这个判断准则外，还有一个判断准则：这两个复数的模和辐角要分别相等。利用这个判断准则得到：

由于辐角具有多值性，对同一个 值，与 对应的辐角有无穷多个：

其中 是 的辐角的主值。辐角的这种多值性对自变量本身的取值并没有影响，但是，对根式函数的取值却会产生影响，这种影响表现在根式函数的辐角上：

把整数 的值代入根式函数的表达式中进行计算，结果发现，当 取遍所有可能的数值时，会得到两个函数值。比如说，取 ，将得到第一个函数值：

取 ，就得到第二个函数值：

如果取 等于别的整数，就会重复地得到这两个函数值。因此，根式函数有两个函数值，函数的多值性来源于辐角的多值性。

在实际应用中，通常将 的辐角限制在一个周期内，得到一个单值分枝，称 为根式函数的枝点。在一个单值分枝内，一个自变量对应一个函数值，对函数的各种运算如同对单值函数的运算一样。

我们来看一个求根式函数数值的简单实例。在规定

的条件下，求根式函数 在 各点的值。

要计算这个根式函数的值，首先要把 这个复数用指数方式表示出来，用图示的方法来做这件事情最简单。在下面给出的三个图中，黄色箭头线所标记的矢量分别对应着   时的复数 。用几何的方式把 表示出来后，它的模和辐角就非常清楚了。对于自变量的别的值，这个模和辐角可能需要做简单的计算才能得到。由于我们已经把 的辐角限制在一个周期内，所以，与三个 值对应的 的三个辐角就可以从图示中读出来。这样，对应于自变量的每一个值， 的辐角就能确定下来。于是，相应的三个函数值就可以求出来了。

在上面的问题中，如果规定

那么，与三个 值对应的 的三个辐角就要增加 ，相应地，根式函数的值也会发生变化。这件事情就留给大家吧。

除了根式函数，比较常用的反函数还有对数函数。对数函数的定义是这样的：设想有两个复数 和 ，如果这两个复数之间存在以下对应关系：

我们就说 是 的对数函数：

在对数函数中，如果自变量 仍然用指数方式表示，那么，根据 与 的关系可知， 一定是两项之和。受到这个关系的启发，把 按实部和虚部分解对数学运算会更方便：

把 和 的表达式代入对数函数的定义式中：

由于 和 都是实数，利用上面的式子马上可以得到以下等式：

由此可见， 的虚部 实际上就等于 的辐角。于是，对数函数的值就确定下来了：

从这个结果可以看到，由于对自变量 的一个确定的辐角，其数值可以相差 的任意一个整数倍，所以，相应的对数函数的虚部可以取无穷多个数值。

结果发现，对数函数也是多值函数，它的多值性还是来源于辐角的多值性。对应于自变量的每一个值，有无穷多个函数值。

在初等函数的反函数中，还有反三角函数，它们是这样定义的：

以及一般的 (非整数) 幂函数：

由于它们都是对数函数和根式函数的变形或者组合，因此，也是多值函数。不过，这些函数在课程中都不常用到。