困扰数学家三百年的虚数，到底有什么意义？从 i 说起

它告诉我们什么？

数i的平方是-1，尽管按说不可能有这样的数。

为什么重要？

它催生了复数，而这又带来了复分析，这是数学中最强大的领域之一。

它带来了什么？

更好的计算三角表的方法。将几乎所有数学推广到复数域。用更强大的方法来理解波、热、电和磁。量子力学的数学基础。

来源 | 《改变世界的17个方程》

作者 | [英] 伊恩·斯图尔特

译者：劳佳

文艺复兴时期的意大利是政治和暴力的温床。意大利北部由十几个交战的城邦控制，包括米兰、佛罗伦萨、比萨、热那亚和威尼斯。在南部，由于教皇和神圣罗马帝国皇帝在争夺至高无上的权力，归尔甫派和吉伯林派正在交战。雇佣兵扫过大地，村庄被废弃，沿海城市之间发动海战。1454年，米兰、那不勒斯和佛罗伦萨签订了《洛迪和约》，在接下来的四十年间维持了和平，但罗马教皇依然陷在腐败的政治里。这是波吉亚家族时代，这个臭名昭著的家族会毒死任何阻碍他们夺取政治和宗教权力的人，但这也是达·芬奇、布鲁内莱斯基、皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡、提香和丁托列托的时代。在阴谋和谋杀的背景下，长期存在的假设开始受到质疑。伟大的艺术和伟大的科学相辅相成，在共生中欣欣向荣。

数学也有了蓬勃的发展。1545年，赌博学者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）正在写一本代数教科书，他遇到了一种新的数，这种数是如此费解，以至于他说它“难以捉摸而又毫无用处”，并摒弃了这个概念。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）对卡尔达诺的代数书掌握得很好，但他觉得这个解释莫名其妙，并认为自己能做得更好。到了1572年，他注意到了一些有趣的东西：虽然这些令人费解的新数毫无意义，但它们可以用于代数计算，得到的结果也可被证明是正确的。

几个世纪以来，数学家与这些“虚构的数”（我们今天仍然这么叫它）之间的关系可谓是爱恨交加。“虚数”这个名字流露出了一种矛盾的心态：它们不是实数（算术中常见的那种数字），但在大多数方面，虚数的性质都和实数差不多。主要区别在于，当你对一个虚数进行平方运算时，结果是个负数。但这本应是不可能的，因为平方总是正的。

直到18世纪，数学家才搞清楚虚数是什么。直到19世纪，他们才开始感到运用自如。但当虚数的逻辑地位已完全可与传统实数相比拟时，虚数已经在整个数学和科学中变得不可或缺，而它们的意义到底是什么的问题看起来就没什么意思了。19世纪末至20世纪初，对于数学基础的兴趣再度燃起，引发了对于“数”的概念的重新思考，人们觉得传统的“实”数并不比虚数更真实。从逻辑上讲，这两种数就和《爱丽丝漫游奇境》里面的叮当兄和叮当弟一样相似。两者都是人类思维中的构想，两者都表达了（但不同于）自然的某些方面。它们在不同的背景下以不同的方式表达现实。

到了20世纪下半叶，虚数就完全成为每个数学家和科学家的思维工具包里的工具了。它们和量子力学如此密不可分，没有它们就没法研究物理学，就像没有绳索就无法攀登珠穆朗玛峰一样。即便如此，中学里很少讲授虚数。计算很容易，但是对于绝大多数学生来说，凭借他们的思维修养依然难以理解为什么虚数值得学习。很少有成年人，哪怕是受过教育的成年人，能够意识到，我们的社会多么依赖于这些不代表数量、长度、面积或金额的数字。然而，从电子照明到数码相机，没有虚数，大多数现代技术不可能被发明出来。

让我们退回到一个关键问题：为什么平方总是正的？

在文艺复兴时期，方程通常会被重新整理成所有数字都是正数的形式。放在当时，人们是不会这样提出这个问题的。他们会说，如果你给一个数做平方，你就会得到一个更大的数——不会得到零。但哪怕像我们现在这样允许出现负数，平方仍然必须是正数。原因如下。

实数可以是正数或负数。然而，任何实数，不管是正数还是负数，它的平方总是正的，因为两个负数的乘积是正的。和都会得到同样的结果：。所以有两个平方根，和。

那呢？它的平方根是多少？

它没有平方根。

这一切看起来非常不公平：每个正数都有两个平方根，而负数却一个平方根也没有。一种很诱人的做法是改变两个负数相乘的规则，比如让。这样正数和负数都有了一个平方根；而且，每个数都和自己的平方有一样的符号，看起来很整齐。但这种诱人的推理有一个意想不到的缺点：它破坏了通行的算术规则。问题在于，在通行的算术规则下，已经等于了，而且几乎所有人都乐于接受这个事实。如果我们坚持让也等于，那么。有好几种方法可以发现这会引发问题，最简单的是将两边除以，得到-3=3。

你当然可以改变算术规则，但这样一来，一切都会变得复杂而混乱。更有创意的解决方案是保留算术规则，并允许出现“虚数”来扩展实数系。奇怪的是——没有人能够预料到这一点，你只需要把这个逻辑进行到底——这大胆的一步会带来美妙、一致的数系，用途之广，难以计数。现在，除了之外的所有数都有两个平方根，两者互为相反数。即使对于这种新的数也是如此。数系扩展一次就足够了。人们花了好些时间才把它搞清楚，但回过头来看，它似乎是不可避免的。虚数虽然看起来不可能存在，却不肯消失。它们似乎毫无意义，却在计算中不断出现。有时，使用虚数会使计算更简单，结果更全面、更令人满意。如果有一个答案是使用虚数得出的，却没有明确地涉及它们时，那么我们都可以独立验证这个答案，并发现结果是正确的。但是，当答案真的明确涉及虚数时，它又似乎毫无意义，而且往往在逻辑上是矛盾的。这个谜已经酝酿了两百年，当它最终爆发时，其结果是爆炸性的。

卡尔达诺被称为赌博学者，因为赌博和学术这两项活动都在他的生活中占有突出的地位。他既是天才，又是流氓。他的人生跌宕起伏，高点极高，低点又极低，简直让人眼花缭乱。他的母亲曾试图把他流产，他的儿子因杀死自己的妻子而被斩首，而他（卡尔达诺）把家族的财产输得一干二净。他因给耶稣占星而被指控为异端。然而就在这一切发生期间，他当上了帕多瓦大学的校长，被选入米兰医师学院，因治愈圣安德鲁斯大主教的哮喘而获得2000金克朗，并从教皇格雷戈里十三世那里获得津贴。他发明了组合锁和支撑陀螺仪的平衡环，写了好几本书，包括杰出的自传《我的一生》（De Vita Propria）。与我们的故事相关的书是1545年出版的《大术》（Ars Magna），书名指的是代数。卡尔达诺在该书中汇集了当时最先进的代数思想，包括激动人心的方程新解法，一些是由他的学生发明的，另一些是在有争议的情况下从他人那里获得的。

从中学数学的常见意义上来说，代数是一种用符号表示数字的系统。它可以追溯到公元250年左右时古希腊的丢番图，他的《算术》（Arithmetica）一书用符号来描述解方程的方法。大多数工作是用文字叙述的，如“找到两个数字，其和为10，其积为24”。但丢番图以符号化的方式总结了他求解的方法（这里的答案是4和6）。这些符号（表~\ref{tab:1}）与我们今天使用的非常不同，大多数是缩写，但这是一个开始。卡尔达诺主要使用词语，还有几个符号来表示根，而这些符号也与现在所用的没有什么相似之处。后来的作者则相当偶然地发明了如今的符号，大部分由欧拉在他的众多教科书中定为标准。然而，一直到1800年，高斯仍然使用，而不是。

表 5.1　代数表示法的发展

时间	作者	表示法
约250年	丢番图
约825年	花拉子密	乘积加两倍加三（阿拉伯语）
1545	卡尔达诺	平方加两倍加三（意大利语）
1572	邦贝利
1585	斯蒂文	3+2+1
1591	韦达
1637	笛卡儿、高斯
1670	巴歇·德·梅齐里亚克
1765	欧拉、现代

《大术》最重要的主题是求解三次和四次方程的新方法。这些方程就像大多数人在中学代数中遇到的二次方程一样，但更复杂。二次方程表达了涉及未知量（通常用字母表示）和它的平方的关系。一个典型的例子是

它说的是：“把未知数平方，减去未知数的5倍，然后加6：其结果为零。”给定一个涉及未知数的方程，我们的任务是求解方程——找出使方程成立的未知数。

对于随机选择的值，该等式通常不成立。比如我们尝试，那么，不是零。但是对于少数几个的选择，方程成立。比如，当时，我们有。但这不是唯一的解！当时，我们也有。该方程有两个解，和，可以证明没有其他解。二次方程可以有两个解、一个解或没有（实数）解。例如，仅有一个解，而没有实数解。

卡尔达诺的杰作提供了求解三次方程（除了和之外，它还涉及未知数的立方）和四次方程（还会出现）的方法。代数变得非常复杂；即使有了现代的符号，也需要一两页才能得出答案。卡尔达诺没有继续讨论涉及的五次方程，因为他不知道怎么解。很久以后，事实证明没有（卡尔达诺想要的那种）解法：虽然对任何特定方程都可以计算出高精度的数值解，但除非专门为这项任务发明新的符号，否则没有通用公式。

我将写下几个代数公式，因为我觉得为了把这个话题讲清楚，还是不要去刻意避免它们了。你不需要关注细节，但我想给你看看它是什么样的。使用现代符号，我们可以对于特殊情况（其中和是特定数字）写出卡尔达诺的三次方程解。（如果存在项，那么有一个巧妙的技巧可以把它消掉，所以这个例子实际上解决了所有情况。）答案是：

这可能看起来有点儿拗口，但它比许多代数公式简单得多。它告诉我们如何通过计算的平方、的立方，加上几个分数，再求几个平方根（符号）和几个立方根（符号）来求得未知数。一个数的立方根指的是立方后能得到这个数的数。

三次方程解的发现至少涉及另外三位数学家，其中一位愤恨地抱怨卡尔达诺曾承诺不泄露他的秘密。这个故事虽然引人入胜，却太复杂，无法在这里讲述。1四次方程由卡尔达诺的学生洛多维科·费拉里（Lodovico Ferrari）解决。我在这里就不写四次方程那个更为复杂的公式了。

《大术》中记述的结果是一场数学上的胜利，是一个跨越千年的故事的高潮。古巴比伦人在公元前1500年左右，也许更早，学会了求解二次方程。古希腊人和欧玛尔·海亚姆（Omar Khayyam）知道了解三次方程的几何方法，但三次方程的代数解（更不用说四次方程）是前所未有的。数学一举超越了它的古典起源。

然而，还有一个小问题。卡尔达诺注意到了这一点，有几个人试图解释它，但都失败了。有时，这种方法非常好用；但有些时候，这个公式就像是德尔斐的阿波罗神谕一样神秘。比如，我们将卡尔达诺公式应用于方程。其结果是

但是，是负数，所以它没有平方根。更令人费解的是，这个方程有一个完美的解：。这个公式没有给出它。

当邦贝利在1572年出版《代数》（L'Algebra）时，灵光闪现。他的主要目的是解释卡尔达诺的书，但当他遇到这个棘手的问题时，他发现了一些卡尔达诺错过的东西。如果忽略符号的含义，就按常规方法计算下去，标准的代数规则表明

因此你就可以写下

同样，

现在这个困扰卡尔达诺的公式就可以改写为

恰好等于，因为惹麻烦的平方根消掉了。所以邦贝利荒谬的形式计算得到了正确的答案。这是一个完全正常的实数。

不知何故，假装负数的平方根有意义——即使它们很显然没有意义，也可以得出合理的答案。为什么会这样呢？

为了回答这个问题，数学家必须发明好的方法来思考负数的平方根，并对其进行计算。早期的数学家，包括笛卡儿和牛顿在内，都将这些“虚构”的数解释为问题没有解的标志。如果你想找到一个平方等于负一的数，由于形式解“负一的平方根”是虚构的，所以解不存在。但是邦贝利的计算暗示了虚构的东西不止于此。它们可以用来求出解，它们可以在计算确实存在的解的过程中出现。

莱布尼茨毫不怀疑虚数的重要性。他在1702年写道：“圣灵在分析的奇迹中找到了一个崇高的出口：理想世界的预兆、存在与非存在之间的两栖动物，我们称之为负一的虚根。”但是他的雄辩并没有掩盖一个根本问题：他不知道虚数到底是什么。

沃利斯是最早提出复数的合理表示的人之一。实数分布在一条线上的图（就像尺子上的刻度那样）已经司空见惯。1673年，沃利斯提议把复数视为平面中的一个点。在平面中画一条线，并以通常的方式用实数标记线上的点。然后将想象成位于直线一侧的点，与点的距离为。

沃利斯的想法在很大程度上被人们所忽视，更糟的是，它还遭到了批评。弗朗索瓦·达维耶·德·芳瑟涅克斯（François Daviet de Foncenex）在1758年撰写关于虚数的文章时表示，虚数构成了一条线且与实数构成的线成直角的想法毫无意义。但这个想法最终复活了，形式变得稍微明确了一点。实际上，有三个人在几年间提出并发表了完全相同的表示复数的方法，如图5.1所示。一位是挪威测绘员，一位是法国数学家，另一位是德国数学家。他们分别是在1797年发表的卡斯帕·韦塞尔（Caspar Wessel）、在1806年发表的让–罗贝尔·阿尔冈（Jean-Robert Argand）和在1811年发表的高斯。他们的说法基本上和沃利斯一样，但他们添上了第二条线——与实数轴成直角的虚数轴。沿着这第二根轴的是虚数、、等。一般的复数，例如则落在平面上，沿实轴三个单位，沿虚轴两个单位。

图 5.1　复平面。左：沃利斯的表示。右：韦塞尔、阿尔冈和高斯的表示。

这种几何表示非常好，却没有解释为什么复数能够形成逻辑上自洽的数系。它没有告诉我们复数在什么意义上成为数，只是提供了一种把复数形象化的方法。它并没有定义复数是什么，就像画一条直线并没有定义实数一样。但它确实提供了某种心理支撑，让那些荒诞的虚数和现实世界之间有了一个有点儿人为的联系，但仅此而已。

让数学家相信虚数应该得到认真对待的，并不是因为有了合乎逻辑的描述来解释它们是什么。压倒性的证据表明，不管虚数到底是什么，数学都可以很好地利用它们。如果你每天都拿一个想法来解决问题，还都能得出正确答案，你就不会去费劲琢磨它的哲学基础是怎么回事。当然，关于基础的问题仍然有其意义，但在面对使用新思想解决新老问题的实际考量时，它就退居二线了。

当一些先驱者把注意力转向复分析，即复数而非实数的微积分（见第3章）时，虚数和由此产生的复数系确立了自己在数学中的地位。第一步是把所有常用函数——幂函数、对数函数、指数函数、三角函数——拓展到复数域。如果，是什么？或又是什么？

从逻辑上说，这些东西可以随便是什么。我们开创了一个新的领域，旧的思想并不适用。例如，考虑一个边长为复数的直角三角形没有多大意义，因此正弦函数的几何定义就无关紧要了。我们可以深吸一口气，坚称当是实数的时候，就是它通常的值；但是当不是实数时，它就等于42。大功告成。但这将是一个非常愚蠢的定义：不是因为它不精确，而是因为它与实数下的原始定义之间没有合理的联系。对拓展定义的一个要求是，它在应用于实数时必须与原定义一致，但这还不够。我对正弦的愚蠢拓展也满足这一点。另一个要求是，新概念应该尽可能保留旧概念中的特性；它在某种意义上应该是“自然”的。

我们想要保留正弦和余弦的哪些性质呢？很可能我们希望所有那些漂亮的三角学公式依然成立，比如。这是加了一个约束，但没有帮助。使用分析（微积分的严格表达）得出的更有趣的性质是无穷级数的存在：

（这样一个数列的和被定义为有限项之和在项数无限增加时的极限。）余弦也有一个类似的级数：

这两者显然在某种程度上与指数级数相关：

这些级数可能看起来很复杂，但有一个诱人的特性：我们知道如何在复数的情况下理解它们。它们仅仅涉及了整数幂（通过多次乘法获得）和收敛的技术问题（理解无限项的和）。这两者都自然地拓展到复数域，并具有所有预料之中的性质。因此，我们可以使用适用于实数的级数来定义复数的正弦和余弦。

由于三角学中的所有常用公式都是这些级数的结果，因此这些公式也会自动拓展过来。微积分的基本关系也是如此，例如“正弦的导数是余弦”，还有。这一切都非常完美，让数学家们很乐意接受级数定义。一旦他们这样做了，还有很多东西就必须与之相适应。如果你一路做下去，就会发现它会得出什么。

例如，这三个级数看起来非常相似。实际上，如果你把指数级数中的换成，就可以把得到的级数分成两部分——恰好分别是正弦和余弦的级数。所以这个级数定义就意味着

你还可以使用指数表示正弦和余弦：

这个隐藏的关系非常美。但是你如果一直停留在实数域，就永远不会想到有这样的东西。三角公式和指数公式（例如，它们的无穷级数）之间的奇怪相似性将保持不变。从复数的角度观察，一切都忽然各就各位了。

整个数学中最美丽但最神秘的方程之一几乎是偶然出现的。在三角级数中，数字（当它是实数时）必须以弧度为单位表示，其中的整圆变成了弧度。角就是弧度。此外，而。因此

虚数将数学中最著名的两个数字和融合在一个优雅的等式中。如果你以前从未见过它，并且有任何数学敏感性的话，那你应该会觉得脖子上汗毛直竖，脊背发凉。据称，欧拉提出的这个方程在“最美丽的方程”的民意调查中经常位列榜首。这并不意味着它真的是最美丽的方程，但这确实表明了数学家对它的欣赏程度。

在拥有了复数并了解其性质之后，19世纪的数学家们发现了一些引人注目的东西：他们可以利用这些东西来解决数学物理中的微分方程。他们可以将这个方法应用于静电、磁和流体。不仅如此，用起来还很容易。

函数——一个为给定的数字赋予对应数字的数学规则，比如一个数的平方或正弦。复变函数也是这样定义的，但现在函数中的数可以是复数了。求解微分方程的方法简单得让人高兴。你所要做的就是取一些复变函数，比如称之为，然后将它分成实部和虚部：

=u(z)+iv(z)

现在你就得到了两个实值函数和，对复平面上的任何都有定义。此外，无论你从哪个函数出发，这两个分量函数都满足根据物理学得出的微分方程。例如，在流体解释中，和确定了流线。在静电解释中，这两个分量决定了电场以及小带电粒子将如何运动；在磁解释中，它们确定了磁场和磁力线。

我只举一个例子：条形磁铁。大多数人记得看过一个著名的实验，把磁铁放在一张纸下面，散落在纸上的铁屑会自动排列成磁力线的形状——微小的测试磁铁被放置在磁场中时将遵循的路径。曲线如图5.2（左）所示。

图 5.2　左：条形磁铁的磁场。右：使用复分析得出的场

要使用复变函数得出这张图，我们只需要令。磁力线变为圆形，与实轴相切，如图5.2（右）所示。非常小的条形磁铁的磁场线看起来就像这样。有限大小的磁铁会对应更复杂的函数选择：我选择这个函数是为了让一切尽可能简单。

这太棒了。有无穷无尽的函数可供使用。你决定要看哪个函数，求出它的实部和虚部，画出它们的几何形状…… 然后，你看啊，磁、电或流体流动的问题都被解决了。经验很快就会告诉你哪个函数用于哪个问题。对数是一个点源，负对数是一个让液体消失的“漏”，就好像厨房水槽中的排水孔一样，i乘上对数是一个点旋涡，液体会在那里转啊，转啊…… 这太神奇了！这种方法可以解决一个又一个原本看来无从下手的问题。而且它还保证成功，如果你担心复分析出什么问题，你可以直接检查一下自己得出的结果是不是真的代表了答案。

这还只是刚刚开始。除了求出特解之外，你还可以证明一般原理，即物理定律中的隐藏规律。你可以分析波动并求解微分方程。你可以使用复方程将一种形状变换为其他形状，这些方程还会同时变换形状周围的流线。这种方法仅限于平面系统，因为那是复数自然存在的地方，但是以前，哪怕是平面问题都遥不可及，这种方法可谓是及时雨。今天，每个工程师在上大学不久后就会学习如何使用复分析来解决实际问题。茹科夫斯基变换将圆变成翼形，即基本飞机机翼的横截面，如图5.3所示。因此，它可以将一个圆的绕流（你如果知道窍门就很容易求解）变换为机翼的绕流。在空气动力学和飞机设计的早期阶段，这种计算和更为实际的改进非常重要。

图 5.3　通过茹科夫斯基变换求得的机翼的绕流

丰富的实践经验让基础问题失去了意义。为什么要吹毛求疵呢？复数肯定有合理的含义，否则它就不会这么好用了。大多数科学家和数学家更感兴趣的是把金子挖出来，而不是仔细研究它是从哪里来的，以及它与“狗头金”有什么区别。但有些人还是坚持不懈。最终，爱尔兰数学家威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton）给整个事情画上了句号。他采用了韦塞尔、阿尔冈和高斯提出的几何表示，并用坐标表示出来。复数就是一对实数。实数是形如的数字，虚数是。有一些简单的公式可以对这些数对做加法和乘法。如果你担心某些代数定律，比如交换律，那么你可以像平常一样把数对放在两边计算，然后确保它们一样（确实如此）。如果你简单地用表示，那就是把实数嵌入到了复数中。更好的是，算出来就是。

这不仅仅是一种表达，而是一种定义。哈密顿说，复数无非是一对普通的实数。使它们变得如此有用的，是对加法和乘法规则的巧妙选择。它们本身毫无新意，神奇之处来自使用的方式。通过这一神来之笔，哈密顿一举终结了几个世纪的热烈争论和哲学辩论。但到那时，数学家已经如此惯于处理复数和复变函数，没有人再关心这个问题了。你需要记住的只是。

作者：[英] 伊恩·斯图尔特   译者：劳佳