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在上一个系列《魔术《4 Kings 折纸》的三重境界（四）——魔术效果的突破》中深入分析的《4 Kings 折纸》魔术的相关数学原理和魔术拓展之中，我们预告了这个魔术的MAT原理，和CATO原理有着千丝万缕的联系，甚至直接能相互转化来使用。今天我们正式进入到CATO原理的系列讲解，继续进入数学魔术单个专题的深水区。CATO原理，又名Hummer’s Parity Principle，我能查到的出处是在《magical mathematics》一书第一章《mathematics in the air》中提到在1942年（也有不少资料说是1946年），Bob Hummer在一份名为《Face up/Face down mysteries》的小册子的记载。而在conjuring archive中能查到的最早的相关原理的使用是1945年Bob Hummer发表在《3 Pets》一书中的《Personality Test》[2]。其中(Hummer('s)?|parity) principle也都是在数学圈中的叫法，为马丁加德纳，Colm Mulcahy等前辈使用并发扬光大，为不引起歧义，以下都用Hummer Principle来代称；而CATO Principle则是魔术圈的叫法（CATO原理可以算作引进了外文符号的中文名），是以其中的核心操作Cut and Turn over命名的，二者基本上可以看作是等价物了。Bob Hummer应该是开山鼻祖级别的mathemagician了，是20世纪那个璀璨的扑克魔术时代伟大的card magician(1906-1981)[4]。由于年代久远，其能查到的部分著作也典型地透露着那个文字时代纸牌魔术师们想把自己思想都记录下来的渴望。其作品甚广，不仅是自己著作等身，而且其单品和合集作品还广泛流传于其他的作品集中。比如，其中karl Fulves专门为其作品写了《Bob Hummer's Collected Secrets》。在Martin Gardner等数学家和魔术师眼里，他是一位奇怪的（essentric）魔术发明家，他评价道："I believe that if Hummer had obtained an education in mathematics he might have become a great mathematician or physicist,”[1]给我的感觉是他是那种思考深入，但是可能缺乏最基础的数学工具的了解和使用能力，制约了其发展。不过，也可能正是因为他直觉式的，全情投入地，对扑克牌领域的全然执着，才没有了数学的条条框框，反而帮他在独特的道路上走得足够远了。我暂时还没批量读过他的作品，等读完了再给大家聊关于Bob Hummer的更多印象。让我很奇怪的是，很多使用了CATO原理的魔术表演或教学，只是简单提到这是Hummer/CATO Principle，很少见到完全把这个概念说清楚的地方。我查遍了google，综合多方的说法，发现很多对所谓“原理”的表述并不是完全一致。大体给人的感觉是使用了CATO/Hummer Shuffle操作，最后发成两叠再folding之后，能够呈现出某个固定的集合式的结果：要不就是观众选的牌，或者是4张Ace、同花顺，或者红黑分离等等。而至于到底什么是Hummer Shuffle，这些五花八门的效果背后，统一的数学描述到底是什么，似乎并不清晰。于是我汇总之后，找到了可以作为参考的CATO Principle的正式表述。Theorem 1（Parity Principle）from 《Magical mathematics》：Let a deck of 2n cards start all face-down. After any number of “turn two and cut at random” operations, the regularity is forced: The number of face-up cards at even positions equals the number of face-up cards at odd positions.其中TH1就是通常说的Parity Principle，本质上是个有扑克牌叠物理操作背景的定理，可能当年出现的时候并没有那么严谨就先叫Principle了。它的描述并非严谨的数学语言，而是带有很多先验的扑克牌性质和操作相关知识。以及，它只说了众多CATO原理魔术中最不起眼，几乎没人用的一条规律，即全部背面向上的牌叠经过CATO Shuffle后，偶数位置正面向上牌的张数要等于奇数位置的。但如果Hummer Principle就这点内容，显然不能概括实际被划为CATO原理魔术的全部，也不构成一个足够完整和丰富的数学魔术体系。一方面，除了那个及其特殊的《红黑张数相等》（见：Gilbreath原理中的数学与魔术（四）——Gilbreath First Principle进阶应用魔术《红黑匹配的赌博》等）有类似的效果，原理也类似外，很少有魔术直接使用这个CATO原理的形式。另外，它更多地像个二级结论（推论），因为得到它不仅需要应用原为全部背面向上的牌叠的条件，还利用了牌叠奇偶位置的张数必为总张数一半的隐含条件才得此结论，一定程度上隐含了真正通用的本质。Red-black separation principle（from odd hummer principle[3])Given a deck with n red cards and n black cards, which is shuffled and separated into two piles with the same number of cards, the following holds:· The number of red cards in one pile is equal to the number of black cards in the other pile.另外，《Magical mathematics》还提到了一个定理，是更完善的CATO原理的说明。Theorem 2 from《Magical mathematics》：After any number of Hummer shuffles of 2n cards, any arrangement of values is possible. However, the face-up/face-down pattern is constrained as follows: Consider the card at position i. Add one to its value if face-up. Add this to i. This sum is simultaneously even (or odd) for all positions i.好在有TH2揭示了CATO原理背后真正的数学定理的结论。不过这个表述实在是太初等了，自然也很啰嗦、杂糅。不过隐约看起来是一个对称不变性，即牌张的位置值加上正反值编码，如果一开始就如正反交替的周期排布，那洗牌结果也某种程度保持了它的这个相等性质。不过这个描述还是有点隔靴搔痒。一方面，这个加法本质上就是奇偶性变换没有挑明。另外，这建立在起始牌叠为交替正反的特殊基础上，没有一般化（TH1就是全部朝一面的另一特例），而且刚刚好是全部牌张都有同一个属性值的情况（实际情况大部分都有两个）。虽然实际上有很大一部分是这么在魔术中使用的，顶多再加一个单张牌翻转操作的交换律就能说明，但这个表述就因为其通用性有限而隐藏了这其中真正的数学性质。不过大家放心，在下一篇中，我们都会重新用现代的数学语言，来重写这套原理。这里补充说下Hummer/CATO Shuffle[3]，这个说法广为流传，按照TH1中的描述，应该就是指的turn two and cut at random这个动作了。而且因为还可以cut，所以一般认为特指顶部2张。而实际上，很容易就可以把turn two操作扩展为翻转任意偶数张牌，也可以从中间任何位置开始。因此，我们把翻转顶部两张的叫作CATTO[5] = Cut and Turn Two over；而翻转顶部任意偶数张的叫作CATO Shuffle，也叫Hummer shuffle。而从中间位置中间开始等价于多切一次再切回来，因此数学上没有更多东西，就不予区分了，虽然魔术上这看起来完全是不同自由度的操作，也是另一个视角的事。实际上，turn two是最干净的，完全不该变任何一张牌我们关心的CATO特征属性，而Cut如果是偶数不影响，但是奇数却是全部改变，使得其关系仍然不变。这一点细微的差别，随着我们数学模型构建的明确和深入会变得清晰。后面我们会看到，Hummer Shuffle还有很多很有意思的扩展，这些就都不在原作中间了。但早就成为日常魔术中被广泛使用的操作，我们统称为Expanded Hummer Shuffle，即所有能保持TH2描述的性质的所有合理操作。比如，如果已经看上去不是简单的切牌，比如count操作；而当牌叠张数为奇数的时候，DATO指出了这种情况下可行的操作等。那这个TH2的性质具体怎么用数学语言表达更清楚，这些操作和性质之间有什么样的关系，我们从下一篇开始具体介绍。另外，就Hummer Shuffle本身，也包括cut和turn over两个部分，前者可以算作一次典型的shuffle，即一般而言只改顺序，不改变也不关心朝向，一般认知里不该变朝向也足够混乱了；而后者则涉及到方向的改变，使得整个排列的空间都不一样了，有A(n, n) * 2 ^ n种可能，每一个称为rearrangement，其混乱的迷惑性大大增加，一般和普通的shuffle操作配合起来才能达到最佳混乱效果。可以证明，turn over 偶数张和切牌的CATO shuffle就足矣达成所有的排列A(n, n)，但是rearrangement则受到TH2的限制。好了，以上就是关于CATO Principle的历史介绍。可以看到，无论是理论的明确和严谨性，还是所涵盖内容的充分性，还有数学工具的先进和简明性，历史上的CATO Principle表述都不足以适应当下CATO Principle实际相关魔术的发展和数学工具的进步。因此，下一篇开始，我们打算重构这一理论，以成为现代数学背景下的新论述，目标至少能用几十年。视频2 Baby Hummer with 2 person
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