将多值函数按单值分枝划分的实质是限制自变量或宗量的辐角在一个周期内变化，使函数值与自变量的值之间有一一对应关系。 在讨论多值函数的问题中，我们对根式函数引入了单值分枝与枝点的概念。接下来对这两个概念做进一步的讨论。 为了方便论述起见，还是以根式函数 为例进行讨论。设想自变量 从某一点 出发沿着某一条 (自身不相交的) 简单闭合曲线变化一周回到原处，函数值将会有两种可能的结果。如果闭合曲线包含 点，则当 沿曲线绕行一周回到原处 (即 绕着 点走了一圈) 时， 的辐角将增加或减小 ，而 的辐角却只改变了 ，函数值并不还原，如下左图所示；如果闭合曲线不包含 点，则当自变量沿曲线变化一周 (即 并不绕着 点走) 时， 的辐角恢复原值，函数值也随之还原，如下右图所示。
由上述分析可以看出，在根式函数 中，常数 有特殊的地位。由于这个原因，为它取了一个专门的名称，称 为根式函数 的枝点。除了 点，根式函数还有一个枝点。对自变量 做变换 ：结果发现， 作为 的函数，由两个根式函数组合而成，每一个根式函数给出一个枝点。 即 正是已经熟知的枝点，而 即 则是新的枝点。 或者 绕无论哪一个枝点走一圈，函数值都将不会还原。从之前以及上面对多值函数的讨论得知，对自变量的一个确定的值，多值函数的值并不确定。由于这个原因，需要通过某种方法将函数值与自变量的值之间的对应关系确定下来。这种方法的基本思路在多值复变函数一文中已经用一个简单的例子做了说明，它的要点是，将函数的宗量 (不是自变量 ) 的辐角规定在一个周期内变化。这种方法相当于在一个单值分枝内讨论问题，在一个单值分枝内，对自变量的每一个值，都有唯一的一个函数值与之对应。在前面给出的例子中，我们规定 的辐角范围是 或 等区间，相应地，函数的辐角则在 或 之间变化，两个单值分枝构成一个完整的 平面。其实，单值分枝的这种划分并不是必须的。 的辐角只要在一个周期内变化，就能够给出函数的一个单值分枝。比如说，规定宗量的辐角在 之间变化，则单值分枝的辐角范围就是 ，如此等等。从划分单值分枝的方法可以看出，这种划分实际上就是限制自变量不能绕枝点转圈。可以用几何的方法形象地描写这种划分：在 平面上从 点出发，以任意角度 向无穷远作射线，称这条射线为割线。规定在割线的上岸，宗量的辐角为这就得到了一个单值分枝 ，如下左图所示；规定在割线的上岸，宗量的辐角为又得到了另一个单值分枝 ，如下右图所示。两个单值分枝结合起来，就得到一个完整的 平面。在上述图象中，割线的作用是限制自变量的变化范围。由于无穷远点也是枝点，因此，割线实际上是将两个枝点连接起来。于是，当自变量发生变化时，就不能越过割线，只能在一个单值分枝内变化。
用割线划分单值分枝的方法，实际上是规定了宗量的辐角的变化范围。当然，这种规定不是唯一的。连接两个枝点的割线的形状甚至不必须是直线，可以是各种形状的光滑的或非光滑的连续曲线。在这种情况下，由于上岸各点或下岸各点的辐角并不相同，上述规定无法实施。但是，可以规定在 平面上某一点处宗量的辐角值，或者规定在这一点上的函数值，同样可以划分出单值分枝，因为在一个单值分枝内，函数值是唯一的。以上对根式函数的单值分枝的讨论，同样适用于对数函数。对数函数的表达式为对自变量 的一个确定的值，有无穷多个辐角与之对应，这导致对数函数有无穷多个值。显然，0 与 是对数函数的两个枝点。用一条割线将这两个枝点连接起来，并仿照根式函数的方法，规定在割线的一侧的辐角值，或者在某一点处 的辐角值，也可以在某一点处的函数值，就得到一个单值分枝。在 平面上，每一个单值分枝占据 轴上高为 ， 轴上向两边无限延伸的一个区域，无穷个单值分枝构成一个完整的 平面。
|
