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利用导数,如何研究函数的极值与最值?

 数海碎片 2024-03-27 发布于湖南
作为高中数学当之无愧的难点,导数的重要性不言而喻。
纵观近几年新高考试卷,与导数相关的问题,几乎每年都能成为高考热门考点,因2024年新高考题型调整,导数题的难度可能会降低,更侧重于基础题型的考察。
在高中阶段,导数作为研究函数单调性的工具,综合性较强,知识覆盖面较大,对函数图象、基本性质、不等式等基础性知识比较熟练,才能理解到位。
继上篇文章,利用导数,如何研究函数的单调性问题?本文接着这个话题谈导数,谈一谈如何研究函数的极值与最值。

一、基本原理

二、常见题型

三、注意事项

1、研究函数图象时,需看清楚是原函数,还是导函数的图象,分清楚它俩的区别。

2、导函数的变号零点,才能是极值点,非变号零点,并不是极值点。如基本原理中的例题,  左右两侧函数值没有变号,因此,它不是极值点。
3、极值不一定是最值,最值也并非是极值,有时能互相重合,通过比较极值与区间端点对应的函数值,才能找出最值。
4、有些导函数的零点,无法直接得出,只能得到相关代数式,这一类问题,可称之为“隐零点”问题,通过零点存在定理,获得其范围,再代入条件求解,如下图所示。

5、学习导数之前,最好先复习一下各大类函数图象,包括对含参函数的图像分析,要能达到手到擒来、不假思索的程度。
6、带有参数的导数题,难度通常比较大,主流方法有两种,第一分离参数法,第二直接法(分类讨论),不管使用哪一种方法,皆需借助数形结合思想,分析、拆解。
其实,当我们利用导数研究函数时,最好能将导函数图象画出来,这样,研究原函数的单调性,一目了然,这一点,从上述例题的解析中,就能观察出来。
导数,作为高中数学当之无愧的王者,与解析几何常年占据压轴题的位置,直至近两年才有所松动,其难度与综合性可想而知,但也不用过于担心,你不会,别人也不会,利用高考前最后这两个多月时间,将导数常规题型掌握,即单调性、极值与最值,足矣。
多数学校的高三,正在进行二轮复习,导数也已经复习过两次,若你实在学不会导数,甚至连基础知识与题型都没能理解,那也算啦,确实比较难,要学会进行取舍,高考的目的,是最大化地考取高分,而不是比谁做的题更多。
最后,送各位高三生一句话,

你考的不是试,是前途和暮年的欢喜,你桌面上的书本,是将来做选择时的意气和拒绝时的底气。


高考加油!

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