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"动张量"定理与"动能定理的分解"黎小鹿（南昌外国语学校） 黄亦斌（江西师范大学） 摘要：从牛顿第二定律出发，得到一个张量形式的新定理——“动张量”定理。还给出了其正交分解和斜交分解。通常所说的“动能定理分解式”实为动张量定理正交分解时的对角元分量。此外还给出了例题和相关分析。 关键词：动张量；动能定理；正交分解；斜交分解 "动能定理的分量式" 是否存在，一直是一个存在争议的问题。有人证明了该式，认为可以放心使用；有人认为动能和功是标量，不像矢量一样存在分量，故而“动能定理的分解或分量”是不合理的。而又有人认为，可以使用它，但不宜称为“分解”，而应换个词，如“折分”，以与矢量的分解区分开来。 本文从牛顿第二定律出发，得到一个张量形式的新定理，而式（1）即为其分量式，从而在内容和名分上都解决了上面这个争论已久的问题。 一、理论——动张量定理将牛顿第二定律两边跟位移作左乘和右乘的张量积（并矢），得 ,两式相加，利用, 得 这是一个张量形式的推论，可成为一个定理。但由于全新，尚无命名。可称左边 为“力位张量”，右边 为“动张量”，于是，该定理可称为“动张量定理”:质点所受的力位张量等于质点动张量的改变。 这里对其命名作一说明。力学中已有“位力”（维里）一词，即力与位置矢量内积的平均值之半，见于位力定理。此处有力和位移，为区别于位力，故命名为“力位”。至于张量 ，它描述的是质点的运动，其迹（trace） 即为动能的两倍。本可称其为“动能张量”，但怕勾起对动能的过多联想，故称为“动张量”。 力位张量和动张量都是对称张量，在二维空间有三个独立分量，在三维空间有六个独立分量。取直角坐标系（），式（2）的分量方程包括三个对角元方程 （以上为(3)式） 和三个非对角元方程 令上式为(4) 可以看出，对角元方程其实就是或褒或贬的“动能定理分解式”，把它们称为“动张量定理的对角元方程”就不会引起争议了。非对角元方程则罕见，但也仍不失“定理”资格。而且，三个对角元方程之和，或者说原张量方程的迹，正是我们熟悉的动能定理 二、斜交坐标系有人说，动能定理分量式只能用于正交分解，不能用于斜交分解。实际情况是，不存在“动能定理分解式”一说，有的是动张量定理的分解式，而它对于正交分解和斜交分解当然都适用。 取斜交坐标系（），此三个基矢都是单位矢量。动张量定理（2）的分量方程包括三个对角元方程 令以上为(5)式 和三个非对角元方程 令以上为(6)式 它们其实就是把直角坐标系的公式（3）-（4）中的脚标替换一下就可得到。三个对角元方程仍可以相加，得到 但由于此时不是正交分解，故此式左边并不是功，右边括号内也不是动能，但它确实成立。基于同样的理由，此式并不是动张量定理（2）的迹，因为迹（包括功和动能）作为坐标变换下的不变量（标量）：应该是协变分量与逆变分量缩并而得，而式（5)-（6）中其实只有逆变分量。 看一个题目：一个物体质量为 ，静止在一个光滑的水平面上，两个大小相等的水平恒力成 作用于此物体上，过一段时间后，物体速度为 ，在两个力的方向上都获得一定的速度 。如图1所示，则其中的一个力做了多少功？ 此题当然有简单做法：合力做的功显然是 ，而两力做功显然相等，故一个力做的功即为 。但此处就是想使用动张量方程。取图中两个方向为斜坐标轴的方向，将（合）力、位移和速度都按此做斜交分解，由动张量定理的对角元方程(5），即得 令以上为(7)式 注意所做的功并非 ，因为必须使用（合）位移：，利用几何关系 和式（7），即得正确结果。 三、例题如图2所示，一质量为 、电荷量为 的小球从距地面高为 的 A 点水平向右抛出。空间存在一水平向左的匀强电场，使得其落在地面上距抛出点水平距离 的 B 点，且速度方向竖直向下。重力加速度大小为 。求：（1）小球的初速度 ；（2）电场强度 的大小；（3）小球落地时的动能。  解：如图建立直角坐标系。则力 ，，位移 ，。初速度 ，末速度 。由动张量定理 取其 分量和 分量（3），分别得 取其 分量（4），得 而末态动能恰为动张量yy分量：。于是 综合解得 四、小结确实不宜谈论“动能定理分解式”，因为功和动能是标量，而只有矢量和二阶（高阶）张量才可以谈分量。对于显然成立且愿意使用的式（3)，它们不是动能定理，也不是什么“某方向的动能定理”，而是动张量定理的对角元分量。别忘了它还有非对角元分量，例题中已经用到了。本文的核心工作，就是为式（3）正名，给了其正确的名分。 直角坐标系中的确实可以称为分力的（元）功，因为正好是（合）位移在分力方向的正交投影。但斜交坐标系中的 却不是做的功，因为不是位移在分力 方向的正交投影。但无论是直角坐标系中的 还是斜交坐标系中的 都不是动能或"动能分量"，而是动张量的对角分量。有意见认为，能量均分定理 构成“分动能”概念成立的实例，其实仔细琢磨其推理过程会发现，全程完全无需动能分解这种概念，也未出现对应的“功的分解”。具体地说，各向同性给出 的只是其第二式正好跟动能相关而已，谈不上什么“分动能”。二次方出现得多的一个原因是数学上高斯积分可以有解析表达式。 |
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