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现在有个正方形原来很小，每秒钟长大一点点(极小)，我们如何知道它任意时刻的面积呢？比如这个正方形S，如果它要长大是不是只要a边b边同时向外扩张一点就可以了，如图是不是就长大了变成一个大正方形。   我们假设它原来就是一个点，每秒长大一点点(极小)，然后记录下来变成下面的图像y=a+b=2x，那么这个正方形和三角形的面积就是相等的。那么如何求三角形的面积就是积分。  那么最大的正方形面积等于最大的三角形面积F(x3)=x3*y3 / 2=2*x3*x3/2 = x3平方。 同理那么最小的正方形面积等于最小的三角形面积F(x1)等于x1平方。  那么n加q的面积就是F(x3) - F(x1),这个就是所谓的牛顿莱布尼茨公式。你了解了就不过如此。 就是等于把最小的正方形挖掉。 把正方形换成圆也是一样的。就是乘以常数π。半圆就乘以π/2，也就是你可以让它变成任意可以函数化的图形。  假设我们每秒增加的不是一个圆弧，而是一个圆平面y=π乘以x的平方。那么组成的物体是什么呢？没有错就是圆锥体。(四棱锥也一样)  那么x的每一个位置就等于圆锥体的一个截面积。从0到x的积分，就是这个圆锥体的体积等于底面积乘以高除以3。 那么如果y=x的立方呢？同理就是每秒增加的不是一个平面而是一个立方体。原理是一样的积分就是x的四次方除以4，以此类推每秒增加的N方体。积分就是x的N+1次方除以N+1，为什么积分是N+1次方除以N+1，下一集再讲。   微分就是这个正方形，圆，圆锥体，4维物体的切片。积分就是把这些切片组合起来求和。 所以微分就降维，积分就是升维。 这个其实就是我们自古以来的垛积术。只不过古代人不会考虑4维以上不存在的物体而已。  |
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