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在上一期RLC谐振电路（二）——电容元件的特性我们分析了电容元件的特性，现在继续分析电感元件的特性。
图1 电感器模型 电感器多种多样，但通常是由线圈构成的（图1）。电感器上电流i与磁链（全磁通）Ψ之间有如下关系：Ψ=Li（公式1），其中Ψ是磁链（全磁通），单位是韦伯（Wb）；i是电流，单位是安培（A）；L就是电感，单位是亨[利]（H），1H=1Wb/A，亨这个单位比较大，常用的单位是毫亨（mH）与微亨（μF），它们之间的换算关系是1H=10³mH=10^6μH。 与电阻、电容一样，电感也有线性、非线性之分，线性电感器的电感值L是一个常数，是电感器本身属性。后面的文章若无特殊说明，所述电感器均指线性理想电感器，理想指的是不存在内阻。 电感器上电流与电压的关系 电容器上的电流超前电压90°（参考RLC谐振电路（二）——电容元件的特性），那电感器上？我们从公式1入手分析。让电感流入一个正弦电流信号i(t)=ILsin(ωt+φi），则电感两端的电压u(t)=dΨ/dt=L*di(t)/dt=LωILcos(ωt+φi)=ULsin(ωt+φi+90°)=ULsin(ωt+φu)，即：u(t)=ULsin(ωt+φu)（公式2），其中：
由此可见：1.当流经电感器电流信号i(t)的幅值（Ic）为一固定值，电感器两端的电压信号u(t)的幅值（Uc）不是一个固定值，它与信号的频率（ω）有关；2.电感器上电压信号的相角超前电流信号90°——这点与电容正好相反（图2，图3）。
图2 电感上电流电压关系（时域）
图3 电感上电流电压关系（复平面） 实验验证 接下来，在CALK-1000电路分析实验套件的HA-MB03A电路分析实验板上搭建电路，使用HPI-1000多功能口袋仪器进行测量，通过实验验证一下在正弦信号激励下，电感器上电压是否超前电流90°。参考图4、图5搭建测量电路。
图4 电感上电流电压关系测量电路
图5 实际电路 我们把AO1信号源设置为6Vp-p，f=10kHz的正弦波作为输入信号Ui，打开示波器界面能够通过AB通道看到Ui信号与UL信号（图6）。
图6 Ui信号（黄色）与UL信号（绿色）波形（10kHz） 这时打开示波器右侧控制面板上通道相减运算开关（DIFF），就能得到A通道-B通道的信号，即Ui-UL（UR）信号（图7）。
图7 通道相减后的波形 图7所示波形就是UR信号波形，它的相位也就是电感器上电流信号的相位，对比图7与图6中绿色信号（UL信号），可以发现电压信号超前电流信号90°。如果想不明白为何UR信号的相位也就是电感器上电流信号的相位，可以参考RLC谐振电路（二）——电容元件的特性一文实验验证部分。Ui、UR、UL三个信号如果以相量表示，有如下关系：Ui=UR+UL，三者关系在复平面上如图8所示。
图8 三个信号的复平面表示 对比RLC谐振电路（二）——电容元件的特性中图10，再结合上面的分析，我们可知：电容器上电压滞后电流90°，电感器上电压超前电流90°。如果把电容器与电感器串接在同一个电路中，电容器上的电压信号Uc与电感器上的电压信号UL相位差为180°，呈现反相关系——这正是后面讲到的RLC串联谐振电路里面要研究的问题。 正弦信号的相量表示（2） 在RLC谐振电路（一）——电阻元件的特性一文的正弦信号的相量表示（1）中，我们介绍了正弦函数与相量之间的基本关系，今天继续深入讲解。 根据欧拉公式：e^jθ=cosθ+jsinθ，令θ=ωt+φ，于是有：e^jθ=cos(ωt+φ)+jsin(ωt+φ)（公式3）。 从公式3可以看出：
比如：一个正弦实函数y1(t)=Asin(ωt+φ)（公式4），根据欧拉公式可以写成如下形式：y1(t)=Im[Ae^j(ωt+φ)]=Im[Ae^jωt*e^jφ]=Im[A*e^jωt]，其中：A=Ae^jφ（公式5），公式5中的相量A是一个模为A，相角为φ的相量，在复平面上的形式如图9所示。
图9 y1(t)=Asin(ωt+φ)的相量表示 对比图9左边的相量A与右边的实函数y(t)，可以发现相量A包含函数y(t)中的幅值信息A与相角信息φ，但不包含频率信息ω。函数y(t)任意时刻的值等于该时刻相量A在虚轴（Im）上的投影，如：y1(t)|t=0=Asinφ。这一转换过程用动画表示则更为清晰（图10，GIF）。
图10 正弦函数的相量表示（GIF） 相量A的表示方法有以下3种：
以上三种表示是等价的。公式5中还有一项e^jωt，这一项称为旋转因子，任意相量与之相乘，相量的模不变，只是相角逆时针旋转ωt。 图9上相量A在虚轴上的投影及相角表示实函数y1(t)=Asin(ωt+φ)，那么在实轴上的投影及相角表示什么呢（图11）？
图11 两个正交函数的复平面表示 从图11可以看出，相量A在实轴上的投影及相角表示另一个实函数y2(t)=Acos(ωt+φ)，根据公式5，可以得到：y2(t)=Re[Ae^j(ωt+φ)]=Re[Ae^jωt*e^jφ]=Re[A*e^jωt]。我们称y1(t)与y2(t)这两个函数是正交的，二者具有y1(t)²+y2(t)²=A²的关系。 根据三角公式，正余弦形式可以相互转换，即：y1(t)=Asin(ωt+φ)=Acos(ωt+φ-90°)，那这个余弦形式用相量在复平面上如何表示呢（图12）？
图12 同一个函数正余弦形式的复平面表示 从图12可以看出，实函数y1(t)如果以余弦形式表示，在复平面上对应的是一个新的相量A' 在实轴上的投影及相角，相量A'=Aㄥφ-90°，它与相量A模相同，但相角落后90°。A/A' =ㄥφ-(φ-90°)=ㄥ90°=j=e^j90°，可见单位虚数j就是一个旋转因子。同理A'/A=ㄥ(φ-90°)-φ=ㄥ-90°=-j=e^j(-90°)。 由此可见，一个正弦实函数如果写成正弦形式，就可以用一个相量的虚部加以表示；如果写成余弦形式，就可以用一另个相量的实部加以表示；无论虚部或者是实部，都可以对应同一个实函数。 最后要强调的是：正弦实函数可以对应一个相量，但不难说这个正弦实函数等于一个相量，因此下面两种写法，上面的是正确的，下面的是错误的。
下一次讲解复阻抗的概念及应用，敬请期待。 参考资料： [1] 高继森等，《电路分析基础》，清华大学出版社 [2] 于歆杰等，《电路原理》，清华大学出版社 |
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