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数学性格快速测验：用带分数（一个整数加上一个真分数）表示的七又四分之一减四分之三等于多少？ 得到什么答案不重要，重要的是你如何得出答案；你的思维过程将揭示你是一个什么样的思想家。因此，请立即停止阅读，找到答案后继续阅读。 得到答案了吗？以下是两种常见的获取方式： 你可以将 7¼ 转换为 29/4，从中减去 3/4 得到 26/4，然后约分得到 13/2 或 6½。 或者，你可以推理，因为将两个数字各增加 1/4 不会改变它们之间的差（或者用日常术语来说，两个赤脚的人，如果都穿上 1/4 英寸的鞋子，他们的身高差不会改变），7¼ - 3/4 等于（7¼ + 1/4）-（3/4 + 1/4），等于 7½ - 1，即 6½。或者，你可以推理 7¼ - 3/4 等于 (7¼ − 1/4) - (3/4 − 1/4)，即 7 - 1/2，即 6½；相同的想法，相同的答案。如图所示：
红线的长度都相同，每条红线的长度等于数轴上与其端点相关的两个数字之间的差。 你是否用第二种方法解决了这个问题，将两个数字向上或向下推动？恭喜：你像德国人一样思考。但如果你用第一种方法解决问题，将带分数转换成假分数，那么我有坏消息：你像犹太人一样思考。¹ 这并不意味着实际上你是犹太人；你的一些数学老师可能是犹太人。你可能不知道他们当时是犹太人；他们可能有健康的雅利安人的外表和具有欺骗性的基督教名字。你可能还太年轻，没有意识到他们正在用犹太数学感染你。 当然，我在这里跟你开玩笑。我的开头几段鹦鹉学舌般地模仿了二十世纪早期德国数学家中一小群却举足轻重的思想，其中一位奥斯瓦尔德·泰希米勒 (Oswald Teichmüller，1913 - 1943) 继续写道： “许多学术课程，特别是微积分和积分，同时具有教育价值，不仅引导学生进入概念世界，而且引导学生进入不同的思维框架。但由于后者在很大程度上取决于个人的种族构成，因此雅利安学生不应被允许接受犹太教师的培训。” 泰希米勒在希特勒上台初期撰写的文章，解释了为什么哥廷根大学解雇所有犹太数学家是必要的（嘿，这不是个人恩怨！），其中包括他自己的前任老师艾美·诺特（Emmy Noether，1882 - 1935），他自己的一些工作正是基于她的工作进展。 我今年早些时候写过关于诺特的文章——请参阅我的文章《Plus and Times Set Free》（参阅 小乐数学科普：实现加乘自由——James Propp教授专栏 ）——在写那篇文章的过程中，我了解了很多关于1930年代之前的半个世纪德国犹太数学家的知识。那篇文章和这篇文章的参考文献中列出的文章非常有帮助。最后我省略了大部分收集到的材料，因为我的文章已经很长了。但在这里我将分享一些我学到的最令人大开眼界的事情。（如果你发现任何错误，请假设它们只是我个人的错误。）当你阅读时，请记住，我所说的关于20世纪初德国犹太人的经历也适用于其他时间、其他地方的其他人。
数学史学家大卫·罗（David Rowe，1950 -）写道：“一种标准的刻板印象认为，犹太人对数学有一种截然不同的思考方式，这种方式源于塔木德（犹太法典）传统，偏爱抽象理论，而忽视了与物理科学密切相关的领域。”与此同时，我在本文开头提出了一种刻板印象：犹太人的思维以缓慢的逻辑和计算在地面上艰难前行，而日耳曼人的思维则更加概念化。后一种刻板印象由德国心理学家、狂热的纳粹分子埃里希·鲁道夫·雅恩施 (Erich Rudolph Jaensch，1883 - 1940) 编纂而成，他将数学家分为 J 型和 S 型。（也许令人困惑的是，犹太人是 S 型，而不是 J 型。）根据 Jaensch 的说法，“整合型integrative”（J 型）日耳曼思维是概念性和几何性的，而“溶解型dissolutive”（S 型）犹太思维仅仅是逻辑性的。² 如果你对“概念”思维和“抽象”思维之间的区别感到困惑，那就是重点。拥有两种相反的刻板印象的好处是，你可以根据场合需要使用任何一种。（“你的想法是抽象的；我的是概念性的。”） 事实是，正如专业出庭律师可以盘问辩方证人，从而为控方支持案件（或根据需要反之亦然）一样，人类的思维非常擅长收买真相本身，扭曲证据以让它似乎支持我们已经相信的事情。例如，对 20 世纪初德国课堂教学法的详细研究表明，实际上大多数是犹太学生，而不是他们的基督徒同学，他们更喜欢第二种计算 7¼ - 3/4更快的方法。德国种族理论家最初可能会对这样的发现感到困惑，但随后得出结论，用问题“7 减 1/2 是多少？”替换问题“7¼ 减 3/4 是多少？”（用问题回答问题！）是一种技巧，而且是一种精明的技巧：犹太数学。本杰明·富兰克林（Benjamin Franklin，1706 - 1790）写道：“成为一个有理性的生物是一件多么方便的事情，因为它使一个人能够为他想做的每一件事找到或编造一个理由。”这尤其适用于将人类群体分类的活动；我们很容易看到不存在的模式，尤其是我们期望找到的模式。 数学家花费大量时间寻找模式，但数学进步的大部分日常工作都是演绎，在我之前的Teichmüller 引文中（“因此，不应允许雅利安学生接受犹太教师的训练”）人们可以听到演绎推理的扭曲回声。坚持数学事实的确定性可以使数学家放弃怀疑的习惯，在现实的非数学世界中可以帮助我们从做可怕事情的边缘拉回来。1923年，数学家特奥多尔·瓦伦 (Theodor Vahlen，1869 - 1945) 写道：“数学成为种族的一面镜子，证明了智力领域中种族品质的存在，可以说，数学是无可争议的确定性。”十年后，他加入了党卫军。
请允许我为你毁掉德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815 - 1897）对数学提出的著名而可爱的描述，即“一个不具备诗人气质的数学家永远不会成为一个完全的数学家。”这是一种多么美妙的方式来传达数学的艺术一面，对于世界上 99.99% 的人来说是看不见的，但对于我们这些追求数学冥思的人来说却如此重要！这里有一段更完整的引文，摘自魏尔斯特拉斯写给俄罗斯数学家苏菲亚‧柯瓦列夫斯卡娅（Sofia Kovalevskaya，旧文献常写成索尼娅·柯瓦列夫斯基Sonya Kovalevsky）的一封信，信中首先对犹太数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823 - 1891）进行了评价：“他有着许多聪明人特别是闪米特人常有的缺点；他没有足够的幻想（我更愿意说直觉）。确实，一个不具备诗人气质的数学家永远不会成为一个完全的数学家。比较是有启发性的：专注于最崇高理想的包罗万象的愿景以一种完全辉煌的方式将阿贝尔与雅可比、黎曼与同时代的爱森斯坦和罗森海恩以及亥姆霍兹与基尔霍夫（尽管后者没有一滴闪族血统）区分开来。” （阿贝尔是基督徒，雅可比是犹太人，黎曼是基督徒，等等）一个只知道著名的魏尔斯特拉斯名言而不了解反犹太主义的数学历史学家永远不会成为一个完全的数学史学家。
来自 chebfun 网页上魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的病态函数（处处连续处处不可微，zzllrr小乐译注） 但请稍等：当魏尔斯特拉斯本人承认两人都不是犹太人时，为什么还要将亥姆霍兹与基尔霍夫进行比较，以支持他关于种族与数学风格之间相关性的主张？这种不一致是类型学游戏的一个标志。魏尔斯特拉斯本人作为粗心直觉的批评者和严谨的支持者，可能会被雅恩施攻击为 S 型、热爱分解的数学家。事实上，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré，1854 - 1912）抱怨魏尔斯特拉斯（Weierstrass）向世界释放了违反直觉、无法用图表表示的函数（现在以他的名字命名），“在过去，当人们发明一种新函数时，他们会发现一些有用的东西；现在，他们故意发明它们，只是为了推翻我们祖先的推理。”谈谈“非有机”和“敌对”数学（借用Jaensch的弟子路德维希·比伯巴赫在描述S型时使用的两个词）！但无论如何，比伯巴赫找到了一种将魏尔斯特拉斯归类为 J 型的方法。用保罗·曼科苏（Paolo Mancosu，1960 -）的恰当话说，“比伯巴赫被迫进行大量的不公正划分，以确保重要的德国数学家不会最终站在等式的错误一边。” 德国人对独特的犹太数学风格的看法与菲利克斯·克莱因（Felix Klein，1849 - 1925）的观点不同：“似乎强烈的天真的空间直觉是条顿种族的一个显著特征，而批判性的、纯粹的逻辑感在拉丁语中得到了更充分的发展。亚历山大·冯·布里尔（Alexander von Brill，1842 - 1935）的“犹太人对日耳曼民族的影响就像酒精对个人的影响；小剂量时它们会令人兴奋和振奋，但大剂量时会像毒药一样具有破坏性”，然后是路德维希·比伯巴赫的“德国数学和犹太数学，两个世界，被一条不可逾越的鸿沟隔开。”请注意，克莱因将犹太人和“拉丁”民族混为一谈；这一时期的其他著作确定了更具体的民族风格。这一时期的一些著作避免了简单化的“我们的数学好；你们的数学不好”的氛围，而是提倡一种学术种族隔离。让一百种数学风格在世界各地绽放，但在祖国境内，让德国数学的绽放不被外来影响所破坏！（奇怪的是，犹太数学能够蓬勃发展的确切地点从未被明确指出。） 我的文章重点是（一些）德国人对犹太数学的评估，但要理解为什么这些德国人如此轻松地将数学家分为民族和种族类型，了解这种分类一种成熟的欧洲知识分子是有帮助的消遣。这是法国科学史家皮埃尔·杜汉 (Pierre Duhem，1861 - 1916) 的一个例子，在两次世界大战之间他撰文，对比了法国和德国的科学风格：“从明确的原则开始……然后耐心、艰苦地、一步步取得进展。演绎逻辑规则极其严格：这就是德国天才所擅长的……。德国人缺乏微妙的精神。”早在国家社会主义给民族主义带来坏名声之前，这种将我们的文化与他们的文化进行比较的游戏就在欧洲最豪华的沙龙中风靡一时。
有一段时间，艾美的主要职业障碍是她的性别，但一些德国数学家认为她对抽象的热爱是“希伯来式的”。与此同时，德国的反犹太主义正处于高度沸腾状态，如果温度再升高一点点，就会变得沸腾。在哥廷根尤其如此，这座大学城的本科生主要是右翼分子，人文学科教授也同情本科生。 1933年4月，德意志帝国内政部颁布了《恢复专业公务员制度法》，将纳粹政权的种族和政治“敌人”排除在一切形式的政府服务之外。该法令并没有自动将犹太教授开除，但它赋予大学开除他们的权利。诺特的学生担心她会被解雇，他们代表她写了一封信，辩称“她的学生都是雅利安人，这绝非巧合；这是由于她的数学基本概念，完全符合雅利安人的思维方式。”同样，她的合作者兼朋友赫尔穆特·哈斯（Helmut Hasse，1898 - 1979）写道：“在任何意义上都不能称她为数学'外星人’。相反，它具有一种很像典型的德国心态的品质，这种心态本质上偏爱知识分子、理论和理想，而不是目标、物质成功或现实等品质。从过去二十年里进入她学校的绝大多数德国数学家都是雅利安人血统就可以看出这一点。”突然之间，诺特的数学不再是希伯来语的了。 这并没有用；那年春天，诺特失去了职位，哥廷根的大多数其他犹太数学家也失去了职位。她尊敬的同事埃德蒙·兰道 (Edmund Landau，1877 - 1938) 坚持了一段时间，但在秋天，泰希米勒 (Teichmüller) 领导了学生抵制兰道的讲座，到 1934 年 2 月，兰道也离开了。同年晚些时候，纳粹文化部长询问哥廷根最著名的数学家、诺特的拥护者大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943），数学研究所是否真的因为犹太教员被驱逐而遭受困难。希尔伯特回答道：“受难？部长先生，数学所并没有遭受困难。它只是不再存在了。” 希尔伯特的阴暗俏皮话并不完全正确。人们仍然到研究所工作。它的新任主任是哈塞，一位老派的德国民族主义者，他不喜欢泰希米勒及其追随者的反犹太主义，但他认为希特勒是唯一能让德国恢复昔日辉煌的人。哈塞在物理意义上保持了研究所的灯火通明，但曾经在哥廷根的数学学习火炬已经熄灭，再也没有被重新点燃。 那一年，美国年轻数学家桑德斯·麦克兰恩（Saunders Mac Lane，1909 - 2005）在哥廷根攻读博士学位，他在前排目睹了数学研究所的消亡，他的回忆录《纳粹统治下的哥廷根数学》非常值得通读一番。有两段话让我印象深刻。其中之一是他的结论性评价：“现在回想起来，整个事态发展决定性地表明，任何对民粹主义、政治压力和拟议政治原则的服从都会对学术和数学生活造成损害。”另一篇是他 1933 年写给母亲的一封信中的一段话。“我最近对纳粹运动内部存在的众多观点感到印象深刻。所有纳粹分子的想法并不相同，尽管表面上看起来他们的想法是一样的！”如果我处在年轻的桑德斯的立场上，我可能会对这种观点的多样性感到安慰，他认为一个由如此不同的同伙组成的政党会在内部争吵中消耗能量，而不会取得多大成就。 但在这一点上我就犯了悲惨的错误。尽管纳粹意识形态存在许多矛盾，但该党对权力的控制随着时间的推移而不断巩固。事实证明，对二十年前德国屈辱的怨恨和对复仇的渴望足以将运动凝聚在一起，特别是当政权了解到哪些群体是人民愤怒的最佳目标时。比伯巴赫认为犹太数学和德国数学之间的鸿沟无法弥合，但与此同时，老式民族主义、狂热的反犹太主义、异教神秘主义和愤世嫉俗的机会主义之间的鸿沟被证明是可以弥合的。 艾美·诺特 (Emmy Noether) 是幸运儿之一。她搬到了美国，在那里度过了几年快乐的时光，直到癌症结束了她的生命。她的兄弟弗里茨就没那么幸运了。尽管他在第一次世界大战中的服役经历使他有资格免受 1933 年法律的约束，但弗里茨任教的布雷斯劳大学的一些学生告诉该大学的 Rektor，让诺特担任教师“在很大程度上违背了雅利安原则”。同年晚些时候，学生们发起了激烈的争论，指责弗里茨持有左翼政治观点。意识到自己在德国没有前途，弗里茨搬到了俄罗斯。他于1938年被监禁，并于1941年因莫须有的反苏煽动罪被处决（1988年被撤销为毫无根据）。 讽刺的是，战后，诺特开创的抽象代数风格并不被称为“犹太数学”；而是被称为“德国数学”。再后来，布尔巴基掌握了它之后，这种方法就被认为是法国的。在诺特和布尔巴基工作的基础上，桑德斯·麦克兰恩建立了一种新的超抽象数学方法，称为范畴论（category theory）。据我所知，没有人称其为苏格兰数学（尚未）。话又说回来，麦克兰恩在这项事业中的合作者是塞缪尔·艾伦伯格（Samuel Eilenberg，1913 - 1998），因此，最终有人一定会称范畴论为“犹太数学”。
品味在数学和艺术中发挥着同样重要的作用，决定了数学家的风格和项目选择，年轻的数学家在发展自己的个人数学品味时会向前辈学习。从广义上讲，这种趋势催生了数学思想流派，而犹太数学家和其他人一样受到时尚的支配。对抽象的追求就是这样一种时尚。一些二十世纪初的数学家嘲笑这种探索是一种时尚。如果是这样，那就证明它是一种耐用的东西。也许犹太数学家有成为这种时尚先锋的趋势，就像他们在各种政治和艺术运动中处于先锋地位一样，也许是因为与犹太文化有关的原因。人们可能会尝试遵循这一思路，但如果它从文化研究领域进入生物决定论领域，我建议尽快跳下火车。这条特殊的轨道通向一个宽阔的仓库，中间有一座矮塔。 让我们回到我开头的例子，关于“德国”和“犹太”计算 7¼ 减 3/4 的方法。这个例子可以追溯到一位名叫斯特克尔（Steckel）的学生（显然他对数学教育比对数学研究更感兴趣），他曾在东欧做过一些教学，并在1910年左右的某个时候在菲利克斯·克莱因（Felix Klein，1849 - 1925）的研讨会“数学的心理基础”中描述了自己的经历。数学史学家大卫·罗（David Rowe，1950 -）表示，斯特克尔的演讲“毫无疑问是为了说明通常的刻板印象，即犹太人擅长逻辑思维，而德国人则靠直觉思考”，这似乎是有可能的。但是，如果（假设）施特克尔把他的观察结果视为种族差异化教育的论据，而不是庆祝德国优越性的理由呢？如果斯特克尔梦想着一个田园诗般的未来，每个学生都将按照他或她自己祖先独特且有价值的认知方式接受教育，结果会怎样呢？如果斯特克尔无意让任何教师失去工作或任何人失去生命又会怎样呢？ 我的回答是，这根本没有什么区别。像斯特克尔这样的本质主义思想有自己的生命力，并且可以传播到远离其起源的环境中，呈现出其创始人原本无意为之的含义。（事实上，纳粹党的一些官方种族意识形态是几十年前从美国种族理论家那里借来的。）斯特克尔的刻板印象只是大溪流中的一条小溪。没有任何一条小溪对溪流做出明显的贡献，但如果没有小溪，就不会有溪流。 社会科学家争论刻板印象是否会导致迫害，我不是社会科学家，但在我看来，当我们说某些其他人不像我们时，这可能偶尔帮助我们了解他们是谁，但也可以让我们将他们视为低人一等的人，甚至将他们视为非人。灭绝人性往往是授权人们从仇恨言论转向仇恨行动的最后一步。 因此，我对“我们如何讨论分歧？”这个问题提出的答案（不是很有帮助！）就是：非常非常小心。无论你的意图多么崇高，当你广泛传播一些有关一个群体的概括结论时，它就不再是你的，而变成了世界的，你无法知道有一天你的话语可能意味着什么。 感谢桑迪·古宾（Sandi Gubin）。
#2. 在以后的文章中，我将论证 19 世纪末最具综合性的德国数学家实际上是无可争议的犹太人赫尔曼·闵可夫斯基 (Hermann Minkowski，1864 - 1909)，他不仅为我们提供了数字几何和形状算术，而且还为统一数学奠定了基础。空间和时间！但你必须等待才能读到这个故事。
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