与解三角形有关11定理

一、正切分式定理

1、什么是正切分式定理？

正切分式定理： 如图1，在非直角的 中，三个内角 ，， 的对边分别为 ，，，则有如下二级结论成立

图1

证明：

再由余弦定理得

所以

其余等式同理可证 .

2、正切分式定理典型应用

【典例1】 在 中，，则 ________ .

解析： 由正弦定理可得

再由正切恒等式

则

【典例2】 在锐角 中，，则 ________ .

解析：

由正切分式定理可得

又 ，所以

二、正切定理

1、什么是正切定理？

正切定理： 在 中，三个内角 ，， 的对边分别为 ，，，则有如下二级结论成立

证法1：正弦定理 和差化积

证法2：几何法

如图2  所示，在三角形 中，延长 到 ，使 ， 是 中点，则 垂直 。

图2

平行 ，所以

因为相似三角形

所以

因为三角形内角和

所以

2、正切定理典型应用

【典例3】 在三角形 中，，，求

解析： 由正切定理得

所以

所以 .

三、正弦平方差与倍角三角形

1、什么是正余弦平方差和倍角三角形？

正余弦平方差公式：

证明：

衍生模型（倍角三角形）： 在 中， 是 的充要条件.

证明

充分性： 当 时，由正弦定理得 ，

由正弦平方差公式得

由 得 ，所以 ，

又 ，所以 或 （舍去），

故   .

必要性：

由正弦定理得

由余弦定理得

所以

所以 或

注意：   ， ，所以 ，则 ；若此三角形为锐角三角形，则

2、倍角三角形典型应用

【典例4】（24届顺德区高三一模T21） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知

（1） 若 ，求角 ；

（2） 证明：（i） ；（ii）

解析：

（1） 因为

由正弦定理得

由余弦定理得

所以有

因为 ，所以 ，即

因为 ，所以

（2） （i） 由倍角三角形模型即可得 ；

（ii） 由 （i） 得

因为 ，令

记 ，

因为

由 得 ，

由 得

所以 在 上递增，在   上递减

因为 ，所以 ，所以

【典例5】 设锐角 的三个内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ，， 则 周长的取值范围为

解析： 因为 为锐角三角形，所以

所以 ，

又因为 ，所以 ，又因为 ，所以

因为 ，

所以

所以 ，令

又因为函数 在 上单调递增

所以函数值域为

【典例6】 已知 的三个内角 ，， 的对边分别为 ，，，若 ， 则 的取值范围为______ .

解析： 由正弦定理可知

又 ，则

从而

又 ，知 ，所以

则 ，换元可令

则

故本题应填

四、张角定理

1、什么是张角定理？

张角定理： 如图3，在 中， 是 上的一点，连结 ，则有

逆定理： 如果 ，那么 三点共线。

图3

证法1：等面积法

如图1，在 中，三个内角 的对边分别为 ，设 ，，

因为

所以

等式两边同时除以 得

当   平分 时，，所以

证法2：正弦定理

……①

……②

……③

……④

由①②得，，，

从而 ……⑤

由③④得，，

将以上两式相加得

并将⑤代入即可得

证法3：分角定理

由分角定理，

则 ……①

则 ……②

①式 ②式即得

注：  分角定理是指 在 中， 是边 上异于 或其延长线上的一点，连结 ，则有

2、角平分线遇到张角定理的两个推论

推论1： 在张角定理的条件下，且 平分 ， 即 ，则

即

证明: 代入张角定理即可得，略 .

推论2： 在张角定理的条件下，且 平分 ， 即 ，则

证明: 记在 中，三个内角 的对边分别为 ，

由 推论1 得：

所以 （当且仅当 时去等号）

所以

即

所以

3、张角定理典型应用

【典例7】 在 中角 所的分别为 ， 是 的角平分线，若 ，，则 的最小值为___.

解析： 因为 是 的角平分线

由张角定理得：

即

所以

当且仅当 ，即 时取等号

【典例8】 在 中角 所的分别为 ，且 ，点 在线段 上，且 ，，则 的值为___.

解析： 因为 ，

所以由正弦定理得:

即

所以 ，

因为 ，所以 ，因为 ，所以

因为 ，所以

在 中，

由角平分线张角定理得：

即

解得： 或 （舍去）

【典例9】 在 中角 所的分别为 ，且 ，， 平分 交 于点 ， ，则 的面积的最小值为___.

解析： 因为 平分 ，

所以

所以

五、托勒密定理

1、什么是托勒密定理？

托勒密定理： 圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.

即，如下,4，若四边形 内接于圆 ，则有

图4

证明： 利用余弦定理即可

因为四边形 内接于圆 ，所以

所以

在 中，由余弦定理得：

在 中，由余弦定理得：

所以   得

由于

所以

同理

所以

即

广义托勒密定理： 在四边形 内，有 ，并且仅当四边形 内接于圆时取等号。该不等式又称为托勒密不等式。

2、托勒密定理典型应用

【典例10】 如图5，在平面四边形 中，，，，，当 变化时，对角线 的最大值为_____.

图5

解析： 由托勒密不等式，

所以

所以

【典例11】 已知平面四边形 是由 与等腰直角 拼接而成，其中 ，，，则当点 到点 的距离最大时，角 的大小为_____.

解析： 由托勒密不等式，

因为 为等腰直角三角形，所以

所以

当点 到点 的距离最大时，也即托勒密不等式取等号时，即四边形 四点共圆时，所以

六、梅氏定理

1、什么是梅氏定理？

梅涅劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家 . 梅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理 .

梅氏定理： 、、 分别是 三边所在直线 、、 上的点则 、、 共线的充分必要条件是

注： 根据定理的条件可以画出如下所示的两个图形：

图6

、、 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；

图7

、、 三点分别都在三角形三边的延长线上.

证明： 如图6、7所示，设 、、 到直线 的距离分别为 、、 .

（1） 先证明必要性，即若、、 三点共线，则

因为 ，，

三式相乘得

（2） 再证明充分性，即若

则 、、 三点共线 .

设直线 交 于 ，由已证必要性得：

又因为

所以

因为 和 或同在 线段上，或同在 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以 和 比重合为一点，也就是 、、 三点共线 .

2、梅氏定理典型应用

【典例12】 如图8，在 中， 是 的中点， 在边 上，， 与 交于点 ，若

则 的值是________ .

图8

解析：

，得 ，则

是 的中点，所以

由梅涅劳斯定理，得

由定比分点向量公式，得

则

故

【典例13】 如图9，在在凸四边形 中，对边 的延长线交于点 ，对边 的延长线交于点 ，若 ，， ，则（    ）

的最大值为

图9

解析：

对于 选项，由定比分点向量公式，，，故  正确 .

对于 选项，由梅涅劳斯定理，

故  正确 .

对于 选项，

当且仅当 时取等号，故 不正确

对于 选项，

当且仅当 时取等号，

故  正确 .

七、内角平分线定理

【三角形角平分线定理】 三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例 ．如下图10，在 中， 平分 ，则 ．

图10

证明

1、面积法

又 和  是等高三角形，面积的比等于底的比，

即三角形 面积 ：三角形 面积

即

2、相似法

如图10，过 作 交 的延长线于 ，则

所以 ，又可证明

，．

3、正弦定理

，

因为

【典例14】 在 中，点 在线段 上， 平分 ，若 ，，，则 ________ .

解析： 在 中，

平分

由内角平分线定得 ，即

，

在 中，由余弦定理得

在 中，

八、三角形边与面积的比值关系

如下图11，已知 的三个内角 、、 的对边分别为 、、， 平分 ，则有

图11

【典例15】 在 中，，， 平分 ，且 ，则 的面积为________ .

解析： 平分

，即

九、角平分线长公式

如下图12，已知 的三个内角 、、 的对边分别为 、、， 平分 ，则有

图12

【典例16】 在 中，三个内角 、、 的对边分别为 、、，， 的角平分线交 于点 ，，则 的最小值为________ .

解析： 平分

即

 即

当且仅当 时取等号

的最小值为

十、角平分线库斯顿定理

如下图13，已知 的三个内角 、、 的对边分别为 、、， 平分 ，则有

图13

【典例17】 在 中，，，， 的角平分线交 于点 ，则 ________ .

解析：

，

平分

由内角平分线定理得

即

，

由角平分线库斯顿定理得

即

十一、中线长定理

中线长定理： 如图 14，在三角形 中， 为 边上的中线，则

图 14

【典例18（九省联考T8）】 设双曲线 左、右焦点分别为 ，，过坐标原点的直线与 交于 ， 两点，，，则 的离心率为（）

图 15

解析： 如图 15，易知四边形 为平行四边形

，

，

，

由极化恒等式可知

由中线长定理可得

所以

整理得 ，所以 .

注： 此题中用到两个恒等式，一是极化恒等式，二是中线长定理。