【原】​平均速率和方均根速率

平均速率、方均根速率和最概然速率是表征气体粒子微观运动的统计规律的三个重要的物理量。

在上一个问题中，我们写下了麦克斯韦速率分布的函数式，验证了麦克斯韦速率分布满足归一化条件。利用验证归一化条件时实施的数学处理方法，得到了两个重要的积分公式：

接下来，我们将在这个基础上推导两个微观物理量的统计平均。

一个最迫切要求的物理量是速率的平方的平均值。从前面的讨论中我们已经认识到，这个物理量与宏观物理量压强和温度直接联系起来。根据速率分布函数的物理意义，速率的平方的平均值可以这样计算：

做与归一化积分相同的变量替换：

积分变成如下形式：

对等式右边的纯数学积分做一次分部积分：

由此得到了粒子的速率的平方的平均值：

于是，气体粒子的微观运动能量的平均值：

这正是在《温度的本质》一文中给出的结果，当时，我们将宏观实验结果与用理想气体的微观模型推导出的压强公式做比较，从而得到了这个结果。

对速率的平方的平均值做开平方运算，就得到一个重要的物理量：(平) 方 (平) 均 (的平方) 根速率：

速率的下标 rms 是英文 root mean square 的缩写。

在计算上述平均值的过程中，我们得到一个重要的积分公式 。受这个公式的计算方法的启发，可以对自变量的任意偶次幂计算如下积分：

对这个积分实施若干次分部积分后，最终可以得到

第二个令人感兴趣的物理量是速率的平均值。仿照速率平方的平均值的计算方法，速率的平均值可以这样计算：

做与上述相同的变量替换，平均速率的计算式变成

对等式右边的积分做一次分部积分：

其中的积分是一种最常见的积分，很容易得到积分结果：

于是，速率的平均值

与自变量的任意偶次幂的积分 相似，可以用分部积分的方法求出自变量的任意奇次幂的积分：

对积分实施若干次分部积分后，最终可以得到

方均根速率和平均速率是气体粒子的速率按不同的平均方式求出的平均值，它们与最概然速率一起，是表征气体粒子微观运动的统计规律的三个重要的物理量。在《麦克斯韦速率分布》一文中，已经定性地给出了这三个特征速率之间的数值关系。