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120º角常常会在平面几何问题中出现，当三角形内含120º角时，会使图形具有相应的特殊性质，在求解相关问题时就会有小窍门。今选编三例内含120º角的几何题，大家一起来说说： 【例一】（如图）正三角形△ABC，点D为其内一点，连BD、CD，且∠BDC=120º，点E为边BC的中点，连DE，求证：AD=2DE  【简解】 （1）延长DE至G，使DE=EG，即：DG=2DE，∴BGCD为平行四边形，BD=CG，∠DCG=60º （2）在CD上取点F，使CF=CG，连FG、FB，则：△GCF为正三角形，∴GC=CF=FG=BD （3）由已知得：∠ABD=60º－∠DBC=∠BCF，△ABD与△BCF中，又：AB=BC，BD=CF，∴△ABD≌△BCF，AD=BF （4）在四边形BGFD中，DF∥BG，BD=FG，∴BGFD为等腰梯形，∴DG=FB，即：AD=DG （5）由DG=2DE得，AD=2DE 【例二】（如图）△ABC为正三角形，AB=1，M为BC边上一点，且BM=4MC，连AM，N为AM上一点，∠BNC=120º，求：线段AN的长  【简解】 （1）作△BCN的外接圆⊙O，连半径OB、OC，∠BOC=120º，∠BCO=∠CBO=30º，∠ACO=90º （2）由已知得：BM=4/5，MC=1/5，在△ABM中可求得：AM=√21/5，延长AM交⊙O于点P， （3）设：AN=x，MN=√21/5－x，由相交弦定理：NM×MP=BM×MC，（√21/5－x）MP=4/25 （4）由∠OCA=90º，∴AC相切⊙O，由切割线定理得：x（√21/5＋MP）=1 （5）由上两个方程联立解得：x=√21/7，即：线段AN的长为√21/7。 【例三】（如图）在△ABC中，∠BAC=60º，AB=9，AC=10，D为其内一点，∠BDC=120º，BD/DC=3/2，求：线段AD的长。  【分析】 （1）以BC为边向下作正△BCQ，连DQ，则有点B、Q、C、D共圆，∠BDQ=∠CDQ=60º，由托勒密定理得：DQ=BD＋CD，设：BD=9k，则：CD=6K，∴DQ=15K （2）在DQ上取点P，使DP：DQ=2：3，∴DP=10k，得△BAC∽△BDP，∴∠ABC=∠DBP，∴AB/BD=BC/BP，易得：△ABD∽△CBP （3）由△ABD∽△CBP可得：AB/AD=BC/PC，AD=9×PC/BC （4）△BDQ与△CDP中，BD/DQ=9K/15k=3/5，而CD/DP=6k/10k=3/5，且∠BDQ=∠CDP=60º，∴△BDQ∽△CDP，∴PC/BQ=2/3，由：BQ=BC，∴PC/BC=2/3 （5）由AD=9×PC/BC，所以：线段AD长为6 以上三例之分析，“道听度说”供参考。 |
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