全等三角形模型主要涵盖以下五类：轴对称型、中心对称型、一线三直角型、“手拉手型”(共顶点旋转三角形)以及半角模型。以上五类模型都源自教材、配套练习册以及中考真题，掌握以上五种基本模型以及向衍生的变式模型，那么对于中考中与全等相关的几何证明或几何压轴题就比较容易了。轴对称型主要分为两种：一种是以公共边为对称轴的“轴对称型”，还有一种是以公共顶点所在直线为对称轴的“轴对称型”。
对于例1所示的全等三角形的证明，根据已知条件以及公共边，即可利用S.A.S判定进行证明。
对于例2所示的全等三角形的证明，根据已知条件以及再证明一对公共角，即可利用S.A.S判定进行证明。等腰三角形的三线合一是“轴对称型”的典型应用，在一些几何证明题中，我们可以把一些图形“补”成“三线合一型”，再通过全等三角形的性质证明边角之间的数量关系。
当题目中出现了“不在同一直线上的线段的和差关系”以及“角平分线背景”时，就可以利用“截长补短”法构造全等三角形，从而实现线段的转化。
中心对称型主要是指三角形绕着某一中心旋转180°后的图形与本身重合，“重心对称型”也是常见辅助线“倍长中线法”的由来。
对于例3所示的全等三角形的证明，根据已知条件以及平行线的性质可得∠D=∠C，再结合对顶角，中点的意义，利用A.S.A证明两个三角形全等。当题目背景中出现中点或中线时，往往可以采取“倍长中线”或作平行线的方式构造全等三角形，从而证明边或角之间的等量关系。
一线三直角型的特点主要是“一条直线上有三个直角”，在全等模型中常常体现在等腰三角形背景或正方形背景。
对于例4所示的全等三角形的证明，根据已知条件以同角的余角想的，可得∠D=∠BAE，利用A.A.S可以证明三角形全等。对于平面直角坐标系中等腰直角三角形和正方形的存在性问题，往往可以利用“一线三直角模型”向x轴或y轴作垂线，从而构造两个全等的直角三角形，进行边的转化。
手拉手型又被称为“共顶点旋转三角形”，指的是两个顶角相等的等腰三角形通过绕顶点旋转后所形成的全等三角形。
由△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，则△BAD与△CAE全等，即∠ADB=∠AEC=135°，则BE⊥CE.
半角模型常常在正方形或者等腰直角三角形中出现，即出现45°角，往往可以通过旋转的方式，二次证明三角形全等，从而实现边的转化。
本题第一问需要寻找DE、BF和EF的数量关系，由于BF、DE、EF不在一直线上，因此需要进行线段的转换，由于AD=AB，因此考虑旋转△ADE，使AD与AB重合，得△ABG，再证明△ABG≌△AEF，达到线段转化的目的。
本题的问题背景是△ABC是等腰直角三角形，并且以直角顶点C作45°角：∠ECF，从而判定AE、EF和BF之间的大小关系，以及能否以EF为斜边组成直角三角形。本题的突破口在于90°直角以及以直角顶点作45°角，AC=BC，这样的“半角特点”，可以考虑利用旋转或翻折进行辅助线的添加，从而将AE、EF、BF转化到一个三角形中，并且这个三角形是直角三角形，利用斜边大于任意两条直角边，便可将这个问题迎刃而解。
与半角模型相关的问题变式较多，除了练习7外，可以在文末点击“阅读全文”进行进一步学习。
|
