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问题：一辆汽车从甲地开往乙地，平均速度为40千米/小时，返回时平均速度为60千米/小时，求这辆汽车往返两地的平均速度。 多数学生的做法是（40+60）÷2=50（千米/小时），那么问题出在哪儿呢？这让我想起另外一道题：在五年级一班学生爱心捐款活动中，12名女生平均每人捐5元，20名男生平均每人捐5.5元。全班平均每人捐款多少元？用(5+5.5)÷2=5.25（元）吗？这样做显然不对。因为如果我们用这个平均数去乘总人数，得到5.25×（12+20）=168（元）。而女生捐款总钱数为12×5=60（元），男生捐款总钱数为20×5.5=110（元），捐款总钱数为110+60=170（元）与刚才算的总钱数168元不一样。问题出在哪里？是的，对平均数的意义理解不清晰，本质不透彻造成的。 平均数是用总数量除以总份数，要求全班平均每人捐款数，就要用全班总钱数去除以全班总人数，即（12×5+20×5.5）÷（12+20）=5.3125（元）。的确，这道题到这里也就处理完了。但个人认为，如再能加以变式进行探索，对于学生的认知结构与思维形成都有很大帮助。 可以把题目条件改为“在五年级二班学生爱心捐款活动中，五（2）班20名女生平均每人捐5元，20名男生平均每人捐5.5元。全班平均每人捐款多少元？”该怎么做呢？这时学生就会马上列出算式：（20×5+20×5.5）÷（20+20）=5.25（元）。这时就可以很疑惑的问学生：这样计算的结果怎么和（5+5.5）÷2计算结果一样呢？是不是巧合，还是另有原因？ 引导孩子通过对比发现这两题不相同的是：原来的题目是五（1）班有12名女生和20名男生，而这道题是五（2）班的男女生都是20名。于是他们就会产生疑问：是不是男生人数与女生人数相同时，就可以把两个平均数相加再除以二得到全班的平均数呢？此时就要进行引导：我们可以通过举例的方法来验证我们的猜想是否正确。 学生通过举例验证后就会发现，当两部分的数量相同时，就可以把两个部分的平均量相加再除以二得到总量的平均量，当两部分的数量不同时，就要用总数量除以总份数来求平均量了。这在无形当中对学生进行了加权平均数的教学渗透，也为以后的平均数学习做好了基础。 再回到开始时的题目，40千米/小时是去时的平均速度，60千米/小时是回来时的平均速度，如果去时和回来时所用的时间是相同的，就可以用（40+60）÷2来进行计算。显然，在这道题中，路程是不变的，速度发生了变化，那么时间必然跟着发生变化。因此，就需要用总数量除以总份数来求平均数了。不妨采用假设法，假设甲乙两地间的路程为120千米，那么往返的总路程为240千米，总时间为120÷40+120÷60=5小时，则往返的平均速度为240÷5=48千米/小时。 对数学知识的认识，有时候只需要向前走一步，便可以做到窥全貌的效果，形成了对平均数的系统化认识，从而实现提升数学思维能力的目的。 |
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