解题新思路！特值法在几何最值问题中的神奇应用实例剖析

一定想不到这道题还可以用特值法

摘要

这篇文章探讨了特值法在解决几何最值问题中的应用。通过分析一个经典的几何最值问题，作者展示了如何使用特值法和几何证明法来求解。文章强调了特值法在简化问题和节省时间方面的优势，同时也指出了对几何基础知识深刻理解的重要性。

• 特值法应用: 文章通过一个几何最值问题展示了特值法的应用。
• 几何证明法: 作者还使用几何证明法来分析同一问题，验证特值法的正确性。
• 几何知识理解: 强调了深刻理解几何基础知识对于运用特值法的重要性。
• 问题简化: 讨论了特值法如何帮助在考试中快速解决问题。

关键词

特值法,     几何最值问题     几何证明法     问题简化

引言

什么是特值法？百度百科给出的定义如下：

这个特殊值应该满足的条件：首先，无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响；其次，这个量应该要跟最终结果所要求的量有相对紧密的联系；最后，这个量在整个题干中给出的等量关系是一个不可或缺的量。

几何问题能用特值法吗？什么样的问题能用特值法？或许读完这篇文章能给你一点点小小的启发。

我将通过一道比较经典的几何最值问题，用特值法和几何证明法两种方法来分析解决这道题，先看题目。

原题呈现

如图，在四边形 中，,,点和点分别是和的中点，和的延长线交于点 ,则 面积的最大值等于________

   

图1

特值法

分析

如果这个题目没配图，现在请你自己动手试试去按照这个题目的意思去画图，你画出来的什么样子？很有可能1000个人有1000个不同的图。很有可能有下面样子的图。

   

图2

   

图3

那么下面这样的图是否符合题目要求呢？

   

图4

   

图5

图4和图5也符合题目要求，题目只说了对角线的位置关系为垂直，且对角线的和为10.所以满足这两个要求的图形都应该满足题目要求。可能有读者会说这两个图都不是四边形了，是三角形。但是三角形也可以看出是特殊的四边形，即有一条边长为0的四边形。

接下来具体分析能用是怎么想到用图5这样的特殊位置关系来求解题的。题目给定的能限制形状的条件只有,以及。题目没有说明AC与BD的交点O将AC和BD分别在AC、BD线段上的什么位置，即AO和OC的比，以及DO和OB的比也位置。如果要确定一个四边形的形状，除了需要给定四边形对角线的长度、对角线之间的夹角，还需要给定对角线交点相对于两条对角线的位置。此题尚未给出。那么此题的已知量只有对角线的长度关系、对角线的夹角。未知量有其中一条对角线的长（因为如果知道了其中一条对角线的长，另外一条对角线的长度就能根据题目给的已知求出另一条对角线。）、AO与OC的比、BO与OD的比。那么为什么有这么多未知量还可以求最值呢？我们做一下简单猜想。题目是要求面积。而题目已知四边形ABCD的对角线，那么很显然,也就是说四边形ABCD的面积与AO与OC的比、BO与OD的比无关。从而可以猜想要求的应该与AO与OC的比、BO与OD的比无关。所以我们可以将这个比取一个特殊比值，让我们求解此题更简单。最为特殊的比值就是,即AC与BD的交点在在AC和BC的端点A、B处，即A、D、O三点重合。从也能看出其实这个四边形的面积与直角边为AC、BD的直角三角形的面积是一样的，这样特殊化处理不影响四边形ABCD的面积。

接下来我们用GeoGebra来验证这些猜想！请看下面动图。

   

动图1

从这个动图能看出改变点O相对于AC和BD的位置并不改变面积大小，所以猜想是正确的。下面用此特值法求解。

详解

   

图5

如图当点A、O、D重合是BA和CD的延长线的交点也会与点A、O、D重合，即点A、点O、点D、点P四点重合。因为点M、N为AB、AC的中点， 有AC+BD=10即AC+AB=10 所以AM+AN=5故

几何证明法

分析

要求的最大值，那就会想，这个的面积可以怎样表示出来？用三角形面积公式？很显然高和底的关系不好搞定。由和点分别是和的中点可以想到常做辅助线的方法，有中点可以作中线或中位线，所以就会想到连接AM、DN。这样就出现了四边形AMND。但是好像还是与的面积没什么联系。那再作中位线试试，作AD的中点E，连接ME和NE。则、。所以根据同底等高、，所以

再看题目题目已知,就会联想到菱形的面积=对角线乘积的一半。这个四边形ABCD的面积和可以用菱形的这个面积公式的推导方法推出和。所以

   

图6

详解

作AD的中点E，连接AM、DN、PE、ME、NE。


同理
、

   

动图2

小结

通过特值法和几何证明法解决这道题，发现其实最值都将的面积转化为了，从另一个角度证明了开始的猜想是正确的，就是这个的面积与对角线交点O的位置无关。要用特值法解决这个问题，推断出这一点至关重要。

• 不要觉得这个特值法是投机取巧，其实是对这个题目有深刻的认识和对面已知条件深度挖掘后才能想到的。只有对几何基础知识有深刻的理解，才会想到这个特值法。其实这种能力就是课标中所说的几何直观。
• 几何证明法中辅助线的做法是常用的做辅助线的方法。见中点想中线和中位线。
• 通过这个题目可以总结一条很用的知识就是四边形ABCD中，如果对角线,则。通过这个面积公式，可以得出如果从面积的计算角度来看，对角线垂直的四边形和直角三角形是等价的。这就和从拓扑学的角度看，茶杯和甜甜圈是等价的一样。

特值法能快速的解决很多数学问题，特别是考试的时候，因为限定时间，在做选择和填空题时，如果能用特值法做，尽量用这个方法去做，可能能给考生争取很多宝贵的好时间！

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