【原】四边形综合题，重心与相似三角形简单，但求动线段扫过的面积是难点！

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在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，E为BC边上的动点，过点E作射线EF，使∠AEF＝∠ABC，EF交射线AD于F．

（1）如图1，G为OD上一点，且G为△ACD重心，求的值；

（2）如图2，当E运动到BC中点时，射线EF恰好过△ACD的重心G．

（1）求cos∠ABC的值；

（ii）若AB＝7，过A作AH⊥AE交射线EF于H，连接CH，DH，在点E从B运动到C的过程中，求折线段CHD扫过的图形面积．

解：(1)如图，连接CG交AD于点H，连接OH，易知H为AD的中点，而O为AC的中点，故CD:OD=2，故DG：OG=2；

(2)由(1)知DG=2OG，而O为BD的中点，故DG：AG=1：2，故DF：BE=1：2，设DF=1，则BE=2，AB=4；易知△ABE~△FEA，得AE=

，作AH⊥BC，设EH=m，则由勾股定理得AH²=16-(2+m)²=6-m²,得m=，于是BH=，故cos∠ABC=

(3)如图，当点E与点B重合时，H在H₁位置 ，当点E与点C重合时，H在H₂位置；CHD扫过的面积即为四边形CH₂DH₂，易知△ABH₁~△ACH₂，得AB:AH₁=AC：AH₂，而∠ABC=∠AH₁H₂，得△ABC~△AH₁H₂，而AB=BC，得AH₁=H₁H₂=，作DMBC于点M，得CM=，H₁H₂⊥BC，故S_扫=

点评：题目中的第二问的条件可能会引导同学们往一线三角的方向去思考，这是难点；而压轴一问的困难在于：1.画图，很多同学画不出图像；2.找到手拉手式的相似得到新的相似三角形，点H在某直线上运动，可以归为瓜豆原理.

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