【原】曼哈顿距离：“双绝对值函数”的最值问题

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一·个·引·子

任何一个新概念的产生，都是为了解决一个旧的问题。

那么，什么是曼哈顿距离呢？

它又是为了解决什么样的数学问题而产生的呢？

问题1：你知道怎么求函数的最小值吗？

其实，在中学数学里，这个问题的解决，还是很简单的。

首先，我们可以从绝对值的几何意义着手。

当然，也可以从函数图像的角度着手。

应该说，从这两个角度思考，都是可以很容易地求出最小值的。

但是，毕竟这个题，还是太简单了。

如果稍微地修改一下，比如下面这个样子。

问题2：求的最小值。

显然，第一种思路，就会稍微勉强了一点。

至少，相信有相当一部分同学，在数轴上理解，是不再直观的。

第二种做图，因为涉及到分类讨论，也是很多同学所不喜欢的。

甚至，有同学到高三了，这种图象都做的不够流畅。

这样，也就有了曼哈顿距离。

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曼·哈·顿·距·离

那么，什么是曼哈顿距离呢？

一个城市街区，要从A地到B地，应该有很多种路线吧。

最不讲套路的，是黄色路线。

它所走的路程是最短距离，称为欧几里德距离，简称欧氏距离。

根据我们所掌握的知识，欧氏距离其实就是两点间的直线距离，也是最短距离。

但很多时候，这种距离是理想化的。

因为不一定就能达到。

其它，都是按街道行走的路线。

红色路线所走的路程就是曼哈顿距离。而蓝色和黑色路线所走的路程，和曼哈顿距离都是一样的，称为等价曼哈顿距离。

所以，所谓的曼哈顿距离，就是两点在南北方向上的距离加上在东西方向上的距离。

曼哈顿距离和等价曼哈顿距离，都是在街道上跑了相同的位移。

只是，曼哈顿距离更直接，所以更特殊。

因为是按街道规范行走，曼哈顿距离‍，又被形象地称为计程车几何。

其实，从数学的角度，更直观一点看，在平面直角坐标系内，两点间的曼哈顿距离就是

有了这个定义，像我们平时所见的

其实就有了它的另一个意义——曼哈顿距离。

我们可以将，改写成定义的样子：

, 

再构造两个点，

这个方程就有了实际意义。

其实说的是，两点的曼哈顿距离就是2了。

都知道的图象，是一个正方形。

所以，这个正方形边上任意一点，和正方形中心的曼哈顿距离都是相等的。

这个特征，被称作曼哈顿距离的等矩性。

而且，可以轻易验证，这里的曼哈顿距离，其实就是正方形对角线的一半。

就像是，

现在就可以这样理解：

点之间的曼哈顿距离为2.

以后可以写成这样：

反过来，你也可以这样说：

到点(1,1)的曼哈顿距离为2的点的轨迹，是如图所示的正方形。

这么好的正方形，为了后面说起来方便，我们不妨暂时称之为曼哈顿正方形吧。

而且，有了这个正方形，我们就可以以另一种别出心裁的视角，去处理双绝对值的距离问题。

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距·离·的·应·用

当然，这个结果的正确性，也是可以通过函数的图象，直观验证的。

你看，这个曼哈顿距离用起来，是不是感觉就很畅快！

分析：求曼哈顿距离时，要求曼哈顿正方形与曲线应该有交点。

如果要求曼哈顿距离的最大值最小，则要求曼哈顿正方形不仅要框住整个曲线，而且要求不能浪费空间。

由图可知，只有当动点A在y轴上时，曼哈顿距离的最大值才可能最小。

而且，不仅曲线端点在曼哈顿正方形边上，同时，曲线与曼哈顿正方形一定还要相切的。

是不是给人一种很紧促的感觉。

这样才能保证曼哈顿正方形，恰好包围了整个曲线。

  

分析：对于椭圆上任意一点，曼哈顿正方形变大到与椭圆相切时，曼哈顿距离最大。 

分析：如上图，在直线上任取一点，做曼哈顿正方形。过左顶点作直线的平行线，当正方形扩大到平行线与圆第一次相切时，平行线方程为.

根据曼哈顿距离的等矩性，无论A在直线上的任何位置，曼哈顿距离均为定值。

因此，曼哈顿距离的最小值即为|AH|。

因为两平行线与x轴交点坐标分别为(3,0)和，则

写 在 最 后

曼哈顿距离，一个高端，且让人有点望而却步的东西。

但其本质，是朴素而简洁的。

其实，很多的数学原理，都不用在意它的出处有多神秘。

只要我们自己，能站在合适的角度，去理解并接受就可以。

例子无需太多，只用最朴素的语言，说清最高深的道理。