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中考数学

证明【三角形相似】

5种常考方法

【方法一】利用平行线判定两三角形相似

1、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.

(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；

解：△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，

△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.

(2)求BP：PQ：QR.

解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形．

∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，

∴△BCP∽△BER，

则PC/RE＝BP＝BR＝BC/BE＝1/2，

∴BP＝PR，PC/RE＝1/2.

∵点R是DE的中点，∴DR＝RE.

又PC∥DR，∴PQ/QR＝PC/DR＝PC/RE＝1/2.

∴QR＝2PQ.

又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，

∴BP：PQ：QR＝3：1：2.

【方法二】利用边或角的关系判定两直角三角形相似

2、如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝9.3，CE＝3.1，求证：△ABC∽△DEC.

解：证明：∵AD＝6.4，CD＝1.6，

∴AC＝AD－CD＝6.4－1.6＝4.8.

∴AN/CD＝4.8/1.6＝3.

又∵BC/ED＝9.3/3.1＝3，∴AC/CD＝BC/EC

又∵BC⊥AD，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴△ABC∽△DEC.

【方法三】利用角判定两三角形相似

3、如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E.

(1)求证：△ABD∽△CED；

解：证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠ACB＝60°.∴∠ACF＝120°.

∵CE是外角平分线，

∴∠ACE＝1/2∠ACF＝1/2×120°＝60°.

∴∠A＝∠ACE.

又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED.

(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

解：如图，作BM⊥AC于点M，

则AM＝CM＝3，BM＝3√3.

∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4.则MD＝1.

在Rt△BDM中，BD＝√BM²+MD²＝2√7.

由△ABD∽△CED得BD/ED＝AD/CD，即2√7/ED＝2，

∴ED＝√7.∴BE＝BD＋ED＝3√7.

【方法四】利用边角判定两三角形相似

4、如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE.

解：证明：∵BD∥AC，

点B，A，E在同一条直线上，

∴∠DBA＝∠CAE，

又∵AB/AC＝BD/AE＝3，

∴△ABD∽△CAE.

【方法五】利用三边判定两三角形相似

5、如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.

解：证明：∵AD是△ABC的高，

∴AD⊥BD.

又∵E，F分别是AB，AC的中点．

∴在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线．

∴DE＝1/2AB，即DE/AB＝1/2.

同理DF/AC＝1/2.

∵EF为△ABC的中位线，

∴EF＝1/2BC，即EF/BC＝1/2.

∴DE/AB＝EF/BC＝DF/AC.

∴△DEF∽△ABC.