“什么是代数几何？”

实际上我的代数几何系列就在回答这些问题，不过这里让我用更直白的语言解释一下吧（更多细节可以参考《代数集》）。

代数几何的代数指的是「交换代数」（一种数学结构），它里面定义了

1. 加法，

2.  数乘，以及

3. （元素）乘法

这意味着我们可以在它上面定义「多项式」：

1 + x + y + 2 · x y，

（1 + x是加法，2 · x是数乘，x y是乘法）实际上，（交换）代数是定义多项式所需要的最简单的代数结构（就像向量空间是定义线性函数的最小结构一样）——因此数学家们把多项式称为「代数函数」。

因此，就像微分几何中我们研究流形间的微分（可导/光滑）映射一样，代数几何研究的是簇形（更一般的，概形/代数空间/叠等等）之间的代数映射。

从这个角度我们可以发现，（交换）代数（这门学科）之于代数几何，就像微积分和分析之于微分几何一样。

现在让我们回来看解析几何，我们发现它几乎是在研究一样的东西：古典（仿射）代数几何的研究对象是代数集（代数函数的解集），解析几何研究的直线（一次函数的解集），圆锥曲线（二次函数的解集）都是（光滑）代数集的例子。

当然严格来说解析几何研究的是“实系数复代数集的实点”，也就是代数函数的实数解。一个有趣的“区别”就是，解析几何把圆锥曲线分成三类——椭圆、抛物线，双曲线，但是在（复）代数几何眼中它们都一样。