【原】四边形的折叠探究，考查全等与相似，热点题型要引起重视！

学霸数学，让你更优秀！

已知P是四边形ABCD边AD上一点，记AB=a，BC=b，AP=c，

【特例发现】如图，当四边形ABCD为正方形时，将△ABP绕点B顺时针旋转，使点A落在对角线上的点E处，点P落在边CD的点F处，当a=4时，则c=________

【类比迁移】当四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，将△ABP绕点B顺时针旋转，使点A落在对角线上的E处，点P落在边CD的点F处，试探究线段a与c之间的数量关系，并加以证明；

【拓展探究】在矩形ABCD中，点P是边AD上一点，将△ABP绕点B顺时针旋转，使点A落在对角线上，点P落在矩形的边上，当时，请直接写出a，b，c之间满足的数量关系____________

解:(1)如图，易知△BAP≌△BEF，BE=4，得c=EF=DE=4-4;

(2)如图，易知△BAP≌△BEF，BE=BA=BC=a，EF=AP=c,∠BEF=∠BAP=120°，得∠DEF=60°，而∠EDF=30°得∠EFD=90°，故DE=2c，而BD=a，故a-a=2c

(3)如下左图，E在AC上时，易知△BAP≌△BEF，BE=BA，得∠BAE=∠BEA，同时∠BEF=90°，∠BAE+∠BCA=90°，得∠FEC=∠ECF，故CF=EF=AP=c，得BF=b-c，由勾股定理得即有

如下右图，E在BD上时，易知△BAP≌△BEF，同时△BEF~△BCD得即有a²=bc

有同学会困惑为什么题目中会特别规定a与b的大小关系，其实当P与C重合时，如图此时a²+c²=b²,同时由等面积法知，其实这个数值是临界值，当时，P点的对应点F会在BC的延长线上.

点评：几何变换诸如折叠与旋转问题是近年来中考数学的热点题型，此类题型考查的是三角形全等、相似、勾股定理、方程思想、分类讨论思想，当然，作图能力可能也是重点考查的角度，很多同学作不出图导致解不出来.

经过了不断的积累和沉淀，不断对中考数学题型的研究与总结，《中考压轴专题》隆重推出，帮助同学们提升实力.本书包含6个大专题，每个专题下包含多个考点和题型，力求覆盖所有压轴题型.题目取自中考真题、平时模拟真题中的压轴题、经典题，可帮助同学们精准训练，提升解题能力.