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本文节选自张天蓉博士《数学的历程：从泰勒斯到博弈论》「1.7 中国古代数学」一节，【遇见数学】已获发布授权。 爱因斯坦名言和形式逻辑理性思维是走向科学的第一步。具体到中国，引用爱因斯坦论及科学为何没有起源于中国时所说的话:
简言之，爱因斯坦是说，科学发源于古希腊文化，是基于两个必要条件: 形式逻辑体系和系统实验。爱因斯坦强调的“形式逻辑”，正是中国人比较欠缺的。 古希腊科学属于自然哲学的“思辨”模式，而中国春秋战国时期的科学是追求“实用”的实验观测模式，两者是互补的，但均不同于现代科学的“逻辑实证”模式。 根据爱因斯坦的说法，现代科学的要素有两点:一是“逻辑”，二是“实证”。古希腊和古代中国，都已经产生了逻辑，古希腊的思辨，固然少不了逻辑;而春秋战国时期的百家争鸣，各个学派也往往需要靠逻辑来取胜。欧几里得几何中的“形式逻辑体系”是西方科学发展的基础之一。什么是“形式逻辑”呢? 通俗地说，形式逻辑就是我们一般人脑海中所理解的“逻辑”。经常听见人们争论中说到 “符合逻辑”或“不符合逻辑”，比如 A 批评 B: “你说乌鸦是黑色的，但又说抓到了一只灰色乌鸦，你这不是不合逻辑、自相矛盾吗?”另一个例子，大家辩论张三是好人还是坏人。有人说张三利用权势贪污上亿元，当然是个坏人; 但又有人认为张三孝顺父母，重视家庭，本质上是个好人。 换言之，我们对逻辑的粗略理解大概就是:一就是一，二就是二，黑白分明，没有含糊。这也就是所谓的“形式逻辑”。因此，我们在后文中，一般仅以“逻辑”一词代替形式逻辑，但在需要强调的地方，会冠以“形式”二字。 古希腊哲学家亚里士多德最先将逻辑用几条简单的规则(同一、矛盾和排中三大基本规律)表述出来，使逻辑正式成为一门学科。这 3 条基本原理及简单解释如下。 同一律:“A 等于 A。”解释:张三就是张三，不是别人。 矛盾律:“A 不等于非 A。”解释:张三不可能“既是张三”，又“不是张三”，不能自相矛盾。 排中律:“A 或者非 A，没有其他”。解释:这人要么是张三，要么不是张三，没有中间状态。 基本规律念起来有点拗口，解释后却很容易明白，但你又可能会感觉“全是废话”。正是这些貌似“废话”的几条原则，构成了逻辑学。2000 年之后，德国哲学家莱布尼茨又加上了一条逻辑的基本规律: 充足理由律。意思是说任何逻辑表述，都需要“充足的理由”。 古希腊数学家欧几里得发表的《几何原本》，开创了逻辑证明的先例，使数学从此进入公理系统逻辑证明时代。2000 年后的英国数学家乔治·布尔，建立了一系列的运算法则，利用代数的方法来研究逻辑问题，这就是我们如今所熟悉的布尔代数。 欧几里得几何的逻辑证明体系，是 2300 多年来数学的基础，也是现代科学发展的基础。布尔代数，则是在如今现代文明社会中大放异彩的数字计算及人工智能技术的基础。由此可知逻辑对科学发展的重要性。或许由于科学正是在逻辑思想的基础上发展起来，并且已经有了超过 2000 年的漫长历史，因而人们一般认为:逻辑(即形式逻辑)是与自然的客观规律一致的，是外在客观世界本身的模式。再进一步推论下去:如果一种理论不符合逻辑，违反了上述的基本逻辑规律，人们便会判定那不是一种科学的理论。 欧氏几何的意义绝不在于几何本身，而是在于它的公理化方法。就像建房子一样，基石不过是数目不多的几块砖，便支撑了一栋高楼大厦。欧氏几何从 5 条简单公理出发，使用周密严格的逻辑推导和证明，便能得出成百上千条定理来。如果稍微改动一下作为“基石”的公理，像罗巴切夫斯基和黎曼所做的那样，便意想不到地产生了另类的几何，建成了完全不同于欧氏几何的漂亮大厦! 虽然在当年看起来，非欧几何不过是某种思维游戏，因为被它们描述的结果，有违人们通常看到的世界之几何常识。但之后又出乎人们意料之外，黎曼几何在广义相对论中找到了用武之地! 于是，人们惊奇地发现，逻辑，以及在其上发展出来的理性推导的方法，居然有如此巨大的威力! 使用这种思维方式，可以从几条事实出发，建立起一个庞大的理论系统。如今，我们纵观现有的物理理论，从牛顿力学、麦克斯韦电磁论到相对论，几乎都遵循类似的原则，再经过大量实验或观察的验证而建立和发展起来的。对此，爱因斯坦深谙其道，因此他才会强调逻辑是西方科学发展的基础之一。 （本篇精彩文章来自 著名科普作家张天蓉博士的新书《数学的历程》）
内容介绍 《数学的历程：从泰勒斯到博弈论》是一部数学启蒙和通识教育佳作，深受数学爱好者和数学老师喜爱。从历史的角度，勾勒出一条数学发展的脉络，阐述了重要数学思想概念产生的背景原因和来龙去脉，剖析数学定律的底层逻辑，学习数学家的思维方法。探索了有趣的数学难题以及古代中国的算学、数学悖论、奇妙的π、囚徒困境等话题，生动讲述了数学大师的逸闻趣事，让读者感受深藏的数学之美、思维的乐趣，以及科学家精神。全书实例丰富、解释通俗、表述流畅、寓意深刻。阅读它不需要太高深的数学知识，但无论是数学高手还是初学者都能从中获得乐趣和启发，开阔眼界，增长见识，从而更好地把握数学的特征与规律。 向上滑动阅览目录 数学与科学(代序)//001 1 古代数学 //005 1.1 第一位数学家 //006 1.1.1 最早的数学 //006 1.1.2 古希腊的天时地利人和 //007 1.1.3 第一位数学家何许人也? //09 1.1.4 泰勒斯对数学的贡献 //011 1.2 万物皆数 //014 1.2.1 毕达哥拉斯其人 //014 1.2.2 毕氏学派对数学的贡献 //015 1.3 芝诺悖论 //017 1.3.1 阿基里斯追乌龟 //018 1.3.2 芝诺悖论的意义 //019 1.4 几何之乡 //020 1.4.1 柏拉图的贡献 //020 1.4.2 几何大师 //022 1.4.3 非欧几何 //023 1.4.4 古希腊三大几何作图难题 //025 1.5 圆锥曲线的启示 //027 1.5.1 简述 //027 1.5.2 最早的研究 //028 1.5.3 应用 //031 1.5.4 对科学的意义 //032 1.6 阿基米德 //033 1.6.1 古希腊的伟人 //034 1.6.2 计算球体体积 //035 1.6.3 阿基米德羊皮书 //038 1.7 中国古代数学 //042 1.7.1 爱因斯坦名言和形式逻辑 //042 1.7.2 辩证逻辑 //044 1.7.3 中国人的思维特点 //045 1.7.4 古代中国的算学 //050 1.7.5 中国数学鼎盛期 //052 1.7.6 中国剩余定理 //053 1.7.7 古中国的“方程术”//056 1.7.8 古代中国女数学家 //059 2 数学危机 //063 2.1 第一次危机 //064 2.1.1 希帕索斯发现无理数 //064 2.1.2 极限概念的危机 //066 2.1.3 第一次数学危机的解决 //069 2.2 古希腊数学之衰落 //070 2.2.1 几何的延续 //070 2.2.2 托勒密和三角 //071 2.2.3 丢番图的墓碑 //073 2.2.4 希帕提娅之死 //075 2.2.5 阿拉伯的传承 //076 2.3 微积分之前 //078 2.3.1 微积分基本定理 //078 2.3.2 笛卡儿的叶形线 //079 2.3.3 业余数学家之王———费马 //081 2.4 微积分的诞生 //083 2.4.1 牛顿的流数术 //083 2.4.2 莱布尼茨的差和分 //086 2.4.3 阿涅西的女巫 //089 2.5 第二次危机 //091 2.5.1 伯克利的质疑 //092 2.5.2 柯西和魏尔斯特拉斯 //093 2.6 第三次危机 //094 2.6.1 数学悖论 //094 2.6.2 罗素悖论 //096 2.6.3 爱因斯坦和哥德尔 //99 3 数学常数 //106 3.1 最美公式 //107 3.2 虚数的故事 //112 3.3 奇妙的π //116 3.4 自然常数e//118 3.4.1 自然常数从何而来 //118 3.4.2 对数螺旋线 //120 3.4.3 飞蛾扑火的数学 //121 3.5 混沌中的常数 //123 4 微积分后 //126 4.1 哪条滑梯最快? //127 4.2 安全抛物线 //133 4.3 等时曲线 //136 4.3.1 欧拉的贡献 //136 4.3.2 摆线 //137 4.4 等周问题 //138 4.4.1 狄多女王的智慧 //138 4.4.2 格林定理 //140 4.4.3 拉格朗日乘子法 //142 4.5 数学家的绝招 //145 4.5.1 欧拉-拉格朗日方程 //145 4.5.2 弦振动问题 //149 4.6 傅里叶变换 //151 4.6.1 数学群雄 //151 4.6.2 数学的诗篇 //153 4.6.3 微分方程展宏图 //157 5 早逝的数学奇才 //162 5.1 帕斯卡三角形 //163 5.2 阿贝尔攻难关 //165 5.3 伽罗瓦创群论 //167 5.4 浅谈黎曼猜想 //172 5.4.1 早逝的大师 //172 5.4.2 黎曼ζ函数 //173 5.4.3 黎曼猜想 //175 5.5 神才拉马努金 //176 5.5.1 疯子还是天才? //176 5.5.2 计算自然数之和 //177 5.5.3 所有自然数之和等于-1/12吗? //179 6 几何与拓扑 //181 6.1 黎曼几何 //182 6.2 欧拉多面体公式 //184 6.2.1 验证欧拉多面体公式 //185 6.2.2 证明欧拉多面体公式 //185 6.2.3 欧拉多面体公式的应用 //187 6.2.4 欧拉多面体公式的拓扑意义 //187 6.3 图论趣题 //188 6.3.1 哥尼斯堡七桥问题 //188 6.3.2 五房间谜题,图论简介 //189 6.3.3 三间小屋 //191 6.4 奇妙的克莱因瓶 //194 6.5 纽结一瞥 //196 6.6 庞加莱猜想 //199 7 博弈拾趣 //202 7.1 稳定婚姻 //203 7.2 海盗分金 //206 7.3 三妻争遗产 //209 7.4 纳什均衡 //212 7.4.1 囚徒困境 //213 7.4.2 三策略博弈 //214 人名和术语 //215 参考文献 //219 后记 //220 |
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