学霸数学,让你更优秀! 【问题引入】在一节数学课上,王老师给出一道题:如图1,在ABC中,AB=AC,点D是线段AC上一点,连接BD,在BD延长线上取一点M,使∠BMC=∠BAC,作AN⊥BD垂足为点N,求证:BN=CM+MN ①如图2,小明认为在BD上截取BP=CM,连接AP,只要探究线段MN和线段PN之间的数量关系即可; ②如图3,小强认为:作AQ⊥CM交CM延长线于点Q,只要探究线段BN和线段CQ之间的数量关系即可; 请你选择一名同学的解题思路,并完成他们的证明过程; 【类比】 王老师发现这两名同不都运用了转化思想,将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系,为了帮助学生更好的感悟转化思想,王老师又提出了下面的问题,请你解答 如图4,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,作AF⊥BD交BD于点E,试探究线段BD、DE和AF之间的数量关系,并证明你的结论 【学以致用】 如图5,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠BCD=50°,CA平分BCD,在BC上取一点E,使∠DAE=65°,连接DE,若CE=x,DE=y,CD=z,求BE的长.(用含x,y,z的代数式表示) 解:方法一:BD上截取BP=CM,由∠BMC=∠BAC,得∠ABM=∠ACM(八字模型),又AB=AC,得△ABP≌△ACM,故AP=AM,又AN⊥PM,故MN=PN,而BN=BP+PN=CM+MN 方法二:作AQ⊥CM交CM延长线于点Q,由∠BMC=∠BAC,得∠ABM=∠ACM(八字模型),又AB=AC,∠ANB=∠AQC得△ABN≌△ACQ,得BN=CQ,又AN=AQ,AM=AM得△AMN≌△AMQ,得MQ=MN,而CQ=CM+MQ故BN=CM+MN 方法三:在BM延长线上取点H使NH=NB,亦可证明,同学请自行证明; 点评:此题方法很多,主要体现截长补短法. (2)在BD上取点G使EG=ED,由AE⊥BD得∠EAG=∠EAD,同时易知∠ABG=22.5°,∠ABG=∠ADE=90°,∠EAD+∠ADE=90°得∠DAE=∠ABD=22.5°,故∠DAG=45°,得∠BAG=45°,即∠BAG=∠ACF,又AB=AC,∠ABG=∠CAF得△ABG≌△CAF,得BG=AF,BD=BG+DG=BG+2DE,即BD=AF+2DE(也可由下右图进行证明) (3)过点A作AH⊥CD于点H,AC平分∠BCD得AB=AH且△ACH≌△ACB,同时在CD延长线上取点I,使HI=BE,可得△ABE≌△AHI,得AI=AE,∠HAI=∠BAE,而∠DAH+∠BAE=65°,得∠HAI+∠DAH=65°,即∠DAI=65°,故∠DAI=∠DAE,AD=AD,AE=AI得△ADI≌△ADE,DI=DE=y,CB+CH=CE+CD+DH+BE=CE+CD+DE=x+y+z=2CB,于是CB=,故BE= 点评:由角平分线联想辅助线的作法,而由角度关系继续作辅助线,从而得到结果.弄懂此题,确实可以打通很多模型.例如八字模型、夹半角模型(第3问). 习题选不好,一学期又白忙! |
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