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当你把手伸进火里，你会被烧伤，而当你把手放在雪里时，手指会变冷。温度是我们身体可以轻易感知的东西，也是物理世界中非常重要的现象。但温度究竟是什么呢？
这个可以用统计力学解释。 温度实际上取决于组成材料的各个原子和分子的运动。这些原子和分子会振动、旋转或随机移动，彼此碰撞。它们运动得越激烈，它们的平均动能就越高，它们所在的材料就越热。在冰块这样冷的材料中，单个分子被锁定在一个刚性晶格中。
温度与所有这些原子和分子的平均动能成正比。 这告诉我们两件事。首先，由于这是一个平均值，温度是一个统计量：它涉及大量个体物质的整体行为。其次，它是一个宏观量：单个原子和分子没有温度，温度是这些微观成分的集体行为产生的结果。
温度并不是唯一具有这些特征的量。另一个例子是压力，比如一个盒子里气体的压力，这是气体原子或分子对盒子每单位面积施加的平均力的度量。 统计力学精确描述了微观和宏观之间的统计关系，以从根本上解释温度和压力等现象。比如，考虑一个盒子里的气体系统。在任何给定的时间点，这个系统都处于一个特定的宏观状态，由我们可以测量的宏观量（如温度、压力和气体的体积）定义。 同时，该系统也处于一个特定的微观状态，由组成气体的所有个体分子的确切位置和动量定义。改变微观状态——例如交换几个分子的位置——不一定会改变宏观状态。换句话说，每个宏观状态对应于许多（可能是大量的）不同的微观状态。 我们很难说某个分子它就是以怎样的速度在进行运动的，但是我们可以计算不同速度对应的概率。 这就用到了麦克斯韦分布。 记为的是系统中一个分子具有速度的概率，麦克斯韦分布由以下公式给出： 这里，k 玻尔兹曼常数，T 温度，m是一个分子的质量。 给定一个特定的宏观状态，我们无法确定气体处于什么微观状态——这是不可能测量的。但通过对系统性质的一些假设和一些数学运算，仍然可以说出不同微观状态或这些微观状态特征的可能性。 麦克斯韦分布就是一个描述这种情况的概率分布。假设气体处于热平衡状态，该分布告诉你一个随机分子或原子以某个速度运动的概率。 下面是氢原子在不同温度下的分布图。你可以看到，对于较高的温度，较高的速度更可能出现，这与我们上面所说的保持一致。
氢分子在不同温度下的速度麦克斯韦分布，单位为开尔文。蓝色表示低温25开尔文，红色表示较高温度50开尔文，绿色表示100开尔文的温度。 该分布以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的名字命名，他在19世纪帮助开发了气体的动力学理论。该理论能够解释热力学的许多特征，热力学是研究热和温度的学科，并且是第一个使用统计方法的力学理论。其他对统计力学的发展做出重要贡献的人包括路德维希·玻尔兹曼和乔赛亚·威拉德·吉布斯。 虽然它最初是为了描述诸如气体等物理系统而开发的，但统计力学现在在涉及许多个体成分形成一个整体的各个领域都有应用。它可以用来模拟人的行为、交通流量或生物细胞的行为，甚至在机器学习中也有应用。 在社会科学中，统计力学方法被用来模拟和预测人类行为模式。一个典型的应用是模拟选民行为、市场交易和信息传播。通过建立个体之间相互作用的模型，可以研究意见形成、传播以及集体行为的动态变化。例如，伊辛模型（Ising Model）可以用来模拟社会网络中个体的决策行为，通过对个体相互作用的分析，揭示集体行为的相变现象。 在机器学习中，特别是在优化算法和模型推理中，统计力学的方法提供了重要的工具。玻尔兹曼机（Boltzmann Machine）是一种基于统计力学的随机递归神经网络，通过模拟神经元的状态来学习数据的概率分布。玻尔兹曼机利用能量最小化原理，通过调整网络参数，实现对数据模式的有效学习，广泛应用于图像识别、自然语言处理等领域。 我的新书《模型，就是数学化的思维》最近上市了，探讨的就是如何将我们的思维、逻辑进行数学化处理并获得解决方案，欢迎大家选购~
参考资料：Marianne. (2022, January 12). Maths in a minute: Statistical mechanics. Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences (INI). |
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